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1、(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时,点M M在圆C C外.2 2、点与圆的位置关系、点与圆的位置关系:M MO OO OM MO OM M第1页/共27页待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 例2 ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.第2页/共27页例2 方法二圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOMA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)第3页/共
2、27页因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法一：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 练一练练一练1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.第4页/共27页1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法二：yxM1(1,1)M2(4,2)0 练一练练一练第5
3、页/共27页圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-,-2)弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.第6页/共27页解解1:1:A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圆心为C C的圆经过点A(1,1)A(1,1)和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上,求圆心为C C的圆的标准方程.即：x-3y-3=0圆心C(-3,-2)第7页/共27页例例3 3 己知圆心为C
4、C的圆经过点A(1,1)A(1,1)和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上,求圆心为C C的圆的标准方程.圆经过A(1,1),B(2,-2)解2:设圆C的方程为圆心在直线l:x-y+1=0上待定系数法待定系数法第8页/共27页几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r
5、（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）小结小结求圆的方程求圆的方程第9页/共27页4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程第10页/共27页 x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手动动手第11页/共27页1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？思考思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+
6、y2-2x+4y+6=0.第12页/共27页配方可得：把方程：x2 y 2DxEyF0(1)当D2+E2-4F0时,表示以（）为圆心，以()为半径的圆.(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（）.动动脑动动脑第13页/共27页(3)当D2+E2-4F0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.所以形如所以形如x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程第14页/共27页 圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=没有xy这样的二次项（2）
7、标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；第15页/共27页 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（圆心（1，-2）半径）半径3是圆心（圆心（3，-1）半径）半径不是不是不是 练习练习第16页/共27页1.已知圆已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于2.x2+y2
8、-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是 练习练习第17页/共27页3.圆圆x2+y2+8x-10y+F=0 与与x轴相切轴相切,则这则这个圆截个圆截y轴所得的弦长是轴所得的弦长是4.点点A(3,5)是圆是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条的一条弦的中点弦的中点,则这条弦所在的直线方程是则这条弦所在的直线方程是 练习练习第18页/共27页因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法二
9、：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 举例举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.第19页/共27页 举例举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0第20页/共27页 举例举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则F=0D+E+F+2=04D+
10、2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得第21页/共27页 小结小结(特殊情况时特殊情况时,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的圆的标标准准方程方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆圆的一般方程用待定系数法求解.第22页/共27页例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例举例yx.O.（-1，0）A(3
11、,0)M(x,y)直译法第23页/共27页 举例举例例4.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以整理得又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足 方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得所以，点的轨迹是以（）为圆心，为半径的圆yABMxo第24页/共27页1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结小结第25页/共27页几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）小结小结求圆的方程求圆的方程第26页/共27页感谢您的观看。第27页/共27页