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1、1第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值考纲传真 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质1函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数yf (x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么，就称函数yf (x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf (x)在区间A上是递增的当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么，就称函数yf (x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf (x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性
2、如果函数yf (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间如果函数yf (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf (x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf (x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数2函数的最值前提函数yf (x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f (x0)M；(2)对于任意xD，都有f (x)M(1)存在x0D，使得f (x0)M；(2)对于任意xD，都有f (x)M结论M为最大值M为最小值21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数y 在其定义
3、域上递减( )1 x(2)函数yx在其定义域上递增( )|x| x(3)对于函数f (x)，xD，若x1，x2D且0，则函数f (x)在f x2f x1 x2x1D上是增加的( )(4)若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，则函数f (x)的值域一定是m，M( )答案 (1) (2) (3) (4)2(2016北京高考)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )【导学号：66482027】Ay Bycosx1 1xCyln(x1) Dy2xD D 选项 A 中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)1 1x1 1x上为增函数；选项 B 中，ycosx在(1,1)上先增后减
4、；选项 C 中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项 D 中，y2xx在 R R 上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数(1 2)3(教材改编)已知函数f (x)，x2,6，则f (x)的最大值为_，最2 x1小值为_2 可判断函数f (x)在2,6上为减少的，所以f (x)maxf (2)2，f (x)2 52 x1minf (6) .2 54函数y(2k1)xb在 R R 上是减函数，则k的取值范围是_.【导学号：66482028】由题意知 2k10，得k .(，1 2)1 25f (x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f (x)max_
5、.31,3 8 f (x)(x1)21，故f (x)的单调增区间为1,3，f (x)maxf (2)8.函数单调性的判断(1)函数f (x)log2(x21)的递减区间为_(2)试讨论函数f (x)x (k0)的单调性k x(1 1)(，1 1) 由x210 得x1 或x1，即函数f (x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21 在x(，1)上是减函数，所以函数f (x)log2(x21)的递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令 0x1x2，那么f (x2)f (x1)(x2x1)
6、(x2k x2) (x1k x1)k(x2x1). 2 分(1 x21 x1)x1x2k x1x2因为 0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f (x1)f (x2)，k即函数在(，)上递增. 6 分k当x1，x2(0，)时，f (x1)f (x2)，k即函数在(0，)上递减k考虑到函数f (x)x (k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调k x性，故在(，)上递增，在(，0)上递减kk综上，函数f (x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递kkkk减. 12 分法二：f (x)1. 2 分k x2令f (x)0 得x2k，即x(，)或x(，
7、)，故函数的单调增区kk间为(，)和(，). 6 分kk令f (x)0 得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(kk4，0)和(0，). 10 分kk故函数f (x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递减. kkkk12 分规律方法 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练 1 (1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )Ayx3 ByxCy Dyx1 x(
8、1 2)(2)函数f (x)log (x24)的递增区间是( )1 2A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(1)C C (2 2)D D (1)选项 A，B 中函数在定义域内均为递增函数，选项 D 为在定义域内为递减函数，选项 C 中，设x1x2(x1，x20)，则y2y1，因为1 x21 x1x1x2 x1x2x1x20，当x1，x2同号时x1x20，0，当x1，x2异号时x1x20，0，1 x21 x11 x21 x1所以函数y 在定义域上不是单调函数，故选 C.1 x(2)由x240 得x2 或x2，所以函数f (x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylogt在定义域上是减函数，
9、所以求原函数的递增区间，即求函数1 2tx24 的递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知f (x)，x1，)，且a1.x22xa x(1)当a 时，求函数f (x)的最小值；1 2(2)若对任意x1，)，f (x)0 恒成立，试求实数a的取值范围.【导学号：66482029】思路点拨 (1)先判断函数f (x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x)min0 求a的范围，而求f (x)min应对a分类讨论5解 (1)当a 时，f (x)x2，f (x)10，x1，)，1 21 2x1 2x2即f (x)在1，)上是增函数，f (x)minf (1)12 . 4
10、分1 2 17 2(2)f (x)x 2，x1，)a x法一：当a0 时，f (x)在1，)内为增函数f (x)minf (1)a3.要使f (x)0 在x1，)上恒成立，只需a30，3a0. 7 分当 0a1 时，f (x)在1，)内为增函数，f (x)minf (1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f (x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1. 10 分法二：f (x)x 20，x1，x22xa0，8 分a xa(x22x)，而(x22x)在x1 时取得最大值3，3a1，即a的取值范围为(3,1. 12 分规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (
11、x)在闭区间a，b上是增函数，则f (x)在a，b上的最大值为f (b)，最小值为f (a)请思考，若函数f (x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练 2 (2016北京高考)函数f (x)(x2)的最大值为_x x12 法一：f (x)，x2 时，f (x)0 恒成立，1 x12f (x)在2，)上递减，f (x)在2，)上的最大值为f (2)2.法二：f (x)1，x x1x11 x11 x1f (x)的图像是将y 的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到1 x的y 在2，)上递减，f (x)在2，)上递减，故f (x)在2，)上的1 x最大值为f (2)2.法三：由题意可
12、得f (x)1.1 x1x2，x11，01，1 x16112，即 12.1 x1x x1故f (x)在2，)上的最大值为 2.函数单调性的应用角度 1 比较大小(2015山东高考)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )Aa0.60.60.61.5，即b10.61，即c1.综上，bac.角度 2 解不等式已知函数f (x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上递增，则不等式f (2x1)f 的x的解集是_(1 3)由题意知Error!即Error!1 2，2 3)所以 x .1 22 3角度 3 求参数的取值范围(1)如果函数f (x)ax22x3 在
13、区间(，4)上是递增的，则实数a的取值范围是( )A. B(1 4，)1 4，)C. D1 4，0)1 4，0(2)已知函数f (x)Error!若f (x)在(，)上递增，则实数a的取值范围为_【导学号：66482030】(1)D D (2)(2,3 (1)当a0 时，f (x)2x3，在定义域 R R 上是递增的，故在(，4)上递增；当a0 时，二次函数f (x)的对称轴为x ，1 a因为f (x)在(，4)上递增，7所以a0，且 4，解得 a0.1 a1 4综上所述，实数a的取值范围是.1 4，0(2)要使函数f (x)在 R R 上递增，则有Error!即Error!解得 2a3，即实
14、数a的取值范围是(2,3规律方法 1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)
15、复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图像法：如果f (x)是以图像形式给出的，或者f (x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值易错与防范1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点83函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“， ”隔开，不能用“”连接