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1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数初等函数2-62-6 对数与对数函数学案理对数与对数函数学案理考纲展示 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1)考点 1 对数的运算1.对数的概念如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底
2、N 的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数答案：xlogaN a N2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质：- 2 - / 15alogaN_；logaaN_(a0 且 a1)(3)对数的重要公式：换底公式：logbN(a，b 均大于 0 且不等于 1)；logab，推广 logablogbclogcd_.答案：(1)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM(2)N N (3)logad(1)教材习题改编lglg 的值是( )B
3、1 A.D100C10答案：B(2)教材习题改编(log29)(log34)( )B A.D4C2答案：D(3)教材习题改编已知 log53a，log54b，lg 2m，求的值(用 m 表示)解：2lg 52(1lg 2)2(1m)误用对数运算法则(1)log3log31_.(2)(log29)(log34)_.答案：(1)2 (2)4解析：(1)原式log331log33132.(2)解法一：原式lg 4 lg 34.- 3 - / 15解法二：原式2log23log24 log23224.典题 1 (1)设 2a5bm，且2，则 m( )B10A.D100C20答案 A解析 由已知，得 a
4、log2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得 m.(2)计算：log2_；2log23log43_；(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.答案 3 2解析 log2log2log221；2log23log432 log232 log4332 log4332) 3.(lg 2)2lg 2lg 50lg 25(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(3)已知函数 f(x)则 f(2log23)的值为_答案 1 24解析 因为 2log234，所以 f(2log23)f(
5、3log23)，- 4 - / 15而 3log234，所以 f(3log23)3log23 log23.点石成金 对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点 2 对数函数的图象及应用对数函数的图象ylogaxa100 得 x1，且函数 ylog2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，)(2)函数 yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过的点是_答案：(2,2)解析：因为对数函
6、数 ylogax 的图象恒过点(1,0)，所以函数- 5 - / 15yloga(x1)的图象恒过点(2,0)，所以函数 yloga(x1)2 的图象恒过点(2,2)对数函数常见两误区：概念；性质(1)函数 f(x)lg 的定义域是_，函数 g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是_答案：x|x3 或 x3 解析：由0 得 x3 或 x3 或 x3，所以函数 g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是x|x3可以看出 f(x)与 g(x)不是同一函数(2)2014天津卷函数 f(x)lg x2 的单调递减区间是_答案：(，0)解析：函数 f(x)lg x2 的单调递减区间需满足 x20 且
7、yx2单调递减，故 x(，0)典题 2 (1)已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中a0，且 a1)的图象如图，则下列结论成立的是( )Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1答案 D解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a1.又当 x0 时，y0，即 logac0，所以 0c1.(2)当 0x时，4xlogax，则 a 的取值范围是( )- 6 - / 15A.B(22，1)C(1，)D(，2)答案 B解析 由题意，得当 0a1 时，要使得 4xlogax，即当 0x时，函数 y4x 的图象在函数 ylogax 图象的下方又当 x时，4) 2，即函数
8、y4x 的图象过点.把点代入函数 ylogax，得 a.若函数 y4x 的图象在函数 ylogax 图象的下方，则需a1(如图所示)当 a1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范围是.题点发散 1 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)21 时，如图要使当 x(1,2)时 f1(x)(x1)2 的图象在 f2(x)logax 的图象下方，只需 f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即 loga21，所以 1(x1)2 恰有三个整数解，画出图象可知a1，其整数解集为2,3,4，则应满足Error!得a1答案：D解析：作出 y10x 与 y|lg(x)|的大致图象，如图显然 x
9、10 y0 增 减2反函数指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称答案：yx考情聚焦 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有主要有以下几个命题角度：角度一比较大小典题 3 (1)设 alog32，blog52，clog23，则( )BbcaAacbDcabCcba答案 D解析 23,12，32，log3log32log33，log51log52log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.(2)已知 xln ，ylog52，ze) ，则( )- 9 -
10、 / 15BzxyAxyzDyzxCzyx答案 D解析 xln ln e，x1.ylog52log5，0y.ze) ，z1.综上可得，yzx.点石成金 比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0” “1”或其他特殊值进行“比较传递” (3)图象法，根据图象观察得出大小关系角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围典题 4 (1)函数 f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a 的取值范围是( )B(0,1)A(1，)D(3，)C.答案 D解析 由于 a0，且 a1
11、，uax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau必为增函数，因此 a1.又 uax3 在1,3上恒为正，a30，即 a3.- 10 - / 15(2)设函数 f(x)x，xlog2a，) 解得 a1 或1a0.(3)函数 f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为_答案 1 2解析 yax 与 yloga(x1)的单调性相同当 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)，最小值为 f(0)当 0a1 时，f(x)的最大值为 f(0)，最小值为 f(1)不论 a1 还是 0a1 都有 f(0)f(1)a，即a0loga1aloga2a，解得
12、 a.点石成金 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解2对数函数的单调性和底数 a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论角度三对数函数性质的综合问题- 11 - / 15典题 5 (1)设函数 f(x)|logax|(00 时，f(x)是增函数；当 x1 且 b1 或 00；当 a1 且 01 时，logab0 的条件下应为 logaMloga|M|(N*，且 为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围真题演练集训 12015湖南卷设函
13、数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是( )A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数- 13 - / 15答案：A解析：由得10，故 f(x)在(0,1)上为增函数故选 A.22015陕西卷设 f(x)ln x,0ab，若 pf()，qf，rf(a)f(b)，则下列关系式中正确的是( )Bqrp AqrpDprqCprq答案：C解析：因为 ba0，故.又 f(x)ln x(x0)为增函数，所以 ff()，即 qp.又 rf(a)f(b)(ln aln b)lnp.32014天津卷函数
14、f(x)log(x24)的单调递增区间为( )B(，0)A(0，)D(，2)C(2，)答案：D解析：函数 yf(x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数 yf(x)是由 ylogt 与 tg(x)x24 复合而成，又 ylogt在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数yf(x)在(，2)上单调递增故选 D.42014福建卷若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A BC D答案：B解析：因为函数 ylogax 过点(3,1)，所以 1loga3，解得- 14 - / 15a3，所以 y3x 不可能过点(1,3)，排除 A；y(x)3
15、x3 不可能过点(1,1)，排除 C；ylog3(x)不可能过点(3，1)，排除D.故选 B.52016浙江卷已知 ab1，若 logablogba，abba，则 a_，b_.答案：4 2解析：由于 ab1，则 logab(0,1)，因为 logablogba，即logab，所以 logab或 logab2(舍去)，所以 a) b，即ab2，所以 ab(b2)bb2bba，所以 a2b，b22b，所以b2(b0 舍去)，a4.62015浙江卷若 alog43，则 2a2a_.答案：4 33解析： alog43log223log23log2， 2a2a2) 2) 2) .课外拓展阅读 数形结合思
16、想在对数函数中的应用典例 2017江西七校联考已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足 f(x2)f(x)，当1x1 时，f(x)x3，若函数 g(x)f(x)loga|x|至少有 5 个零点，则实数 a 的取值范围是( )A(1,5)B.5，)C.5，)D.(1,5审题视角 当函数 yf(x)与 yloga|x|有 5 个交点时，求实- 15 - / 15数 a 的取值范围解析 依题意知，函数 f(x)的周期为 2，在平面直角坐标系内画出函数 yf(x)与函数 yloga|x|的图象，如图结合图象可知，要使函数 g(x)f(x)loga|x|至少有 5 个零点，则有 0a或 a5，即实数 a 的取值范围是5，)故选 B.答案 B