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1、1 圆中最值问题的求解方法有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短例 1 （2012 宁波）如图1， ABC 中， BAC 60， ABC 45， AB22，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分别交 AB ，AC 于点 E，F，连结 EF，则线段 EF 长度的最小值为_分析由垂线段的性质可知，当AD 为 ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短解如图 2，连结 OE，OF，过 O 点作 OHE
2、F，垂足为H在 RtADB 中，ABC 45， AB 22，AD BD 2，即此时圆的直径为2由圆周角定理，可知EOH12EOF BAC 60，在 RtEOH 中，EH OE sinEOH 33122由垂径定理，可知EF2EH3点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆二、两点之间线段最短例 2 （2014 三明）如图3，在 RtABC 中， ACB 90，ACBC2，以 BC 为直径的半圆交AB 于点 D，P 是?CDCD 上的一个动点，连结AP，则 AP 的最小值是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 分析如图 4，取 BC 的中点 E，连结 AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得， AP1EP1AE ，即 AP2是 AP 的最小值再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可解如图 4，取 BC 的中点 E，连结 AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结 AP1，EP1，可得， AP1EP1AE ，22215AE，P2E1AP251即 AP2是 AP 的最小值点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利
4、用两点之间线段最短是解题的关键三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例 3 （ 2014 张家界）如图5，AB、CD 是半径为5 的O 的两条弦， AB 8，CD6，MN 是直径， AB MN 于点 E，CD MN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则PAPC 的最小值为 _分析 A、B 两点关于MN 对称，因而PAPCPB PC，即当 B、C、P在一条直线上时， PAPC 的最小，即BC 的值就是PAPC 的最小值解如图 6，连接 OA ，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于点 H根据垂径定理，得到在 RtBCH 中，根据勾股定理得到BC 72，则 PAPC 的最小值
5、为72点评正确理解BC 的长是 PAPC 的最小值，是解决本题的关键例 4（2014 东营） 如图 7，在 O 中，AB 是 O 的直径， AB 8cm，?ACCDBD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 M 是 AB 上一动点，则CMDM 的最小值是 _cm解析如图 8，作点 C 关于 AB 的对称点C，连结 CD 与 AB 相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题， 点 M 为 CM DM 的最小值时的位置，
6、根据垂径定理可得?ACAC，然后求出 CD 为直径，从而得解CMDM 的最小值是8cm点评本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出 CM DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键四、利用切线的性质求最小值例 5（2010 苏州）如图9，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)， C 的圆心坐标为（ 1，0） ，半径为 1若 D 是 C 上的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点E，则ABE 面积的最小值是( ) (A)2 (B)1 (C)222(D)22解析根据三角形的面积公式，ABE 底边 BE 上的高AO 不变， BE 越小，则面积越小， 可以判
7、断当AD 与 C 相切时， BE 的值最小根据勾股定理求出AD 的值， 然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解如图 10，由题意知道当DA 是圆 C 的切线时， OE 最短，此时 ABE 面积最小AC 213CD1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 故选 C点评本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE 的长度是解题的关键
8、五、立体图形上两点之间最短距离例 6（2014 兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角形，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程解析如图 12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解， ABC 为正三角形BC6l 2 3 6 根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得66180n故 n180，则 BAC 90，BP3693 5（米）答：小猫所经过的最短路程是35米点评本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -