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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习实数中的规律计算常考解答题专题训练（附答案）1观察下列等式：124127；3242315；5243423；（1）请写出第 4 个等式；（2）根据上述等式的排列规律，猜想第 n 个等式（n 是正整数）2观察下列等式并回答问题 第 1 个等式：a11 第 2 个等式：a2 第 3 个等式：a3 （1）则第 4 个等式为 ，第 n 个等式为 （2）求 a1+a2+a3+a4+a2023的值 3某位同学在探索中发现，从 2 开始，连续的几个偶数相加，它们的和有规律如下：2122；2+4236；2+4+63412；2+4+6+84520；请你根据上述规律解答下列
2、问题：（1）求和：2+4+6+8+10+12+14+16 ；（2）求和：2+4+6+2n ；（用含 n 的式子表示）（3）利用上面的结果，计算 202+204+206+498+500 的结果是 4观察下列两位数的综合算式：1110（1+1）108，1210（1+2）117，2310（2+3）225，3510（3+5）342，8410（8+4）828，9110（9+1）900，（1）请另外写出一个符合上述规律的算式；（2）运算结果一定是哪个数的倍数？请用字母表示上述观察到的规律；（3）运用整式的运算解释上述观察到的规律；（4）三位数是否有类似的结论？若有，请用字母表示出来；若没有，请举例说明（只
3、写答案即可）5有 n 个数，第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第 n 个数记为 an若 a1，且从第二个数起，每个数都等于“1 与它前面那个数的差的倒数”，即 a2，a3，an（1）求 a2，a3，a4的值；（2）根据（1）的计算结果，请你猜想并写出 a2022，a2023的值；（3）求 a1a2a3a2021a2022a2023的值 6小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式 观察下面式子，完成以下问题：，（1）请写出第 15 个式子：；（2）请用含 n 的式子表示第 n 个式子：；（3）计算：；（4）思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，
4、请类比上题的方法计算：7探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：151512100+25225，252523100+25625，353534100+251225，（1）设 a 为整数，且 0a10，请用含 a 的等式写出一般的规律（10a+5）2 ；（2）小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：53573021，38321216，84867224，71795609；观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字 ，个位上的数字的和等于 ；根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为 m，个位上的数字为 n，则另一个两位数的个位上的数
5、字为 （其中 m，n 为小于 10 的正整数）则以上两位数相乘的规律是 （用含 m、n 的等式表示）；利用发现的规律计算：6367 ；请用所学知识证明中的规律 8阅读：；感知：（1），归纳：（2）根据你的观察、猜想，写一个含 n（n 为正整数）的等式表示该规律，不用证明 应用：（3）利用这一规律计算：（写出计算过程）9观察算式：13+1422；24+1932；35+11642；46+12552，（1）请根据你发现的规律填空：810+1（）2；（2）用含 n 的等式表示上面的规律 ；（n 为正整数）（3）利用找到的规律解决下面的问题：计算：（1+）（1+）（1+）（1+）10（1）填空：；（2）
6、观察与发现：观察上面各式，猜想：（用含有 n 的式子表示出来，其中 n为正整数）（3）拓展探究：根据你发现的规律计算：+11阅读材料：求 1+2+22+23+22022的值 解：设 S1+2+22+23+22022 将等式两边同时乘 2，得 2S2+22+23+24+22022+22023 用下式减去上式，得 2SS220231，S220231 即 1+2+22+23+2202222023 1 仿照此法计算 1+3+32+33+32022的值 12观察下面算式，解答问题：；（1）1+3+5+7+9+29 的结果为 ；（2）若 n 表示正整数，请用含 n 的代数式表示 1+3+5+7+9+（2n
7、1）+（2n+1）的值为 ；（3）请用上述规律计算：41+43+45+47+49+2021+2023 的值（要求写出详细的解答过程）13阅读理解：求的值可用下面的两种方法：方法一：；方 法 二：通 过 画 图 发 现的 值 等 于 1 减 去 阴 影 部 分 的 面 积，即 请用合理的方法求+的值 14找规律：观察算式：131；13+239；1+23+3336；1+23+33+43100；（1）按规律填空：13+23+33+43+103 ；13+23+33+43+n3 （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+203 15问题：你能比较两个数 20212022和 20222021
8、的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，比较 nn+1与（n+1）n的大小（n 为正整数），从分析 n1，n2，n3的情形入手，通过归纳，发现规律，猜想出结论（1）比较各组数的大小12 21；23 32；34 43；45 54；（2）由（1）猜想出 nn+1与（n+1）n的大小关系是 ；（3）由（2）可知：20212022 20222021 16观察下列等式第一个等式：1；第二个等式：1；第三个等式：1；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第四个等式：；（2）计算：（1）（1）（1）（1）17 定义：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如
9、3333 等 类比有理数的乘方，我们把 3333 记作 34，读作“3 的下 4 次方”一般地，把 n 个 a（a0）相除记作 an，读作“a 的下 n 次方”（1）直接写出计算结果：34 （2）关于除方，下列说法正确的有 （把正确的序号都填上）对于任何正整数 n，1n1；a21（a0）；2332 负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65 ；（4）计算：18综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示
10、了一个问题：，独立思考：（1）解答王老师提出的问题：第 5 个式子为 ，第 n 个式子为 实 践 探 究；（2）在（1）中 找 出 规 律，并 利 用 规 律 计 算：问题拓展（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为 2，该小组提出下面的问题，请你解答：求；问题解决：（4）求的值 19观察下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；根据上述等式的规律，解答下列问题：（1）写出第 5 个等式：（2）写出第 n 个等式（用含有 n 的代数式表示）；20【发现】；（1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：【归纳】等式，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任
11、意两个有理数 a，b，若0，则 a+b0；【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：（2）若与的值互为相反数，且 10a26b16，求 a 的值 参考答案 1解：（1）第 4 个等式为 7244531；（2）124127；3242315；5243423；7244531；第 n 个等式为（2n1）24n（n+1）8n+1 2解：（1）第 4 个等式为 a4，第 n 个等式为 an，故答案为：a4，an；（2）a1+a2+a3+a4+a2023 1+1 3解：（1）2+4+6+8+10+12+14+168972，故答案为：72；（2）2+4+6+2nn（n+1），故答案为：n（n+1）；（3）
12、202+204+206+498+500（2+4+6+200+202+204+206+498+500）（2+4+6+200）250251100101 52650，故答案为：52650 4解：（1）4510（4+5）441；（2）是 9 的倍数，（10a+b）10（a+b）9（11a+b）；（3）（10a+b）10（a+b）100a+10bab 99a+9b 9（11a+b）；（4）三位数有类似的结论，理由如下：（100a+b）10（a+b）999a+9b 5解：（1）a1，a22，a31，a4；（2）由（1）可知，运算结果每三次运算循环一次，20223674，a2022a31，a2023a1；（
13、3）a1a2a32（1）1，a1a2a3a2021a2022a2023（1）674 6解：（1）第 15 个式子为：，故答案为：；（2）由题意可得第 n 个式子为：，故答案为：；（3）；（4）7解：（1）设 a 为整数，且 0a10，（10a+5）2100a（a+1）+25，故答案为：100a（a+1）+25；（2）观察等式：53573021，38321216，84867224，71795609；发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于 10；故答案为：相同，10；根据发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为 m，个位上的数字为 n，则另一个两位数的个位上的数字为 10n，（其中
14、m，n 为小于 10 的正整数）则以上两位数相乘的规律是（10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）；故答案为：10n，（10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）；636710067+374221，故答案为：4221；（10m+n）（10m+10n）10m（10m+10n）+n（10m+10n）10m（10m+10n）+10mn+n（10n）10m（10m+10n+n）+n（10n）100m（m+1）+n（10n），故（10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）8解：（1），故答案为：；（2）理由：；（3）原式 9解：（1）810+
15、18192，故答案为：9；（2）n（n+2）+1（n+1）2，故答案为：n（n+2）+1（n+1）2；（3）（1+）（1+）（1+）（1+）2 10解：（1），故答案为：，；，故答案为：，；，故答案为：，；（2），故答案为：；（3）+11解：令 S1+3+32+33+32022，3S3+32+33+32022+32023，2S320231，S，1+3+32+33+32022的值为 12解：（1）1+3+5+7+9+29（）2152225，故答案为：225；（2）1+3+5+7+9+（2n1）+（2n+1）（）2（n+1）2，故答案为：n2；（3）41+43+45+47+49+2021+2023
16、（1+3+5+41+43+2021+2023）（1+3+5+39）10122202 1023744 13解：+1+2+3+10+（1+2+10）+（+）10+（1）55+55 14解：（1）131；13+23（1+2）29；1+23+33（1+2+3）236；1+23+33+43（1+2+3+4）2100，13+23+33+43+103（1+2+3+4+10）23025，故答案为：3025；13+23+33+43+n3（1+2+3+4+n）2，故答案为：；（2）113+123+133+143+203（13+23+33+43+103+113+123+133+143+203）（13+23+33+4
17、3+103）2102552 41075 15解：（1）121，212，1221，238，329，2332，3481，4364，3443，451024，54625，4554，故答案为：，；（2）当 n2 时，nn+1（n+1）n，当 n3 时，nn+1（n+1）n，故答案为：当 n2 时，nn+1（n+1）n，当 n3 时，nn+1（n+1）n；（3）n2021，2021202220222021，故答案为：16解：（1）1，故答案为：1；（2）（1）（1）（1）（1）17解：（1）343333，故答案为：；（2）1n11111，故符合题意；a2aa1，a21，故符合题意；23222，32331，
18、2332，故不符合题意；根据除法的定义可得，负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故符合题意；故答案为：；（3）65666666（）3，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（3）（3）（3）（3）（3）（3）（3）（3）（3）7，故答案为：（）3，（3）7；（4）（2）2（2）38+（6）2 812 20 18解：（1）第 5 个式子为，第 n 个式子为，故答案为：，；（2）1+1；（3）（1+）（1）；（4）+2（+）2（）19解：（1）13+23+33+43+535262，故答案为：13+23+33+43+535262；（2）第 n 个等式为 13+23+33+43+n3n2（n+1）2 20解：（1），符合上述规律，故答案为：；（2）与的值互为相反数，+0，3a28+62b0，解得，10a26b10a2616，整理得，a210，a