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1、第 1 页 共 4 页第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（ 1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（ 2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（ 3）求圆方程的方法：一般
2、都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例 1 已知方程2222(1)2(23)51060 xymxmymm. （1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案： (1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5 上，半径为2. 练习：1方程222460 xyxy表示的图形是（）以(12)，为圆心，11为半径的圆以(12)，
3、为圆心，11为半径的圆以( 12)，为圆心，11为半径的圆以( 1 2)，为圆心，11为半径的圆2过点 A( 1， 1)，B( 1， 1) 且圆心在直线x y20 上的圆的方程是() A ( x3)2 ( y1)24 B ( x3)2( y 1)24 C ( x1)2( y1)24 D ( x1)2( y1)24 3点(11)，在圆22()()4xaya的内部，则a的取值范围是（）11a01a1a或1a1a4若22(1)20 xyxy表示圆，则的取值范围是5若圆 C 的圆心坐标为( 2， 3) ，且圆 C 经过点 M( 5， 7) ，则圆 C 的半径为 .6圆心在直线yx 上且与 x 轴相切于
4、点 ( 1，0) 的圆的方程为7以点 C( 2，3) 为圆心且与y 轴相切的圆的方程是第 2 页 共 4 页8求过原点，在x 轴， y 轴上截距分别为a，b 的圆的方程 ( ab0) 9求经过A( 4，2)，B( 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2 的圆的方程10求经过点 ( 8，3) ，并且和直线x6 与 x10 都相切的圆的方程三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（ 1 ） 设 直 线0:CByAxl， 圆222:rbyaxC， 圆 心baC,到l的 距 离 为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2） 过
5、圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2， 圆 上 一 点 为 (x0，y0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2例已知圆22:(2)1Mxy,Q 是x轴上的动点 , QA、QB 分别切圆 M 于 A，B 两点( 1)若点 Q 的坐标为（1，0），求切线 QA、QB的方程；(答：切线QA、QB 的方程分别为0343yx和1x) (2) 求四边形 QAMB 的面积的最小
6、值；（答2222113MAQBSMA QAQAMQMAMQMO）(3) 若4 23AB，求直线MQ 的方程 . （答：直线MQ的方程为05252yx或05252yx）练习：1以点 ( 3，4) 为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是() A ( x3)2 ( y4)216 B ( x3)2( y 4)216 C ( x3)2( y4)29 D ( x3)2( y4)219 2若直线xym0 与圆 x2y2m 相切，则 m 为() A 0 或 2 B2 C2D无解.直线l过点），（02，l与圆xyx222有两个交点时，斜率k的取值范围是( ) A），（2222B），（22C），（4242D），（81
7、81设圆x2 y2 4x5 0的弦 AB 的中点为P( 3，1) ，则直线AB 的方程是圆( x1)2( y2)220 在 x 轴上截得的弦长是。P为圆122yx上的动点，则点P到直线01043yx的距离的最小值为_圆 x2y22x2y10上的动点Q 到直线 3x4y 80 距离的最小值为圆心为C( 3， 5) ，并且与直线x7y20 相切的圆的方程为求圆心在原点，且圆周被直线3x4y 150 分成 12 两部分的圆的方程12 （本小题15 分）已知圆C：2219xy内有一点P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两第 3 页 共 4 页点(1) 当 l 经过圆心C 时，求
8、直线l 的方程；(2) 当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线l 的方程；(3) 当直线 l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长13（本小题15 分）已知动点M 到点 A（2，0）的距离是它到点B（8， 0）的距离的一半，求： （ 1）动点 M 的轨迹方程； （2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点
9、，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例 4 已知圆:C22(2)4xy，相互垂直的两条直线1l、2l都过点( ,0)A a. （）若1l、2l都和圆C相切，求直线1l、2l的方程；（）当2a时，若圆心为(1,)Mm的圆和圆C外切且与直线1l、2l都相切，求圆M的方程；（）当1a时，求1l、2l被圆C所截得弦长之和的最大值. 答案：
10、（）1l、2l的方程分别为222:1xyl与222:2xyl或222:1xyl与222:2xyl（）圆M的方程为4)7()1(22yx（）即1l、2l被圆C所截得弦长之和的最大值为1421两个圆C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y1 0的位置关系为() A内切B相交C外切D相离2圆x2y22x50 与圆x2y22x4y40 的交点为A，B，则线段AB 的垂直平分线的方程是() A xy10 B2xy10 C x2y10 Dx y10 3圆 x2y22x0 和圆 x2 y2 4y0 的公切线有且仅有() A 4 条B3 条C2 条D1 条14两圆 x2 y2 1和 ( x4)2
11、 (ya)225 相切，试确定常数a 的值6 两圆229xy和228690 xyxy的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切7 圆：06422yxyx和圆：0622xyx交于,A B两点，则AB的垂直平分线的方程是8两圆221xy和22(4)()25xya相切，则实数a的值为第 4 页 共 4 页五、求圆的轨迹方程1、点 P00(,)xy是圆224xy上的动点，点 M 为 OP（O 为原点）中点，求动点 M 的轨迹方程。2、已知两定点 A(-2,0)、B(1,0)，若动点 P满足 PA=2PB，则点 P轨迹方程所包围的图形面积等于3、等腰三角形 ABC 底边一个端点 B(1,-3)，顶点 A(0,6)，求另一个端点 C 的轨迹方程。4、已知 BC 是圆2225xy的动弦，且 BC，求 BC 中点轨迹方程。5、已知点 M 与两个定点 O（0，0） ，A(3，0)的距离的比为12，求点 M 的轨迹方程。