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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆中的分类讨论思想专题提升训练（附答案）一选择题 1一个点到圆的最小距离为 3cm，最大距离为 6cm，则该圆的直径是（）A1.5cm B1.5cm 或 4.5cm C4.5cm D3cm 或 9cm 2AB 是O 的弦，AOB60，则弦 AB 所对的圆周角是（）A30 B60 C150或 30 D60或 140 3已知ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若 BC2，则A 的度数为（）A30 B60 C120 D60或 120 4一条弦把圆周分成 1：4 两部分，则这条弦所对的圆周角为（）A36 B144 C150 D36或 144 5O 的半径为
2、5cm，弦 ABCD，AB6cm，CD8cm，则 AB 和 CD 的距离是（）A7cm B8cm C7cm 或 1cm D1cm 6平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A1 个或 3 个 B3 个或 4 个 C1 个或 3 个或 4 个 D1 个或 2 个或 3 个或 4 个 二填空题 7如图，AB 是O 的直径，AB2直线 l 与O 相切于点 C，且 lAB在直线 l 上取一点 D，连结 AD 交O 于点 E若 AEDE，则 CD 的长是 8如图，RtABC 中，ACB90，CDAB，AC5，BC12，点 P 是线段 CD 上一动点，当半径为 4 的P 与ABC 的一边相切时，CP 的
3、长为 9如图，PM，PN 分别与O 相切于 A，B 两点，C 为O 上异于 A，B 的一点，连接 AC，BC若P58，则ACB 的大小是 10如图，在等边ABC 中，AB2，如果以 BC 为直径的D 和以 A 为圆心的A 相切，那么A 的半径 r 的值是 11 点 A、B、C 是O 上不同的三点，已知AOB+ACB210，则AOB 度 12已知横截面直径为 100cm 的圆形排水管，如果水面宽 AB 为 80cm，那么排水管中水的深度为 cm 13在 RtABC 中，C90，AC3，BC4若以 C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点，则 r 的取值范围是 14已知 C 是
4、以 AB 为直径的O 上一点，过点 C 作O 的切线交直线 AB 于点 D，则当ACD 为等腰三角形时，ACD 的度数为 三解答题 15已知：ABC 内接于半径为 2 的O，BC，射线 BO 交边 AC 于点 E（1）如果点 E 恰好是边 AC 的中点，求边 AB 的长；（2）如果ABEACB，求ABC 的大小；（3）当AEO 为等腰三角形时，求ABC 的大小 16如图，在平面直角坐标系中，直线分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，以 AB 为直径构造圆，点 C 在运动，点 D 在上，CD 交 OA 于点 P，且（1）求 CD 的长（2）求证：OPPD（3）CEOA，交圆于另一点 E，连结 DE
5、若CDE 为等腰三角形，求所有满足条件的点 P 的坐标 17抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 B 的坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），点 D 为抛物线的顶点，且点 D 的横坐标为1（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求BCD 的面积；（3）若点 P 是 x 轴下方抛物线上任意一点，已知P 的半径为 2，当P 与坐标轴相切时，圆心 P 的坐标是 18如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0），以AB 为直径的M 与 y 轴的正半轴交于点 C点 P 是劣弧 BC 上的一动点（1）求 sinABC 的值（2）当PCB 中有一边是 B
6、P 的两倍时，求相应 AP 的长（3）如图 2，以 BC 为边向上作等边CBD，线段 MD 分别交 BC 和于点 H，N连结 DP，HP点 P 在运动过程中，DP 与 HP 存在一定的数量关系【探究】当点 P 与点 N 重合时，求的值；【探究二】猜想：当点 P 与点 N 不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立若成立，给出证明：若不成立，请说明理由 19如图，射线 OP射线 OQ，A，C 在射线 OQ 上，B 在射线 OP 上，连结 AB，BCOA3，OBOC3t过点 A，B，C 的圆交 AB 的垂线 BD 于点 D，连结 AD，直线 AD，CB 交于点 E（1）用含 t 的代数式表示 BC：t
