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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题解答题专题训练（附答案）1 如图 在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 边的中点，连接 CD 以 CD 为直径作O，分别与 AC，BC 相交于点 M，N过点 N 作O 的切线交 AB 于点 E（1）求证：BEN90（2）若 AB10，请填空：迮接 OE，ON，当 NE 时，四边形 OEBN 是平行四边形；连接 DM，DN，当 AC 时，四边形 CMDN 为正方形 2如图，以 AB 为直径的半圆中，点 O 为圆心，点 C 在圆上，过点 C 作 CDAB，且 CDOB连接 AD，分别交 OC，BC 于点 E，F，与O 交于点 G，若AB
2、C45（1）求证：ABFDCF；CD 是O 的切线（2）求的值 3如图，ABC 内接于O，AB 为直径，点 D 为半径 OA 上一点，过点 D 作 AB 的垂线交AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 P，点 F 在线段 PE 上，且 PFCF（1）求证：CF 是O 的切线；（2）连接 AP 与O 相交于点 G，若ABC2PAC，求证：ABBP；（3）在（2）的条件下，若 AC4，BC3，求 CF 的长 4如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OFBC 交 AC 于点 E，交 PC 于点 F，连接 AF（1）判断直线 AF 与O 的位置关系并
3、说明理由；（2）若O 的半径为 6，AF2，求 AC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 5如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 EFAC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F，连接 AD（1）求证：EF 是O 的切线（2）求证：FBDFDA（3）若 DF4，BF2，求O 的半径长 6如图 1，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过 O 点作 OFAB 交O 于点 D，交AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，点 G 是 EF 的中点，连接 CG（1）判断 CG 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2BCBF；
4、（3）如图 2，当DCE2F，DG2.5 时，求 DE 的长 7已知：ABC 内接于O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，且 ADBC 于点 D（1）如图 1，求证：BC；（2）如图 2，点 E 在上，连接 AE，CE，ACEACB，求证：CAE2ACE；（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 A 作 AFCE 交 CE 的延长线于点 F，若 AE5，AB13，求 AF 的长 8在 RtABC 中，ACB90，AC6，B30，点 M 是 AB 上的动点，以 M 为圆心，MB 为半径作圆交 BC 于点 D，（1）若圆 M 与 AC 相切，如图 1，求圆的半径；（2）若 AM2MB，连接 AD
5、，如图 2 求证：AD 与圆 M 相切；求阴影部分的面积 9如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DEAB 于 D，DE 交 BC 于 F，且 EFEC（1）求证：EC 是O 的切线；（2）求证：OACECF；（3）若 BD4，BC8，圆的半径 OB5，求 EC 的长 10如图，已知以 BC 为斜边的 RtABC 内接于O，BAC 的平分线交O 于点 D，过点D 作 DEBC 交 AB 的延长线于点 E，连接 DB，DC（1）求证：ED 为O 的切线；（2）求证：BC22EDFC；（3）若 tanABC2，AD，求 BC 的长 11已知ABC 内接于O，D
6、 是弧 AC 上一点，连接 BD、AD，BD 交 AC 于点 M，BMCBAD（1）如图 1，求证：BD 平分ABC；（2）如图 2，过点 D 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 F，求证：DFAC；（3）如图 3，在（2）的条件下，BC 是O 的直径，连接 DC，AM1，DC，求四边形 BFDC 的面积 12如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，P 为弧 AD 上一点 （1）如图 1，连接 AC、PC、PA，求证：APCACD；（2）如图 2，连接 PB，PB 交 CD 于 E，过点 P 作O 的切线交 CD 的延长线于点 F，求证：FEPF；（3）如图 3，在（2）的条件下
7、，连接 AE，且PAEF，过点 A 作 AGPF，垂足为G，若 PG6，求 BH 的长 13如图，O 的半径为 1，点 A 是O 的直径 BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，ADCD，A30（1）求证：直线 AC 是O 的切线；（2）求ABC 的面积；（3）点 E 在上运动（不与 B、D 重合），过点 C 作 CE 的垂线，与 EB 的延长线交于点 F 当点 E 运动到与点 C 关于直径 BD 对称时，求 CF 的长；当点 E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时 CF 的长 14如图所示，AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 CEOB，交
8、O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB（2）求证：BC2CECP（3）当 AB4时，求劣弧 BC 长度（结果保留）15已知：如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OFBC 于点 F，交O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，连接 CE，BD 是O 的切线与 OE 的延长线相交于点 D（1）求证：DAEC；（2）求证：CE2EHEA；（3）若O 的半径为 5，求 FH 的长 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，8），点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接AB
9、，过点 A 作 ACAB，交 x 轴于点 C，点 D 是点 C 关于点 A 的对称点，连接 BD，以AD 为直径作Q 交 BD 于点 E，连接并延长 AE 交 x 轴于点 F，连接 DF（1）求线段 AE 的长；（2）若ABEFDE，求 EF 的值（3）若 ABBO4，求 tanAFC 的值 17如图，在 RtABC 中，B90，AE 平分BAC，交 BC 于点 E，点 D 在 AC 上，以AD 为直径的O 经过点 E，点 F 在O 上，且 EF 平分AED，交 AC 于点 G，连接 DF（1）求证：DEFGDF；（2）求证：BC 是O 的切线；（3）若 cosCAE，DF10，求线段 GF
10、的长 18如图，O 是ABC 的外接圆，AC 是O 的直径，过圆心 O 的直线 PFAB 于 D，交O 于 E，F，PB 是O 的切线，B 为切点，连接 AP，AF（1）求证：直线 PA 为O 的切线；（2）求证：AC24ODOP；（3）若 BC6，求 AC 的长 19如图，AB 是半圆 O 的直径，AB10C 是弧 AB 上一点，连接 AC，BC，ACB 的平分线交 AB 于点 P，过点 P 分别作 PEAC，PFBC，垂足分别为 E、F（1）求证：四边形 CEPF 是正方形；（2）当 sinA时，求 CP 的长；（3）设 AP 的长为 x，图中阴影部分的面积为 y，求 y 与 x 之间的函
11、数关系式，并写出 y的最大值 20问题提出（1）如图，ABC 为等边三角形，若 AB2，则ABC 的面积为 问题探究（2）如图，在 RtABC 中，ABC90，AC3，BD 是ABC 的角平分线，过点D 作 DEBD 交 BC 边于点 E若 AD1，求图中阴影部分的面积 问题解决（3）如图，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中O 的半径是 4 米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域 ABCD，连接 AC、BD，现准备在ADC区域种植花卉供游人欣赏按设计要求，A、B、C、D 四个点都在圆上，ADBBDC60设 BD 的长为 x 米，ADC 的面积为 y 平方米 求 y 与 x 之
12、间的函数关系式；按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，ADC 花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域ADC 面积的最大值 参考答案 1（1）证明：如图，连接 ON，DN，CD 是O 的直径，CNDDNB90，NE 是O 的切线，ONE90，BNEOND，ONOD，ODNOND，ODNBNE，D 是斜边 AB 的中点，CDADBD，BBCD，BCD+ODN90，B+BNE90，NEB90；（2）解：四边形 OEBN 是平行四边形，BEON，E 为 BD 的中点，N 为 BC 的中点，NE 为BCD 的中位线，NECD，且 NECD 故答案为：；四边形 CMDN 为正方形，MCDMDC45，
