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1、1第十二节第十二节 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值考纲传真 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系x(a，x0)极大值点x0(x0，b)f (x)0yf (x)增加极大值减少图示(2)函数的极小值与导数的关系x(a，x0)极小值点x0(x0，b)f (x)0yf (x)减少极小值增加图示2.求f (x)在a，b上的最大(小)值(1)求函数yf (x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf (
2、x)的各极值与f (a)，f (b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)2(1)函数的极大值一定比极小值大( )(2)对可导函数f (x)，f (x0)0 是x0为极值点的充要条件( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图像如图 2121 所示，则函数f (x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )【导学号：664
3、82113】图 2121A1 B2 C3 D4A A 导函数f (x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f (x)在区间(a，b)内有一个极小值点3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )1 3A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件C C yx281，令y0 得x9 或x9(舍去)当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9 时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 4(2016四川高考)已知a为函数f (x)x
4、312x的极小值点，则a( )A4 B2 C4 D2D D 由题意得f (x)3x212，令f (x)0 得x2，当x2 时，f (x)0；当2x2 时，f (x)0，f (x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f (x)在x2 处取得极小值，a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8 y6x24x，令y0，3得x0 或x .2 3f (1)4，f (0)0，f ，(2 3)8 27f (2)8，最大值为 8.利用导数研究函数的极值问题角度 1 根据函数图像判断极值设函数f (x)在 R R 上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的
5、图像如图 2122 所示，则下列结论中一定成立的是( )图 2122A函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)B函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)C函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (2)D函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (2)D D 由题图可知，当x2 时，f (x)0；当2x1 时，f (x)0；当1x2 时，f (x)0；当x2 时，f (x)0.由此可以得到函数f (x)在x2 处取得极大值，在x2 处取得极小值 角度 2 求函数的极值求函数f (x)xaln x(aR R)的极值解 由f (x)1 ，x0 知：a xxa x(1)当a0
6、 时，f (x)0，函数f (x)为(0，)上的增函数，函数f (x)无极值；5 分(2)当a0 时，由f (x)0，解得xa.4又当x(0，a)时，f (x)0；当x(a，)时，f (x)0，9 分从而函数f (x)在xa处取得极小值，且极小值为f (a)aaln a，无极大值综上，当a0 时，函数f (x)无极值；当a0 时，函数f (x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值. 12 分角度 3 已知极值求参数(1)已知函数f (x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )【导学号：66482114】A(，0) B(0，1 2)C(0,1) D(0，)(2)(2016
7、广东肇庆三模)已知函数f (x)x3ax23x9，若x3 是函数f (x)的一个极值点，则实数a_.(1)B B (2)5 (1)f (x)x(ln xax)，f (x)ln x2ax1，故f (x)在(0，)上有两个不同的零点，令f (x)0，则 2a，ln x1 x设g(x)，则g(x)，ln x1 xln x x2g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，又当x0 时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需 02a10a .1 2(2)f (x)3x22ax3，由题意知x3 为方程 3x22ax30 的根，3(3)22a(3)30，解得a5.规律方法 利用导数
8、研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的5最值问题(2017郑州模拟)已知函数f (x)(xk)ex.(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间0,1上的最小值解 (1)由f (x)(xk)ex，得f (x)(xk1)ex，令f (x)0，得xk1. 2 分f (x)与f (x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f (x)0f (x)递减ek1递增所以，f (x)的递减区间是(，k1)；递增区间是(k1，). 5 分(2)当k10，即k1 时，函数f (x)在0,1上递增，所以f (x)在区间0,1上的最小值为f (0)k，7 分当 0k11，即 1k2 时，由(1)知f
9、(x)在0，k1)上递减，在(k1,1上递增，所以f (x)在区间0,1上的最小值为f (k1)ek1.当k11，即k2 时，函数f (x)在0,1上递减，所以f (x)在区间0,1上的最小值为f (1)(1k)e. 10 分综上可知，当k1 时，f (x)mink；当 1k2 时，f (x)minek1；当k2 时，f (x)min(1k)e. 12 分规律方法 求函数f (x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a)，f (b)；(3)将函数f (x)的极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值变
10、式训练 1 (2017石家庄质检(二)若a0，b0，且函数f (x)4x3ax22bx2 在x1 处有极值，若tab，则t的最大值为( )【导学号：66482115】A2 B3 C6 D9D D f (x)12x22ax2b，则f (1)122a2b0，ab6，又6a0，b0，则tab29，当且仅当ab3 时取等号，故选 D.(ab 2)利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中 3x6，a为常a x3数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求a的值；(2
11、)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为x5 时，y11，所以 1011，a2. 5 分a 2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，2 x3所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x)(x3)2 x310x62210(x3)(x6)2,3x6. 7 分从而，f (x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f (x)0f (x)递增极大值 42递减由上表可得，x4 时，函数f (x)取得极大值，也是最大值，9 分
12、所以，当x4 时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于 42.即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 12 分规律方法 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf (x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f (x)，解方程f (x)0；(3)比较函数在区间端点和f (x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；7(4)回归实际问题作答变式训练 2 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_.1 339 2【导学号：66482116】40 由yx239x400
13、，得x1 或x40，由于 0x40 时，y0；x40 时，y0.所以当x40 时，y有最小值思想与方法1可导函数yf (x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同2求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可3如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点4若函数f (x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意xA，f (x)0f (x)min0；(2)存在xA，f (x)0f (x)max0.易错与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论3若函数yf (x)在区间(a，b)内有极值，那么yf (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值4利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义