7、anADB （2）连结 CD，记BCD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数表达式；当CED 与AEB 的面积差为 2，求此时 t 的值（3）点 A 关于直线 BC 的对称点为 A，若 A落在BDE 内部（不包括边界）时，请直接写出 t 的取值范围 20如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，在 x 轴的负半轴上取一点 C，使 ACAB，点 P 是线段 AC 上的一动点，过 P 作 AC 的垂线交折线 CBA 于点 D，设 PC2t（1）填空：点 C 的坐标为 ，tanBCA ；（2）当 P 在线段 OA 上时，用含 t 的代数式表示线段 PD 的长
8、；（3）如图 2，点 Q 是射线 BA 上的一动点，且 BQ3t，连结 DQ、PQ，当PDQ 为直角三角形时，求 t 的值；如图 3，若以 PD 为直径的圆与ABO 的两边都相交，则 t 的取值范围为 参考答案 一选择题 1 解：当点在圆外，则该圆的直径6cm3cm3cm；当点在圆内，则该圆的直径6cm+3cm9cm，即该圆的直径为 3cm 或 9cm 故选：D 2解：O 的弦 AB 所对的圆心角AOB60，弦 AB 所对的圆周角的度数为：AOB30或 18030150 故选：C 3解：如图，作直径 BD，连接 CD，则BCD90，ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，BC2，BD4，CD2，
9、CDBD，CBD30，AD60，A180A120，A 的度数为：60或 120 故选：D 4解：如图，AB 把圆分成 1：4 两部分，则AOB72，由圆周角定理知，FAOB36，由圆内接四边形的对角互补知，E180F144 故选：D 5解：本题要分类讨论：（1）AB，CD 在圆心的同侧，如图，连接 OA、OC，过 O 作 AB 的垂线交 CD，AB 于E、F，根据垂径定理得 EDCD84cm，FBAB63cm，在 RtOED 中，OD5cm，ED4cm，由勾股定理得 OE3cm，在 RtOFB 中，OB5cm，FB3cm，则 OF4cm，AB 和 CD 的距离OFOE431cm；（2）AB，C
10、D 在圆心的异侧，如图，连接 OA、OC，过 O 作 AB 的垂线交 CD，AB 于E、F，根据垂径定理得 EDCD84cm，FBAB63cm，在 RtOED 中，OD5cm，ED4cm，由勾股定理得 OE3cm，在 RtOFB 中，OB5cm，FB3cm，则 OF4cm，AB 和 CD 的距离是 OF+OE4+37cm AB 和 CD 的距离是 7cm 或 1cm 故选：C 6解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定 3 个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定 4 个圆；（3）当四个点共圆时，
11、只能确定一个圆 故选：C 二填空题 7解：当点 D 在点 C 的左侧时，连接 OC，BE，BD，过点 B 作 BFl 于点 F，如图，AB 是O 的直径，BEAD AEDE，BDBA2 l 与O 相切于点 C，OCl，lAB，OCAB，BFl，四边形 OCFB 为矩形，OBOC，四边形 OCFB 为正方形 CFBFOC1 DF CDDFCF1；当点 D 在点 C 的右侧时，连接 OC，BE，BD，过点 B 作 BFl 于点 F，如图，AB 是O 的直径，BEAD AEDE，BDBA2 l 与O 相切于点 C，OCl，lAB，OCAB，BFl，四边形 OCFB 为矩形，OBOC，四边形 OCFB
12、 为正方形 CFBFOC1 DF CDCF+DF+1，综上，CD 的长是+1 或1 故答案为：+1 或1 8解：在 RtABC 中，AC5，BC12，AB13，CDAB，ABC 的面积ABCDACBC，13CD512，CD，分三种情况：当P 与 BC 边相切，如图：过点 P 作 PEBC，垂足为 E，PEBC，PEC90，CPE+PCE90，CDAB，ADCCDB90，PCE+B90，BCPE，CEPACB90，BCAPEC，PC，当P 与 AB 边相切，如图：PDAB，CPCDPD4，当P 与 AC 边相切，如图：过点 P 作 PFAC，垂足为 F，PFAC，PFC90，CPF+PCF90，
13、CDAB，ADCCDB90，PCF+A90，ACPF，CFPACB90，BCACFP，PC，PC（舍去），综上所述，当半径为 4 的P 与ABC 的一边相切时，CP 的长为：或，故答案为：或 9解：连接 OA、OB，PM，PN 分别与O 相切于 A，B 两点，OAPA，OBPB，AOB360909058122，当点 C 在优弧 AB 上时，ACBAOB12261，当点 C在劣弧 AB 上时，ACB18061119，故答案为：61或 119 10解：连接 AD，如图，ABC 是等边三角形，BCABAC2，B60 D 为 BC 的中点，BDCD，ADBC，D 的半径为，ADABsin603 以 B