13、CMD90，MCMDCD，ADDC，M 是 AC 的中点，AC2MCCD，CDAB5，AC5 故答案为：5 2（1）证明：CDAB，FABD，AFBDFC，ABFDCF；ABC45，AOC2ABC90，CDAB，DCOAOC90，OC 是半圆的半径，CD 是O 的切线；（2）解：过点 F 作 FHAB 交 OC 于 H，设圆的半径为 2a，CDOBOA，CDAB，CEOEa，AEDE，由勾股定理得：AEa，AD2a，ABFDCF，FHAB，FHAB，EF，CD 是O 的切线，DC2DGDA，即（2a）2DG2a，解得：DG，FGa，3（1）证明：连接 OC，PFFC，OCOB，PCFCPF，O
14、CBOBC，PDAB，PDB90，CPF+OBC90，PCF+OCB90，FCO90，OCCF，CF 是O 的切线（2）证明：连接 BG，PACPBG，PBA2PAC，PBA2PBG，AB 为O 的直径，AGBPGB90，APBPAB，ABBP；（3）解：AB 为O 的直径，ACB90，AC4，BC3，AB5，ABBP5，PC2，PDAPCA90，PAPA，APBPAB，APCAPD（AAS），ADPC2，PDAC4，PACAPD，AEPE，设 DEx，AEPE4x，在 RtAED 中，AD2+DE2AE2，即 22+x2（4x）2，解得 x，EP4x，PEC90EPC，FCE90PCF，即P
15、ECFCE，EFCFPF，CF 4解：（1）直线 AF 与O 相切 理由如下：连接 OC，PC 为圆 O 切线，CPOC，OCP90，OFBC，AOFB，COFOCB，OCOB，OCBB，AOFCOF，在AOF 和COF 中，AOFCOF（SAS），OAFOCF90，AFOA，又OA 为圆 O 的半径，AF 为圆 O 的切线；（2）AOFCOF，OAOC，E 为 AC 中点，即 AECEAC，OEAC，OAF90，OA6，AF2，tanAOF，AOF30，AEOA3，AC2AE6；（3）ACOA6，OCOA，AOC 是等边三角形，AOC60，OC6，OCP90，CPOC6，SOCPOCCP18
16、，S扇形AOC6，阴影部分的面积为 SOCPS扇形AOC186 5（1）证明：连接 OD，如图所示：AB 为O 的直径，ADB90 ADBC ABAC，CDBDBC OAOB，OD 是ABC 的中位线，ODAC EFAC，EFOD OD 是半径，EF 与O 相切（2）证明：AB 为直径，ADB90，BAD+ABD90，ODDE，FDB+ODB90，OBOD，OBDODB，BADFDB，FF，FBDFDA；（3）解：设O 的半径为 r，则 AB2r，FBDFDA，DF4，BF2，r3 6解：（1）CG 与O 相切，理由如下：如图 1，连接 CO，AB 是O 的直径，ACBACF90，点 G 是
17、EF 的中点，GFGEGC，AEOGECGCE，OAOC，OCAOAC，OFAB，OAC+AEO90，OCA+GCE90，即 OCGC，OC 是圆的半径，CG 与O 相切；（2）证明：AOEFCE90，AEOFEC，OAEF，又BB，ABCFBO，即 BOABBCBF，AB2BO，2OB2BCBF；（3）由（1）知 GCGEGF，FGCF，EGC2F，又DCE2F，EGCDCE，DCEAOD45，EGC45，又OCG90，OCG 为等腰直角三角形，GCOC，OGOC，OD+DGOC，即 OC+2.5OC，解得 OC，GFGEGCOC，DEGEDGOCDG 7（1）证明：ADBC，AD 过圆心
18、O，BDCD，且 ADBC，ABAC，BC；（2）证明：连接 BE，设ACE，则ACB3，ABCACB3，ABEACE，CBEABCABE32，CAECBE22ACE；（3）解：过点 E 作 EGAC 于点 G，在 CG 上截取 GHAG，连接 EH，EHAE5，AHEEAH2，CEHAHEECH2ECH，CHEH5，ACAB13，AHACCH1358，AGGH4，CG4+59，在 RtAEG 中，EG3，在 RtCEG 中，CE3，8解：（1）过点 M 作 MNAC 于点 N，圆 M 与 AC 相切，MNMB，ACB90，AC6，B30，AB12，设 MNMBR AM12R，ACB90，MN
19、AC，MNBC，BAMB30，解得 R2436（2）连接 DM，由题意可知 MBMD，BMDB30，AMD60，AM2MB，AM2MD，ACB90，B30，AB2AC，BAC60，AMDABC，ADMACB90，AD 与圆 M 相切；AB12，AM2MB，BM4，AM8，ADM90，AD4，S阴影部分4 9（1）证明：OCOB，OBCOCB，DEAB，OBC+DFB90，EFEC，ECFEFCDFB，OCB+ECF90，OCCE，EC 是O 的切线；（2）证明：AB 是O 的直径，ACB90，ABC+A90，ABC+BFD90，BFDA，ABFDECFEFC，OAOC，OCAABFDECFEF
