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1、第 1 页 共 6 页ByCxAODBOCA与圆有关的最值（取值范围）问题引例 1： 【 2012 年武汉市中考】在坐标系中，点A的坐标为 (3 ，0)，点 B为 y 轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2 设 tan BOC=m ，则 m的取值范围是 _引例 2： 【2013 年武汉市元月调考试题】如图，在边长为1 的等边 OAB中，以边 AB为直径作 D，以 O为圆心 OA长为半径作 O ， C为半圆弧AB上的一个动点 （不与 A、 B两点重合）， 射线 AC交 O于点 E， BC=a ，AC=b，求ab的最大值 . 引例 3： 【2013 年武汉市四月调考试题】如图，BAC=
2、60 ，半径长为1 的圆 O与 BAC的两边相切， P为圆 O上一动点，以P为圆心， PA长为半径的圆P交射线 AB 、AC于 D 、E两点，连接DE ，则线段 DE长度的最大值为 ( ). A3 B6 C3 32 D3 3一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“ 直线斜率 ”的直接运用；2引例 2：通
3、过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式 ”的直接运用；3引例 3：本例动点的个数由引例1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、 E与一个定点A构成三角形的不变条件（ DAE=60 ） ，构造弦 DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径 AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理 ”的直接运用；综合比较、 回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原
4、理却无法通透. 二、解题策略1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较结果；3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化. 【2013 年武汉市中考】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD上两个动点，满足AE DF ，连接 CF交BD于点 G ，连接 BE交 AG于点 H，若正方形的边长为2，则线段 DH长度的最小值是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第
5、 2 页 共 6 页BACMDDOPCBACBOPA【2014 年武汉市四月调考试题】如图，P 为的 O 内的一个定点， A 为 O 上的一个动点，射线AP、AO 分别与 O 交于 B、C 两点若 O 的半径长为3，OP3 ，则弦 BC 的最大值为A2 3 B3C6 D3 2 【2014 年武汉市元月调考试题】 如图，扇形AOD 中， AOD90，OA6，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点 A 和 D 重合） ，PQ OD 于 Q，点 I 为 OPQ 的内心，过O，I 和 D 三点的圆的半径为r. 则当点 P 在弧 AD 上运动时，r的值满足（）A30rB3rC233rD23r三、中考展望
6、与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1如图，在RtABC中， ACB=90 ，AC=4 ，BC=3 ，点 D是平面内的一个动点，且AD=2 ，M为 BD的中点，在 D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 2如图， O的直径为 4，C 为 O上一个定点，ABC=30 ，动点P从 A 点出发沿半圆弧AB向 B点运动（点P与点 C在直径 AB的异侧 ) ，当 P点到达 B点时运动停止，在运动过程中，过点C作 CP的垂线 CD交 PB的延长线于D点在点 P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；方法二、正弦定理如图， ABC中，BAC=60 ， ABC=45 ，AB=2 2，D
7、是线段 BC上的一个动点，以AD为直径作O分别交 AB，AC于 E，F 两点，连接EF ，则线段 EF长度的最小值为IQOADP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 6 页lQPNMOADBCEFCADBQPODCEAB方法三、柯西不等式在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心， 2 为半径画 O ，P是 O上一动点，且P在第一象限内，过点 P作 O的切线与 x 轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段 AB
8、长度的最小值是 . 方法四、利用函数求最值如图，已知半径为2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P是直径 AB左侧半圆上的动点，过点P作直线 l的垂线，垂足为C，PC与O 交于点 D，连接 PA 、PB，设 PC的长为 x（2x4） ，则当 x= 时，PD?CD 的值最大，且最大值是为 . 方法五、借助对称求最值如图，已知，O 的直径 CD为 4，点 A 在O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点， P为直径 CD上一动点， 求 BP+AP 的最小值【题型训练】1如图，已知直线l 与 O相离， OA l 于点 A ， OA=5 ，OA与 O相交于点 P，AB与O相切于点B，BP的延长线
