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1、学习必备 欢迎下载 第三章 直线与方程 【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角与斜率 设直线 l 斜率为 k 且 11k 则倾斜角的取值范围 拓展 一 三点共线问题 例 已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9 a)在一条直线上，求实数 a 的值 例 已知三点)0)(,0(),0,(),2,2(abbCaBA)在一条直线上，则ba11 拓展 二 与参数有关问题 例 已知两点 A(-2,-3),B(3,0),过点 P(-1,2)的直线l与线段 AB 始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)AB 两点，直线l过定点(1,1)P且与线段 AB相交，求直
2、线l的斜率k的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值 例 已知实数x、y满足28,xy 当 2x3时，求yx的最大值与最小值。学习必备 欢迎下载 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【典型例题】题型 一 两条直线平行关系 例 1 已知直线1l经过点 M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点 R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？变式训练：经过点(2,)Pm和(,4)Q m的直线平行于斜率等于 1 的直线，则m的值是（）.A4 B1 C1 或 3 D1 或 4 题型 二 两条直线垂直关系 例 2 已知ABC的顶点(2,1),(6,3)BC，其垂心为(3,2)H，求顶点A的
3、坐标 变式训练：（1）1l的倾斜角为 45，2l经过点 P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？（2）直线12,l l的斜率是方程2310 xx 的两根，则12ll与的位置关系是 .题型 三 根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线1l经过点 A(3,a)、B（a-2,-3）,直线2l经过点 C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果1l/2l，则求 a 的值；（2）如果1l2l，则求 a 的值 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据
4、直线的学习必备 欢迎下载 题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用 例 4 四边形 ABCD 的顶点为(2,22 2)A、(2,2)B、(0,22 2)C、(4,2)D，试判断四边形 ABCD 的形状.变式训练：已知 A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点 D，使直线 CDAB，且 CBAD 探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.（1）证明：点 C、D 和原点 O 在同一直线上.（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A的坐标.探点
5、二 分类讨论思想 例 6 ABC的顶点(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求 m 的值.两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 【典型例题】题型 一 求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是 4；（2）经过点(3,1)B，倾斜角是30.例 2 倾斜角是135，在y轴上的截距是 3 的直线方程是 .变式训练：1.已知直
6、线 l 过点(3,4)P，它的倾斜角是直线1yx 的两倍，则直线 l 的方程为 2.已知直线l在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线l的方程.两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.将直线31yx 绕它上面一点（1，3）沿逆时针方向旋转 15，得到的直线方程是 .题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线1l的方程为223,yxl 的方程为42yx，直线l与1l平行且与2l在y轴
7、上的截距相同，求直线l的方程。探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x 时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.探究 二 直线平移 例 5 已知直线 l：y=2x-3，将直线 l 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位后得到的直线方程为_ 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直
8、线的截距式方程：【典型例题】题型 一 求直线方程 例 1 已知ABC顶点为(2,8),(4,0),(6,0)ABC，求过点B且将ABC面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点 A（1，2）、B（3，1），则线段 AB的垂直平分线的方程是（）.A425xy B425xy C25xy D25xy 2.已知1122234,234xyxy，则过点1122(,),(,)A x yB xy的直线l的方程是（）.A.234xy B.230 xy C.324xy D.320 xy 例 2 求过点(3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线 l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三
9、角形，则 l 的方程为 题型 二 直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了 75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？oyx6106080（千克）元两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 探究 一 直线与坐标
10、轴围成的周长及面积 例 4 已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形，求直线l的方程 探究 二 有关光的反射 例 5 光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入 y 轴后的反射线的方程.变式训练：已知点(3,8)A、(2,2)B，点 P 是 x 轴上的点，求当APPB最小时的点 P 的坐标 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.2.3 直线的一般式
11、方程【知识点归纳】1直线的一般式：2直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型 一 灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是12，经过点 A（8，2）；（2）经过点 B(4，2)，平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32,3；（4）经过两点1P（3，2）、2P（5，4）.题型 二 直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)AB.题型 三 直线一般式方程的性质 例 3 直线方程0AxByC 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相
12、交；（2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x 轴所在直线；（5）是 y 轴所在直线.两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 变式训练：已知直线:5530laxya 。（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。题型 四 运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线1l：220 xmym，2l：10mxym ，问 m 为何值时：（1）12ll；（2）12/ll.变式训
13、练：（1）求经过点(3,2)A且与直线420 xy 平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线250 xy 垂直的直线方程.题型 五 综合运用 例 5 已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求 m 的值，使得：（1）l1和 l2相交；（2）l1l2；（3）l1/l2；（4）l1和 l2重合.两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两
14、点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）直线 l1:2x3y+10=0,l2:3x+4y2=0；（2）直线 l1:1nxyn ,l2:2nyxn.题型 二 三条直线交同一点 例 2 若三条直线2380,1020 xyxykxy ，相交于一点，则 k 的值等于 变式训练：1.设三条直线：21,23,345xyxkykxy交于一点，求 k 的值 2.试求直线1:l20 xy 关于直线2l:330 xy 对称的直线 l 的方程.两点过点的直线与线段始终有公共点求直线
15、的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 题型 三 求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线280 xy 和210 xy 的交点，且平行于直线4370 xy 的直线方程.变式训练：已知直线 l1:2x-3 y+10=0,l2:3x+4y-2=0.求经过 l1和 l2的交点，且与直线 l3:3x-2 y+4=0 垂直的直线 l 的方程.题型 四 两点间距离公式应用 例 4 已知点(2,1),(,3)AB a 且|5AB，则 a 的值为 变式训练：在直线20 xy 上求一
16、点P，使它到点(5,8)M的距离为，并求直线PM的方程.题型 五 三角形的判定 例 5 已知点(1,2),(3,4),(5,0)ABC，判断ABC的类型 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 探究 一 直线恒过定点问题 例 6 已知直线(2)(31)1ayax.求证：无论 a 为何值时直线总经过第一象限.变式训练：若直线 l：ykx3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的倾斜角的取值范围.探究 二 利用对称性求
17、最值问题（和最小，差最大）例 7 直线 2xy4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练：已知(1,0)(1,0)MN、，点P为直线210 xy 上的动点求22PMPN的最小值，及取最小值时点P的坐标 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称
18、点的求法 【典型例题】题型 一 利用点到直线距离求参数 例 1 已知点(,2)(0)aa 到直线:30l xy 的距离为 1，则 a=（）.A2 B2 C21 D21 题型 二 利用点到直线距离求直线的方程 例 2 求过直线1110:33lyx 和2:30lxy 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程.变式训练：直线 l 过点 P(1，2)，且 M(2，3)，N(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程是 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线
19、的学习必备 欢迎下载 题型 三 利用平行直线间的距离求参数 例 3 若两平行直线3210 xy 和60 xayc 之间的距离为2 1313，求2ca的值.变式训练：两平行直线51230102450 xyxy 与间的距离是（）.A.213 B.113 C.126 D.526 题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线:51260lxy 平行且与l的距离 2 的直线方程是 题型 五 点、直线间的距离的综合运用 例 5 已知点 P 到两个定点 M（1，0）、N（1，0）距离的比为2，点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线 PN 的方程 两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的
20、取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的学习必备 欢迎下载 探究 一 与直线有关的对称问题 例 6 ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)ABC.求A的平分线 AD 所在直线的方程.变式训练：1.与直线2360 xy 关于点（1，-1）对称的直线方程是 2求点 A（2，2）关于直线2490 xy 的对称点坐标 探究 二 与距离有关的最值问题 例 7 在函数24yx的图象上求一点 P，使 P 到直线45yx的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线:310lxy 上求一点 P，使得：（1）P 到 A（4，1）和 B（0，4）的距离之差最大。（2）P 到 A（4，1）和 C（3，4）的距离之和最小。两点过点的直线与线段始终有公共点求直线的斜率的取值范围变式训练垂直的判定典型例题题型一两条直线平行关系例已知直线经过点经过点角为经过点问与是否垂直直线的斜率是方程的两根则题型三根据直线的