2022年数学直线与方程典型例题 .pdf

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1、第三章直线与方程【典型例题】题型一 求直线的倾斜角与斜率设直线l斜率为k且11k则倾斜角的取值范围拓展一 三点共线问题例 已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值例 已知三点)0)(,0(),0,(),2,2(abbCaBA)在一条直线上,则ba11拓展二 与参数有关问题例 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2) 的直线l与线段 AB 始终有公共点,求直线l的斜率 k 的取值范围 . 变式训练:已知(2,3),( 3, 2)AB两点,直线l过定点(1,1)P且与线段AB 相交,求直线l的斜率 k 的取值范围 .

2、 拓展三 利用斜率求最值例 已知实数x、y满足28,xy当 2x3时,求yx的最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【典型例题】题型一 两条直线平行关系例 1 已知直线1l 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) ,2l 经过点R(-2,32) 、S(0,52) ,试判断1l 与2l 是否平行?变式训练 : 经过点( 2,)Pm和(,4)Q m的直线平行于斜率

3、等于1 的直线,则m的值是() . A4 B1 C1 或 3 D1 或 4 题型二 两条直线垂直关系例 2 已知ABC的顶点(2,1),( 6,3)BC,其垂心为( 3,2)H,求顶点A的坐标变式训练 : ( 1)1l 的倾斜角为45 ,2l 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问1l 与2l 是否垂直?(2)直线12,l l 的斜率是方程2310 xx的两根,则12ll与的位置关系是. 题型三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线1l经过点 A(3,a)、B(a-2,-3),直线2l经过点 C(2,3) 、D(-1,a-2), (1)如果1l/2l,则求 a 的值;(2)如果1

4、l2l,则求 a的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 题型四 直线平行和垂直的判定综合运用例 4 四边形 ABCD 的顶点为(2,22 2)A、( 2,2)B、(0,222)C、(4,2)D,试判断四边形 ABCD 的形状 . 变式训练 :已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线CDAB,且 CBAD探点一 数形结合思想例 5 已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交

5、于A、B 两点,分别过点A、B 作 y轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C、D 两点 . (1)证明:点C、D 和原点 O 在同一直线上 . (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点A 的坐标. 探点二分类讨论思想例 6 ABC的顶点(5, 1),(1,1),(2,)ABCm,若ABC为直角三角形,求m 的值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【典型例题】题型

6、一 求直线的方程例 1 写出下列点斜式直线方程:(1)经过点(2,5)A,斜率是4; (2)经过点(3, 1)B,倾斜角是 30 . 例 2 倾斜角是 135 ,在y轴上的截距是3 的直线方程是. 变式训练 :1. 已知直线l 过点(3,4)P,它的倾斜角是直线1yx的两倍,则直线l 的方程为2. 已知直线l在y轴上的截距为3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - -

7、 - 3.将直线31yx绕它上面一点(1,3 )沿逆时针方向旋转15 ,得到的直线方程是. 题型二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线1l的方程为223,yxl的方程为42yx,直线l与1l平行且与2l在y轴上的截距相同,求直线l的方程。探究一 直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线31ykxk. (1)求直线恒经过的定点;(2)当33x时,直线上的点都在x 轴上方,求实数k 的取值范围 . 探究二 直线平移例 5 已知直线l:y=2x-3 ,将直线l 向上平移2 个单位长度,再向右平移4 个单位后得到的直线方程为 _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

8、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程:2.直线的截距式方程:【典型例题】题型一求直线方程例 1 已知ABC顶点为(2,8),( 4,0),(6,0)ABC,求过点B且将ABC面积平分的直线方程. 变式训练 :1.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段AB 的垂直平分线的方程是(). A 425xyB 425xyC25xyD25xy2.已知1122234,234xyxy,则过点1122(,),(,)A

9、 x yB xy的直线l的方程是(). A. 234xyB. 230 xyC. 324xyD. 320 xy例 2 求过点(3,2)P,并且在两轴上的截距相等的直线方程. 变式训练 :已知直线l 过点( 3,-1) ,且与两轴围成一个等腰直角三角形,则l 的方程为题型二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李费用y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,其图象如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并说明自变量x 的取值范围;(2)如果某旅客携带了75 千克的行李,则应当购买多少元行李票?oyx61060 80(千

10、克)元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - 探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例 4 已知直线l过点 ( 2,3) ,且与两坐标轴构成面积为4 的三角形,求直线l的方程探究二有关光的反射例 5 光线从点A(3,4)发出,经过x 轴反射,再经过y 轴反射,光线经过点B( 2,6) ,求射入y 轴后的反射线的方程. 变式训练 :已知点( 3,8)A、(2,2)B,点 P 是 x 轴上的点,求当APPB 最小时的点P 的坐

