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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 2 2 节函数的单调性与最值教师用书文新人教节函数的单调性与最值教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1增函数、减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI，如果对于任意x1，x2D，且 x1x2，则都有：(1)f(x)在区间 D 上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间 D 上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数 yf
2、(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x2D，x1x2 且2 / 14(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数( )(2)函数 y
3、的单调递减区间是(，0)(0，)( )(3)函数 y|x|是 R 上的增函数( )(4)所有的单调函数都有最值( )答案 (1) (2) (3) (4)2(2016北京高考)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )Ay1 1xBycos xCyln(x1)Dy2xD 选项 A 中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项 B 中，ycos x 在(1,1)上先增后减；选项 C 中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项 D 中，y2xx 在 R 上为减函数，故 y2x 在(1,1)上是减函数3(教材改编)已知函数 f(
4、x)，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_2 可判断函数 f(x)在2,6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).4函数 y(2k1)xb 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是_. 【导学号：31222025】3 / 14由题意知 2k10，得 k.(，1 2)5f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.1,3 8 f(x)(x1)21，故 f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.函数单调性的判断(1)函数 f(x)log2(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数 f(x)x(k0)的单调性(1)(，1) 由 x
5、210 得 x1 或 x1，即函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)令 tx21，因为 ylog2t 在 t(0，)上为增函数，tx21 在 x(，1)上是减函数，所以函数 f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取 x1，x2，令 0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).2 分因为 0x1x2，所以 x2x10，x1x20.故当 x1，x2(，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(，)上单调递增.6 分当 x1，x2(0，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数
6、f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减4 / 14综上，函数 f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减.12 分法二：f(x)1.2 分令 f(x)0 得 x2k，即 x(，)或 x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，).6 分令 f(x)0 得 x2k，即 x(，0)或 x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，).10 分故函数 f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减.12 分规律方法 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底
7、2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练 1 (1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )Ayx3 ByxCyDyx(2)函数 f(x)log(x24)的单调递增区间是( )A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(1)C (2)D (1)选项 A，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项 D 为在定义域内为单调递减函数，选项 C 中，设x1x2(x1，x20)，则 y2y1，因为 x1x20，当5 / 14x1，x2 同号时 x1x20，0，当 x1，
8、x2 异号时x1x20，0，所以函数 y在定义域上不是单调函数，故选 C.(2)由 x240 得 x2 或 x2，所以函数 f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为 ylogt 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知 f(x)，x1，)，且 a1. 【导学号：31222026】(1)当 a时，求函数 f(x)的最小值；(2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围思路点拨 (1)先判断函数 f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据 f(x)min0 求 a 的范围，而
9、求 f(x)min 应对 a分类讨论解 (1)当 a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即 f(x)在1，)上是增函数，f(x)minf(1)12.4分(2)f(x)x2，x1，)法一：当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数f(x)minf(1)a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，3a0.7 分当 0a1 时，f(x)在1，)内为增函数，f(x)minf(1)a3，6 / 14a30，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a 的取值范围是(3,1.10 分法二：f(x)x20，x1，x22xa0，8 分a(x22x)，而(x22x)在 x1 时取
10、得最大值3，3a1，即 a 的取值范围为(3,1.12 分规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数 f(x)在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)请思考，若函数 f(x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练 2 (2016北京高考)函数 f(x)(x2)的最大值为_2 法一：f(x)，x2 时，f(x)0 恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为 f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图象是将 y的图象向右平移 1 个单位，再向上平移1 个单位得到的y在2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减
11、，故 f(x)在2，)上的最大值为 f(2)2.法三：由题意可得 f(x)1.x2，x11，01，112，即 12.故 f(x)在2，)上的最大值为 2.函数单调性的应用角度 1 比较大小(2015山东高考)设7 / 14a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( )Aa0.60.60.61.5，即 b10.61，即 c1.综上，b1 时，f(x)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.3 分(2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则1，当 x1 时，f(x)0，f0，5 分即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数.7 分(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 ff(x1)f(x2)，得 ff(9)f(3)，9 分而 f(3)1，f(9)2.14 / 14f(x)在2,9上的最小值为2.12 分