14、C 为直径的D 和以 A 为圆心的A 相外切时，r+AD3，r3 以 BC 为直径的D 和以 A 为圆心的A 相内切时，rAD3，r3+综上，如果以 BC为直径的D和以A为圆心的A相切，那么A的半径r的值是3或 3+故答案为：3或 3+11解：分两种情况：当点 C 在优弧上时，如图：ACBAOB，AOB+ACB210，AOB210，AOB140；当点 C 在劣弧上时，如图：12ACB，1+AOB360，2ACB+AOB360，AOB+ACB210，ACB150，AOB210ACB60；综上所述：AOB 的度数为 140或 60，故答案为：140 或 60 12解：如图，连接 OA，根据题意得：
15、MNAB，ANAB8040（cm），水管的直径是 100cm，OA50cm，在 RtAON 中，ON30（cm），MNOM+ON80（cm）水管中水的最大深度为 80cm 同理，当 AB 位于圆心 O 以下时，水管中水的深度为 20cm 故答案为：80 或 20 13解：如图，BCAC，以 C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点 根据勾股定理求得 AB5 分两种情况：（1）圆与 AB 相切时，即 rCD3452.4；（2）点 A 在圆内部，点 B 在圆上或圆外时，此时 ACrBC，即 3r4 3r4 或 r2.4 14解：如图，连接 OC，BC AB 是直径，则有ACB90
16、；CD 是切线，C 是切点，有OCD90；则点 C 的位置有两种情况：为左图时，ACCD，OCOA，DAACO，COD2A2D COD+D2D+D90，ACOD30，ACDOCD+ACO120 右上图ADAC，DDCA；由弦切角定理知，DCAB；D+B+DCA+ACB3DCA+90180，ACD30 ACD 的度数为 120或 30 三解答题 15解：（1）AEBE，OEAC BE 是 AC 的垂直平分线 ABBC2；（2）延长 BE 交O 于点 F，连接 CF，如图，O 的半径为 2，BF3 BF 为圆的直径，BCF90 cosFBC FBC30 ABEACB，ABEACB OAOB，ABO
17、BAO ABOBAOACB ACBAOB，ABOBAOAOB 设ABOBAOx，则AOB2x ABO+BAO+AOB180，x+x+2x180 解得：x45 ABCABO+FBC75；（3）延长 BE 交O 于点 F，连接 CF，如图，由（2）知：FBC30 F90FBC60 BACF60 设ABOBAO，则AOE2，OAEBACBAO60，AEO180ABOBAC120 当AEO 为等腰三角形时，如果AOEAEO，则 2120 解得：40 ABC40+3070；如果AOEOAE，则 260 解得：20 ABC20+3050；如果OAEAEO，则 60120，无解 综上，当AEO 为等腰三角形
18、时，ABC70或 50 16（1）解：对于，令 y0，则得：，解得：x8，A（8，0），OA8，CDOA8；（2）证明：连结 CO，DA，如图，OAD，C 都是所对的圆周角，OADC，COAD 在COP 和ADP 中，COPADP（AAS）OPPD；（3）解：当 CECD 时，如图，则 CECDOA8，CEOA，四边形 COAE 为矩形，又AOB90，点 B，C 重合，设 PDOPx，则 BPCP8x，对于，令 x0，则得：y6，B（0，6），OB6 在 RtBOP 中，由勾股定理得：62+x2（8x）2，解得：；当 DCDE 时，如图，设圆心为 F，DF 交 OA 于点 M，延长 DF 交
19、CE 于点 H，DCDE，DHCE，CEOA，DHOA，OMAM，FM 是ABO 的中位线，AB，FDAB5，MDFDFM532，设 OPPDx，则 PM4x，在 RtPMD 中，由勾股定理得：22+（4x）2x2，解得：，；当 ECED 时，设圆心为 F，作 EGCD 于点 G，PTCE，垂足为 T，FMOA 于 M，延长 MF 交 CE 于点 H，连接 CF，如图，则 CFAB5，FGCD，CGCD4，GEGF+FE3+58，tanHFEtanC2，HFCE，HF PTCE，MHCE，CEOA，四边形 TPMH 为矩形，ECGPCT，CGECTP90，CEGCPT，CP，综上，满足条件的点
20、 P 的坐标为：或或 17解：（1）设抛物线的表达式为：yax2+bx+c，由题意得：，解得，故抛物线的表达式为 yx2+2x3；（2）当 x1 时，yx2+2x34，即点 D（1，4），过点 D 作 DHy 轴于点 H，则 DH1，CH3（4）1，OCOB3，OH4，则BCD 的面积S梯形DHOBSCHDSBOC（DH+OB）OHOBOCDHCH（1+3）433113；（3）当P 与 y 轴相切时，则点 P 的横坐标为 x，则|x|2，当 x2 时，y3，P（2，3）；当 x2 时，y5，P（2，5）（舍去）；当P 与 x 轴相切时，则点 P 的横坐标为 y，则 y|2，即 yx2+2x32