11、标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1直线的一般式:2直线平行与垂直的条件:【典型例题】题型一 灵活选用不同形式求直线方程例 1 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是12,经过点 A(8, 2) ; (2)经过点B(4,2),平行于x 轴;(3)在 x轴和y轴上的截距分别是32,3; (4)经过两点1P(3,2) 、2P (5,4). 题型二 直线不

12、同形式之间的转化例 2 求出直线方程,并把它化成一般式、斜截式、截距式:过点( 5,6),( 4,8)AB. 题型三 直线一般式方程的性质例 3 直线方程0AxByC的系数 A、B、C 分别满足什么关系时,这条直线分别有以下性质 ? (1)与两条坐标轴都相交;(2)只与 x 轴相交;(3)只与 y 轴相交;(4)是 x 轴所在直线;(5)是 y 轴所在直线 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - 变式训练 :已知直

13、线:5530laxya。(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围。题型四 运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线1l :220 xmym,2l :10mxym,问 m 为何值时:(1)12ll ;(2)12/ll . 变式训练 : (1)求经过点(3,2)A且与直线 420 xy平行的直线方程;(2)求经过点(3,0)B且与直线 250 xy垂直的直线方程. 题型五综合运用例 5 已知直线1:60lxmy,2: (2)320lmxym,求 m 的值,使得:(1)l1和 l2相交;( 2)l1l2;( 3)l1/l2;( 4)l1和 l2重合

14、 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标:2.两点间的距离公式:【典型例题】题型一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标. (1)直线 l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0; (2)直线 l1: 1nxyn, l2: 2nyxn . 题

15、型二三条直线交同一点例 2 若三条直线2380,1020 xyxykxy,相交于一点,则k 的值等于变式训练 :1.设三条直线:21,23,345xyxkykxy交于一点,求k 的值2.试求直线1:l20 xy关于直线2l :330 xy对称的直线l 的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - 题型三求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线280 xy和210 xy的交点,且平行于直线4370 xy的直线方程

16、 . 变式训练 :已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1和 l2的交点,且与直线l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线l 的方程 . 题型四两点间距离公式应用例 4 已知点( 2, 1),( ,3)AB a且|5AB,则 a 的值为变式训练 :在直线 20 xy上求一点P,使它到点(5,8)M的距离为,并求直线PM的方程 . 题型五 三角形的判定例 5 已知点(1,2),(3,4),(5,0)ABC,判断ABC的类型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

17、 - - - - - 第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - 探究一直线恒过定点问题例 6 已知直线 (2)(31)1ayax. 求证:无论a 为何值时直线总经过第一象限. 变式训练 :若直线l:ykx3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限,求直线l 的倾斜角的取值范围. 探究二利用对称性求最值问题(和最小,差最大)例 7 直线 2xy4=0 上有一点 P,求它与两定点A(4,1),B(3,4)的距离之差的最大值. 变式训练 :已知(1,0)( 1,0)MN、,点P为直线 210 xy上的动点求22PMPN的最小值,及取最小值时点P的坐标名师资料总结 - - -精品

18、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离:2.两条平行间直线的距离:拓展:点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一 利用点到直线距离求参数例 1 已知点 ( ,2) (0)aa到直线:30lxy的距离为1,则 a=(). A2B2C21D21题型二 利用点到直线距离求直线的方程例 2 求过直线1110:33lyx和2:30lxy的交点并且与原点相距为1

19、 的直线 l 的方程 . 变式训练 :直线 l 过点 P(1,2),且 M(2,3),N(4, 5)到l的距离相等,则直线l的方程是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 15 页 - - - - - - - - - 题型三 利用平行直线间的距离求参数例 3 若两平行直线3210 xy和60 xayc之间的距离为2 1313,求2ca的值 . 变式训练 :两平行直线51230102450 xyxy与间的距离是(). A. 213B. 113C. 126D. 52

20、6题型四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线:51260lxy平行且与l的距离 2 的直线方程是题型五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点 P 到两个定点M(1,0) 、N(1,0)距离的比为2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线PN 的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - 探究一与直线有关的对称问题例 6 ABC 中,(3,3),(2, 2),( 7,1)ABC. 求A 的平分线AD

21、 所在直线的方程. 变式训练 :1.与直线2360 xy关于点( 1,-1)对称的直线方程是2求点 A( 2,2)关于直线2490 xy的对称点坐标探究二 与距离有关的最值问题例 7 在函数24yx 的图象上求一点P,使 P 到直线45yx的距离最短,并求这个最短的距离 . 变式训练 :在直线:310lxy上求一点 P,使得:(1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大。(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 15 页 - - - - - - - - -

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