9、交直线l 于点 C，若在 O上存在点 Q，使 QAC是以 AC为底边的等腰三角形，则O的半径 r 的取值范围为 . 2如图， M ， N的半径分别为2cm ，4cm，圆心距 MN=10cm P为 M上的任意一点， Q为 N上的任意一点，直线 PQ与连心线l所夹的锐角度数为，当 P、 Q在两圆上任意运动时，tan的最大值为 ( ). (A)612 (B)43 (C)33 (D)34（ 1题）（2 题）3如图，在Rt ABC中， C=90 ，AC=8 ，BC=6 ，经过点 C且与边 AB相切 的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ). A194 B245 C5 D4 2
10、4如图，在等腰RtABC中， C=90 ，AC=BC=4 ，D是 AB的中点，点 E在 AB边上运动（点E不与点 A重合），过 A、D、E三点作 O，O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中，线段 EF长度的最小值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 6 页（ 3题）（ 4 题）（5 题）5如图， 线段 AB=4， C为线段 AB上的一个动点， 以 AC 、BC为边作等边 ACD和等边 BCE ，
11、O外接于 CDE ，则 O半径的最小值为( ). A.4 B.2 33 C.3 22 D. 2 6如图， A、 B两点的坐标分别为(2 ，0) 、(0 ， 2) ， C的圆心的坐标为(-1 ，0) ，半径为 1，若 D是 C上的一个动点，线段DA与 y 轴交于点 E，则 ABE面积的最小值是( ). A2 B1 C.222 D.22（6 题）（7 题）（8 题）7如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2 ，0)、(0 ，1) ，C的圆心坐标为 (0，-1) ，半径为 1，D是 C上的一个动点，射线AD与 y 轴交于点 E，则 ABE面积的最大值是( ). A3 B113 C103 D4 8如图
12、BAC 60，半径长1 的 O与 BAC的两边相切，P为 O上一动点，以P为圆心， PA长为半径的P交射线 AB 、AC于 D、E两点，连接DE ，则线段 DE长度的范围为 . 9、如图，已知线段OA交O 于点 B，且 OB AB ，点 P是O 上的一个动点，求OAP的最大值。10、如图，AB 是 O 的一条弦， 点 C 是 O 上一动点， 且 ACB=30 ，点 E、F 分别是 AC 、BC 的中点，直线EF 与 O 交于 G、H 两点，若 O 的半径为 7，求 GE+FH 的最大值。11、如图，在RtAOB 中，OA=OB=3， O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P 作
13、O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），求 PQ 的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 6 页12、在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A（13， 0） ，直线y=kx3k+4 与 O 交于 B、C 两点，求弦BC 的长的最小值。13、设 AB是O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于 A 、B，O的半径为 r ，求 OA OB的最小值。14、如图，圆 O与正方形 ABC
14、D 的两边 AB 、AD相切， E 与圆 O上一点若圆 O的半径为 4，且AB=7 ，求 DE的最大值15、如图，在 O上有定点 C和动点 P，位于直径 AB的异侧，过点 C作 CP的垂线，与 PB的延长线交于点 Q ，已知： O半径为，tan ABC=，求 CQ的最大值16、在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C在以半径为 3 的O 上，连接OC ，过 O点作 OD OC ，OD与O 相交于点 D（其中点 C、O 、D按逆时针方向排列）， 连接 AB AC ， BC ， 当点 C在O 上运动时，求出ABC的面积的最大值y B P r O A x 名师资
15、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页17、如图所示，已知11(,)2Ay，2(2,)By为反比例函数1yx图像上的两点，动点( ,0)P x在x正半轴上运动， 当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A. 1(,0)2 B. (1,0)C. 3(,0)2 D. 5(,0)218、 、如图，定长弦 CD在以 AB为直径的 O上滑动（点 C、D与点 A、B不重合） ，M是 CD的中点，过点 C
16、作 CP AB于点 P，若 CD=3 ，AB=8 ，求 PM长度的最大值19、 如图，已知直角 AOB 中，直角顶点 O在半径为 1 的圆心上，斜边与圆相切，延长AO ，BO分别与圆交于 C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！y x O A B P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -