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1、.巧解圆中的最值问题求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.基本模型如图 1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B、C两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为AO半径，最大值为AO+半径.类型 1定点定长定圆例 1如图 3，在ABC中，ACB 90，ABC 30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，得到MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC 2，连结PQ，则旋转时PQ长度的最大值是().(A)2 6(B)2 3(C)6(D)3分析连结CQ，点P是定点，点
2、Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运动轨迹.在这里，可以利用点Q是RtMNC斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC CQ 3，所以选 D.精选.例 2(2015 年宁波考纲)如图 4，二次函数y ax bxc(a 0)的图象交x轴于点2A(1,0)，B(4,0)，交y轴于点C(0,2)，过B，C画直线，并连结AC.(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式.(2)点F是线段BC上的一点，过点F作ABC内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AG上，GF交y轴于点M.求该正方形的边长;将
3、线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗?请说明理由.(3)在(2)的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转的过程中，点P始终为CF的中点，请直接写出线段OP的最大值.分析(1)二次函数解析式为13y x2x222直线解析式为y 1x22(2)10，不是；7(3)本题中，O是定点，P是动点，取BC的中点K，连结BF，PK，由题意，得PK 15BF 5，K(2,1)2755为半径的圆，所以OP的最大值为7所以P的运动轨迹是一个以K为圆心，精选.OK 5125 577类型 2 定线定角定圆例 3(2016 年宁波考纲)如图 5，在等腰RtABC中，AB BC 2，点P为等腰RtABC所在
4、平面内一点，且满足PA PB，则PC的取值范围为.分析根据条件可知线段AB是定值，且AB所对的张角APB是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上(不与A、B重合).又因为APB 90，所以AB恰好是直径。连结CO并延长交圆O分别为P故1、P2，CP1最小，CP2最大，所以PC的取值范围为5 1 PC 5 1例 4(2013 年武汉中考题)如图 6，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE DF，连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是。分析在确定动点H的轨迹时，需要我们先去证明AHB 90。因为
5、AE DF，易精选.证ABE DCF，得到DCF ABE，由正方形对称性可知DAG DCG，得到DCF DAG，所以AHB 90.再考虑到E、F是边AD上两个动点，所以动点H的轨迹是以AB中点为圆心，AB12为半径的1圆，连接OD，故可求得DH长度的最小值是5 1.4例 5(2016 年宁波考纲)如图 7，O半径为 3,RtABC的顶点A，B在O上，B 90，点G在O内，且tan A3，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）4(A)2(B)35(C)3(D)23分析O是定点，C是动点，确定点C的运动轨迹是本题的难点.延长AC交圆于点E,连结EO并延长，交圆于点F，连结FB.因为tan A3，所
6、以ACB为定值，即BCE为定值.418，符合定线定角定圆这种类型，故点C5因为O半径为 3，F A，所以EB 的运动轨迹是过B，C，E三点的圆弧且在O内部.不妨设圆心为O1，连结O1E，O1O因为BCE D 180，O1 D所以BCE O1180易得O1=ACB FEB精选.所以EO1O为直角三角形，且tanO143因为OE 3所以O1E 915，O1O 4432所以最小值为O1OO1E 例 6(2016 年宁波考纲)边长为 3 的等边ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，AOD30，则顶点C到原点O的最大距离为.分析此题定点是点O，动点是点C，尽管AB 3是确定的，但由
7、于点A，B都是在动的，故确定点C的运动轨迹时难度仍较大.不妨换个角度来看问题，正难则反，把正ABC看成是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点O在运动时满足AOB 30，而AOD所对的边AB是不变的，符合定线定角定圆这种类型，所以点O的运动轨迹是过点A，B，O三点的圆弧(优弧BA上)，取圆心E，连结EA，EB因为AOB 30，所以AEB 60,即ABE是边长为 2 的正三角形，CE 2 3.连结CE并延长，交圆于点O，此时CO最大，最大值为CE 半径 2 3 2从上面的几个例子中可以发现，模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇精选.到各种困难，这时就需要我们利用题目的已知条件，挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.精选