数学必修直线与方程典型例题精.pdf

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1、3.1 直线的倾斜角与斜率 1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）.A.60 B.30 C.60或 120 D.30或 150 变式训练：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线，则的倾斜角为（）。A.45 B.135 C.135 D.当 0135时为45，当 135180时，为135 题型二求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD中BAD=60，求菱形 ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练：已知过两点2

2、2(2,3)A mm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为 45，求实数的值.题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例 3右图中的直线 l1、l2、l3的斜率分别为 k1、k2、k3，则（）.A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2 拓展一三点共线问题 例 4 已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a的值 变式训练:若三点 P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）.A4,5ab B 1ba C23ab D23ab 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点 A(-2,-3),B(3,0),过点 P(-1,2)的

3、直线与线段 AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)AB两点，直线过定点(1,1)P且与线段 AB相交，求直线的斜率的取值范围.拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足28,xy当 23 时，求yx的最大值与最小值。变式训练：利用斜率公式证明不等式：(0amaabbmb且0)m 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与 x轴和 y轴的两直线）：【典型例题】题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点 M（-3，0）、N（-15，-6），经过点 R（-2，32）、S（0，52），试判断与是

4、否平行？变式训练：经过点(2,)Pm和(,4)Q m的直线平行于斜率等于 1 的直线，则的值是（）.A4 B1 C1 或 3 D1或 4 题型二两条直线垂直关系 例 2 已知ABC的顶点(2,1),(6,3)BC，其垂心为(3,2)H，求顶点的坐标 变式训练：（1）的倾斜角为 45，经过点 P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？（2）直线的斜率是方程2310 xx 的两根，则12ll与的位置关系是.题型三根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线经过点 A(3,a)、B（a-2,-3）,直线经过点 C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果/，则求 a 的值；（2）如果，则求 a的

5、值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例 4 四边形 ABCD的顶点为(2,22 2)A、(2,2)B、(0,22 2)C、(4,2)D，试判断四边形 ABCD 的形状.变式训练：已知 A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点 D，使直线 CDAB，且 CBAD 探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x的图象交于 C、D两点.（1）证明：点 C、D和原点 O 在同一直线上.（2）当 BC平行于 x轴时，求点 A 的坐标.探点 二 分类讨论思想 例 6 ABC的顶点

6、(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求 m 的值.3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程：【典型例题】题型一求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是 4；（2）经过点(3,1)B，倾斜角是.例 2 倾斜角是135，在轴上的截距是 3的直线方程是.变式训练：1.已知直线 l过点(3,4)P，它的倾斜角是直线1yx的两倍，则直线 l的方程为 2.已知直线在轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线的方程.3.将直线31yx绕它上面一点（1，）沿逆时

7、针方向旋转 15，得到的直线方程是.题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线的方程为223,yxl 的方程为42yx，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的方程。探究一直线恒过定点或者象限问题 例 4.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x 时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.探究二直线平移 例 5 已知直线 l：y=2x-3，将直线 l向上平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位后得到的直线方程为_ 3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型 一 求直线方程 例 1 已知ABC

8、顶点为(2,8),(4,0),(6,0)ABC，求过点且将ABC面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点 A（1，2）、B（3，1），则线段 AB的垂直平分线的方程是（）.A425xy B425xy C25xy D25xy 2.已知1122234,234xyxy，则过点1122(,),(,)A x yB xy的直线的方程是（）.A.234xy B.230 xy C.324xy D.320 xy 例 2求过点(3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线 l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则 l的方程为 题型二直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客

9、可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求 y与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x的取值范围；（2）如果某旅客携带了 75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究一直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为 4的三角形，求直线的方程 探究二有关光的反射 例 5 光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入 y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点(3,8)A、(2,2)B，点 P是 x轴上的点，求当APP

10、B最小时的点 P的坐标 3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1直线的一般式：2直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是12，经过点 A（8，2）；（2）经过点 B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是32,3；（4）经过两点（3，2）、（5，4）.题型二直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)AB.题型三直线一般式方程的性质 例 3直线方程0AxByC的系数 A、B、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1

11、）与两条坐标轴都相交；（2）只与 x轴相交；（3）只与 y轴相交；（4）是 x轴所在直线；（5）是 y轴所在直线.变式训练：已知直线:5530laxya。（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围。题型四运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线：220 xmym，：10mxym，问 m为何值时：（1）12ll；（2）12/ll.变式训练：（1）求经过点(3,2)A且与直线420 xy平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线250 xy垂直的直线方程.题型五综合运用 例 5 已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求 m 的值，

12、使得：（1）l1和 l2相交；（2）l1l2；（3）l1/l2；（4）l1和 l2重合.3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）直线 l1:2x3y+10=0,l2:3x+4y2=0；（2）直线 l1:1nxyn,l2:2nyxn.题型二三条直线交同一点 例 2 若三条直线2380,1020 xyxykxy，相交于一点，则 k的值等于 变式训练：1.设三条直线：21,23,345xyxk

13、ykxy交于一点，求 k的值 2.试求直线20 xy关于直线:330 xy对称的直线 l 的方程.题型三求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线280 xy和210 xy 的交点，且平行于直线4370 xy的直线方程.变式训练：已知直线 l1:2x-3y+10=0,l2:3x+4y-2=0.求经过 l1和 l2的交点，且与直线 l3:3x-2y+4=0垂直的直线 l 的方程.题型四两点间距离公式应用 例 4 已知点(2,1),(,3)AB a且|5AB，则 a 的值为 oyx6106080（千克）元变式训练：在直线20 xy上求一点，使它到点(5,8)M的距离为，并求直线PM的方程.题型五三

14、角形的判定 例 5 已知点(1,2),(3,4),(5,0)ABC，判断ABC的类型 探究一直线恒过定点问题 例 6 已知直线(2)(31)1ayax.求证：无论 a为何值时直线总经过第一象限.变式训练：若直线 l：ykx3与直线 2x3y60的交点位于第一象限，求直线 l的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 7 直线 2xy4=0上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练：已知(1,0)(1,0)MN、，点为直线210 xy 上的动点求22PMPN的最小值，及取最小值时点的坐标 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条

15、平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数 例 1 已知点(,2)(0)aa 到直线:30l xy的距离为 1，则 a=（）.A B C21 D21 题型二利用点到直线距离求直线的方程 例 2 求过直线1110:33lyx 和2:30lxy的交点并且与原点相距为 1的直线 l的方程.变式训练：直线 l过点 P(1，2)，且 M(2，3)，N(4，5)到的距离相等，则直线的方程是 题型三利用平行直线间的距离求参数 例 3若两平行直线3210 xy 和60 xayc之间的距离为2 1313，求

16、2ca的值.变式训练：两平行直线51230102450 xyxy与间的距离是（）.A.213B.113C.126D.526 题型四利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线:51260lxy平行且与的距离 2的直线方程是 题型五点、直线间的距离的综合运用 例 5 已知点 P 到两个定点 M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点 N 到直线 PM的距离为 1求直线 PN的方程 探究一与直线有关的对称问题 例 6 ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)ABC.求A 的平分线 AD所在直线的方程.变式训练：1.与直线2360 xy关于点（1，-1）对称的直线方程是 2求点 A（2，2）关于直线2490 xy的对称点坐标 探究二与距离有关的最值问题 例 7 在函数24yx的图象上求一点 P，使 P到直线45yx的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线:310lxy 上求一点 P，使得：（1）P 到 A（4，1）和 B（0，4）的距离之差最大。（2）P 到 A（4，1）和 C（3，4）的距离之和最小。