20、C，OACECF；（3）解：AB 是O 的直径，ACB90，OB5，AB10，AC6，cosABC，BF5，CFBCBF3，OACECF，EC 10（1）证明：如图 1，连接 OD BC 为O 的直径，BAC90 AD 平分BAC，ODBC，DEBC，ODED，又OD 为半径，ED 为O 的切线；（2）证明：由（1）可得BCD 为等腰直角三角形 DEBC，EABCADC，BDEDBCDCB45 BEDFDC，即 BD2DEFC，又，BC22EDFC；（3）解：如图 2，过点 D 作 DGAD，交 AC 的延长线于点 G CDG+ADC90，DGCDAG45 又ADB+ADC90，ADBGDC，
21、DBDC，BADDGC45，ABDGCD（AAS），ABCG DAG45，ADG90，ADG 为等腰直角三角形，AB+ACAGAD3，tanABC2，设 ABx，则 AC2x 3x3，x1 即 AB1，AC2 BC 11（1）证明：BMCBAD，又BMCBAC+ABD，BADBAC+DAM，ABDDAC，又弧 DC弧 DC，DACDBC，ABDCBD，BD 平分ABC；（2）证明：连接 OA、OB、OD，OD 交 AC 于点 N，FD 是O 的切线，D 为切点，OD 是O 的半径，ODFD，FDO90，又AOD2ABD，DOC2DBC，ABDCBD，AODCOD，又AOCO，ONAC，ANO9
22、0，ANOFDO，ACFD；（3）解：连接 OD，交 AC 于 N，BC 是O 的直径，BACBDC90，FAC180BAC90，又ANOFDN90，四边形 ANDF 是矩形，AFDN，F90，又ONAC，ANCN，设 MNa，则 ANCNMN+AMa+1，CMMN+CN2a+1，在 RtMDC 中，cosACD，在 RtNDC 中，cosACD，解得 a1（舍去），a21，MN1，CNa+12，DNAF，又MNAM1，AMBNMD，BAMMND90，BAMDNM（AAS），BAND，BFAB+AF2，ANFDa+12，BD2，SBFD，SDBCBDCD3，S四边形BFDCSBFD+SBDC2
23、 12（1）证明：连接 AD，AB 是O 的直径，弦 CDAB，ACDDC，APCADC，APCACD；（2）证明：连接 OP，PF 是O 的切线，OPPF，即EPF+OPE90，OPOB，OPBOBP，CDAB，HEB+HBE90，PEFHEB，PEFFPE，FEPF；（3）解：过 E 作 EMPF，垂足为 M，AGPF，GAP+GPA90，APE90，GPA+EPM90，AGPEMP90，GPAMEP，PAEF，tanPAEtanF，则，MFPG6，设 PMx，PE2PM2EF2FM2，解得：x110，x24，即 PM4，EM8，即，PA3，CDAB，AB 是直径，BHEAPB90，HEB
24、BAP，MPEHEB，tanPAB，即，PB6，BEPBPE2，sinHEB，即，BH4 13（1）证明：连接 OC，如图 1，ADCD，A30，ACD30，CDB60，ODOC，OCD60，ACOACD+OCD90，OC 是半径，直线 AC 是O 的切线；（2）解：OCD60，OCOD，DCO 是等边三角形，CDADOD1，作 CHBD 于点 H，则 DH，如图 2，CH，ABAD+BD3，SABC（3）当点 E 运动到与点 C 关于直径 AB 对称时，CEAB 于点 K，如图 3，BD 为O 的直径，CK，CE2CK，CFCE，ECF90，CDBCEB60，CFCEtan603，点 E 在
25、上运动过程中，CDBCEB60，在 RtECF 中，tan60，CFCE，当 CE 最大时，CF 取得最大值，当 CE 为直径，即 CE2 时，CF 最大，最大值为 2 14（1）证明：连接 AC，BC，OCOA，OCAOAC，PF 是O 的切线，CEAB，OCPF90，AFOC，FACOCA，FACOAC，CA 平分FAB（2）证明：CD 是直径，CBD90，CBP90，CEOB，CEBCBP90，PC 切O 于点 C，PCBCAB，AB 是直径，ACB90，ABC+CAB90，BCE+ABC90，CABBCE，PCBBCE，BCEPCB，BC2CECP；（3）解：，设 CF3a，CP4a，
26、BC2CECP3a4a12a2，BC2a，在 RtBCE 中，sinCBE，CBE60，BCE30，COB 是等边三角形，AB4，OBBC2，劣弧 BC 的长 15（1）证明：BD 是O 的切线，OBD90，ABC+DBC90，BCOD，D+DBC90，ABCD，AECABC，DAEC；（2）证明：连接 AC，如图所示：OFBC，CAEECB，CEAHEC，CEHAEC，CE2EHEA；（3）解：连接 BE，过 O 作 OGBE 于 G，如图所示：AB 是O 的直径，AEB90，O 的半径为 5，AB10，cosBCE，cosBAE，AE8，BE6，BECE6，CE2EHEA，EH，在 RtB
27、EH 中，BH OGBE，OBOE，BG3，OG4，BFOE，BF，HFBHBF 16解：（1）点 A（0，8），AO8，AD 是Q 的直径，AEBAED90，AEBAOB90，BA 垂直平分 CD，BCBD，ABOABE 在ABE 和ABO 中，ABEABO（AAS），AEAO8；（2）ABEFDE，ABDF，CABCDF，又ABEFDE，AEBFED DEFBEA，EF2AE16；（3）设 BOx，则 ABx+4，在 RtABO 中，由 AO2+OB2AB2得：82+x2（x+4）2，解得：x6，OBBE6，AB10，EAB+ABE90，ACB+ABC90，EABACB，BFAAFC，BF