21、，解得：x1，即点 P 的坐标为（1+，2）或（1，2）；综上所述，圆心 P 的坐标为：（2，3）或（1+，2）或（1，2），故答案为：（2，3）或（1+，2）或（1，2）18解：（1）点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0），OA1，OB3 ABOA+OB4 AB 为M 的直径，ACB90，OCAB，AOCCOB OC BC2，AC2 sinABC（2）当 BC2PB 时，由（1）知：BC2，PB AB 为M 的直径，ACB90 PA；当 PC2PB 时，过点 B 作 BHCP，交 CP 的延长线于点 H，如图，sinABC，ABC30 CAB60 四边形 ABPC 是圆的内接
22、四边形，HPBCAB60 PBH30 设 PHx，则 PB2x，HBx，PC4x BHCP，CH2+BH2BC2 x PB AP 综上，当PCB 中有一边是 BP 的两倍时，AP 的长为或；（3）【探究】当点 P 与点 N 重合时，连接 CM，CN，如图，MCMB，DCDB，DM 为 BC 的垂直平分线 BHCHBC MBMC2，MH1 HNMNMH211 DCB 为等边三角形，DCH60 DHCHtan603 DNDHNH312；【探究二】当点 P 与点 N 不重合时，【探究一】的结论仍然成立理由：连接 MP，如图，由以上【探究】可知：MDDH+HM3+14，MPMB2，MH1，HMPPMD
23、，HMPPMD 当点 P 与点 N 不重合时，【探究一】的结论仍然成立，19解：（1）OBOC3t，OB3t，OC4t 射线 OP射线 OQ，BC5t 故答案为：5t 在 RtOBC 中，tanOCB ADBACB，tanADBtanACB 故答案为：（2）ABBD，tanADB，设 AB3k，则 BD4k，AD5k 在 RtOBC 中，AB3 BD4，AD5 ABD90，AD 是圆的直径 ACD90 ACOCOA4t3，CD3t+4 ACD90，AOB90，CDOB SCDOC4t（3t+4）6t2+8t CED 与AEB 的面积差为 2，SCEDSAEB2（SCED+SACE）（SAEB+
24、SACE）2 即：SACDSACB2 ACCDACOB2（4t3）（3t+4）（4t3）3t4 解得：t1 当CED 与AEB 的面积差为 2，此时 t 的值为 1（3）t 的取值范围：t7理由：当点 A 的对称点 A落在 DE 上时，如图，则 ADBC AD 是圆的直径，AD 平分 BC，即 AD 是 BC 的垂直平分线 ACBA 4t33 解得：t0 或 t0，t 当点 A 的对称点 A落在 DB 上时，如图，则 BC 垂直平分 AA，BABA BCAA，ABCDBC ACCD 4t33t+4 解得：t7 A落在BDE 内部（不包括边界），t 的取值范围：t7 20解：（1）如图 1，在直
25、线 yx+3 中，当 y0 时，得x+30，解得：x4 A（4，0），OA4，当 x0 时，y3，B（0，3），OB3，在 RtAOB 中，AB5，ACAB，且点 C 在 x 轴的负半轴上，C（1，0），OC1，tanBCA3，故答案为：（1，0），3；（2）当 P 在线段 OA 上时，PC2t，APACPC52t，tanBAC，PD（52t）；（3）设直线 BC 的解析式为 ykx+b，B（0，3），C（1，0），解得：，直线 BC 的解析式为 y3x+3，PC2t，C（1，0），P（1+2t，0），当 P 在线段 OC 上时（此时点 D 在线段 CB 上），PDAC，D（1+2t，6t），
26、当点 P 在线段 OA 上时（此时点 D 在射线段 BA 上），PDAC，D（1+2t，t+），点 Q 是射线 BA 上的一动点，且 BQ3t，Q（t，t+3），PDQ 为直角三角形，PDQ90或DPQ90或DQP90，当PDQ90时，如图 2，PDx 轴，CPB90，CPBPDQ，DQx 轴，此时点 D 在线段 BC 上，点 D 与点 Q 的纵坐标相等，6tt+3，解得：t；当DPQ90时，点 Q 与点 A 重合，BQBA5，即 3t5，解得：t；当DQP90时，若 0t，即点 P 在 OC 上时，始终有PQD90，当t10 时，AP4（2t1）52t，AQ53t，AQP90，cosBAC，
27、即，解得：t；综上所述，当PDQ 为直角三角形时，t 的值为或或；当点 D 在线段 CB 上时，如图 3，设以 PD 为直径的O与 AB 相切于点 T，延长 PD交直线 AB 于点 K，则 K（2t1，t+），D（1+2t，6t），O（2t1，3t），OKt+3tt+，PDOB，AKPABO，O与 AB 相切于点 T，OTKAOB90，OTOP3t，OTKAOB，即，解得：t，当点 D 在线段 AB 上时，如图 3，设以 PD 为直径的O与 OB 相切于点 W，P（1+2t，0），D（1+2t，t+），O（2t1，t+），O与 OB 相切于点 W，OWOAOB90，OWOPt+，OPO90，四边形 OPOW 是正方形，OPOP，2t1t+，解得：t，当以 PD 为直径的圆与ABO 的两边都相交时，t 的取值范围为t；故答案为：t