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1、- 1 - / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数2-82-8 函数与方程学案理函数与方程学案理考纲展示 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解考点 1 函数零点所在区间的判定1.函数零点的定义对于函数 yf(x)，把使_成立的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点答案：f(x)02几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_答案：x 轴 零点3函数零
2、点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 yf(x)在区间_上有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个_也就是方程 f(x)0 的根答案：f(a)f(b)0，即 ff0，所以 g(0)g(1)0，- 4 - / 16所以 f(1)f(2)1 时有交点，即函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是(，0(1，)考点 4 二次函数的零点问题二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系002 时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当 0x2 时，g(x)bx，f(x)2x；当 x2 时，方程 f(x)g(x)
3、0 可化为 x25x80，无解；当 0x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 2x(x)0，无解；当 x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为(x2)2x2，得 x2(舍去)或 x3，有 1 解；当 0x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 2x2x，有无数个解；当 x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为- 12 - / 16x25x70，无解；当 0x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 1x2x，无解；当 x0 时，yf(x)与 yg(x)的图象有交点，即 g(x)f(x)有正解，即 x2ln(xa)(x)2ex有正解，即 exln(xa)0 有正解，令 F(x)exln
4、(xa)，则 F(x)exm 时，f(x)x22mx4m(xm)2 4mm2，其顶点为(m,4mm2)；当 xm 时，函数 f(x)的图象与直线 xm 的交点为 Q(m，m)- 13 - / 16当即 03 时，函数 f(x)的图象如图所示，则存在实数 b 满足4mm20)，其中 e 表示自然对数的底数(1)若 g(x)m 有实根，求实数 m 的取值范围；(2)确定 t 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根思路分析 (1)可将 g(x)m 有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解，也可利用基本不等式或根据函数图象求解；(2)利用函数图象得到不等式，解不等式即可解 (1)解法
5、一：因为 x0，所以 g(x)x22e，等号成立的条件是 xe.故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，g(x)m 就有实根故实数 m 的取值范围为2e，)解法二：作出 g(x)x(x0)的图象，如图所示观察图象可知 g(x)的最小值为 2e，因此要使 g(x)m 有实根，则只需 m2e.故实数 m 的取值范围为2e，)解法三：由 g(x)m，得 x2mxe20，故Error!等价于故 m2e.故实数 m 的取值范围为2e，)(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，则函数 g(x)与 f(x)的- 15 - / 16图象有两个不同的交点因为 f(x)x22ext1(xe)2t1
6、e2，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 xe，开口向下，最大值为t1e2.由题意，作出 g(x)x(x0)及 f(x)x22ext1 的大致图象，如图所示故当 t1e22e，即 te22e1 时，g(x)与 f(x)的图象有两个交点，即 g(x)f(x)0 有两个相异实根所以 t 的取值范围是(e22e1，)典例 2 设函数 f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们的图象在 x1 处的切线的斜率相等(1)求 b 的值；(2)若函数 F(x)且方程 F(x)a2 有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围思路分析 解 (1)f(x)3ax23a，所以 f(1)0.而 g
7、(x)2bx，故 g(1)2b1，由题意得 2b10，解得 b.(2)当 x(0,1)时，g(x)x0，所以当 x1 时，g(x)取得极小值 g(1).当 a0 时，易知方程 F(x)a2 不可能只有四个解当 a0，所以当 x1 时，f(x)取得极小值 f(1)2a，- 16 - / 16又 f(0)0，画出 F(x)的图象如图所示，从图象可以看出 F(x)a2 不可能有四个解当 a0 时，x(，1)时，f(x)0，x(1,0)时，f(x)0，所以当 x1 时，f(x)取得极大值 f(1)2a，又 f(0)0，画出 F(x)的图象如图所示，从图象可以看出方程 F(x)a2 有且只有四个解时，a22a，所以实数 a 的取值范围是.温馨提示解决此类问题要注意函数相关性质的研究，尤其要注意函数单调性与函数极值对函数图象的影响，所以多利用导数来研究函数的性质，从而较为准确地画出函数的草图，进而解决零点问题