28、AAFC，；设 EFm，则 AF8+m，BF（8+m），在 RtBEF 中，BE2+EF2BF2，62+m2（8+m）2，解得：m，即 EF，tanAFC 17（1）证明：如图 1，EF 平分AED，AEFFED，AEFADF，FEDADF，GFDDFE，GFDDFE；（2）证明：如图 2，AE 平分BAC，BAEEAO，OAOE，EAOOEA，BAEOEA，ABOE，OECB，B90，OEC90，OE 为半径，BC 是O 的切线；（3）解：如图 3，连接 OF、AF，AD 为直径，AFDAED90，EF 平分AED，AEFFED45，AFDAEF45，AFD 为等腰直角三角形，DF10，OA
29、OD ADDF1020，OFAD，OAODOF10，cosCAE，AEADcosCAE2010，AEFADF，AGEFGD，AGEFGD，AGGF，AGAO+OG10+OG，10+OGGF，OGGF10，在 RtFOG 中，GF2OF2+OG2，GF2102+（GF10）2，解得：GF或（不符合题意，舍去），线段 GF 的长为 18（1）证明：连接 OB，PB 是O 的切线，PBO90，OAOB，BAPO 于 D，ADBD，POAPOB，又POPO，PAOPBO（SAS），PAOPBO90，OA 为圆的半径，直线 PA 为O 的切线；（2）证明：PAOPDA90，OAD+AOD90，OPA+A
30、OP90，OADOPA，OADOPA，OA2ODOP，又AC2OA，AC24ODOP；（3）解：OAOC，ADBD，BC6，ODBC3，设 ADx，tanF，FD2x，OAOF2x3，在 RtAOD 中，由勾股定理，得，（2x3）2x2+32，解之得，x14，x20（不合题意，舍去），AD4，OA2x35，AC 是O 的直径，AC2OA10 AC 的长为 10 19（1）证明：ACB90，PEAC，PFBC，四边形 PECF 是矩形，CP 平分ACB，PEAC，PFBC，PEPF，四边形 CEPF 是正方形；（2）解：sinA，AB10，BC8，AC6，tanA，设 PECEm，则 AE6m，
31、tanA，m，PCPE；（3）解：四边形 CEPF 是正方形，PEPF，APE+BPF90，PEAPFB90，将APE 绕点 P 顺时针旋转 90，得到APF，PAPA，如图所示：则 A、F、B 三点共线，APEAPF，APF+BPF90，即APB90，SPAE+SPBFSPABPAPBx（10 x），y 与 x 之间的函数关系式为 y+5x，y+5x，x5 时，y 有最大值为 20解：（1）如图，ADBC，ABC 为等边三角形，AB2，B60，BCAB2，ADBC，ADB90，在 RtABD 中，sinBsin60，AD，ABC 的面积ABAD2，故答案为：；（2）如图，过点 D 作 DHB
32、C 于点 H，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，DBCABD45，DEBD，BDE90，DEB+DBE90，DEB90DBE904545，BDED，DHBC，BHEH，DHBEBHEH，设 DHBHEHa，ABC90，ABBC，DHBC，ABDH，CDHCAB，AD1，AC3，CD312，ABa，CEa，BCCE+BEa+2a3a，AB2+BC2AC2，a2+9a29，a21，S阴影SABCSBDE ABBCBEDH a3a2aa a2a2 a2 1；（3）设 AC 与 BD 相交于点 E，连接 OB，OA，OC，过点 O 作 OHAB 于点 H，ADBBDC60，ABBC，BACBDC
33、60，ABC 是等边三角形，ACB60，ABACBC，在ABO 和ACO 中，ABOACO（SSS），同理ABOCBO（SSS），SABOSACOSCBO，SABC3SABO，AOB2ACB，AOB120，在 RtOAH 和 RtOBH 中，RtOAHRtOBH（HL），AOHBOH，AHBH，在 RtOAH 中，OA4，AOHAOB60，cosAOHcos60，sinAOHsin60，OHOA2，AHOA2，AB2AH4，SABC3SABO34212，ABEDBA，BAEBDA60，ABEDBA，即 SDBASABE，CBEDBC，BCEBDC60，CBEDBC，即 SDBCSCBE，S四边形ABCDSDBA+SDBC SABE+SCBE，（SABE+SCBE）SABC 12 x2，SADCS四边形ABCDSABC x212，即 yx212；BD 的长度大于 AB，小于等于直径，4x8，y 与 x 之间的函数关系式为 yx212（4x8）；由知，y 与 x 之间的函数关系式为 yx212，则对称轴为 y 轴，0，x0 时，y 随 x 的增大而增大，4x8，当 x8 时，y 有最大值，即当 BD 为O 的直径时，y 取最大值，即 y82124，花卉区域ADC 面积的最大值是 4