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1、 2018 年秋人教 B 版高中数学选修 2-2 练习：第二章检测 第 2 页 第二章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 设S(n)A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)B.S(n)共有(n+1)项,当 n=2 时,S(2)C.S(n)共有(n2-n)项,当 n=2 时,S(2)D.S(n)共有(n2-n+1)项,当 n=2 时,S(2)解析：从 n 到 n2共有(n2-n+1)个自然数,即 S(n)共有(n2-n+1)项.答案：D 2 某人在上楼梯时,一步
2、上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有 f(1)种走法,从平地上到第二级台阶时有 f(2)种走法则他从平地上到第 n 级(n3)台阶时的走法 f(n)等于()A.f(n-1)+1 第 3 页 B.f(n-2)+2 C.f(n-2)+1 D.f(n-1)+f(n-2)解析：要到达第 n 级台阶有两种走法:(1)在第(n-2)级的基础上到达;(2)在第(n-1)级的基础上到达.答案：D 3 观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特点,则第 100 项为()A.10 B.14 C.13 D.100 解析：由于 1 有 1 个,2 有 2 个,3 有 3 个则 13 有13
3、个,所以 113 的总个数100 个数为 14.答案：B 4由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;第 4 页“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;以上式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 解析：只有正确,其余错误.答案：B 5 命题“对任意的 xR,x3-x2+10”的否定是()A.不存在 xR,x3-x2
4、+10 B.存在 xR,x3-x2+10 C.存在 xR,x3-x2+10 D.对任意的 xR,x3-x2+10 答案：C 6 证明命题:“f(x)=exA.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 第 5 页 解析：从已知条件出发进行推证,为综合法.答案：A 7“因为指数函数 y=ax是增函数(大前提),而yA.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误 答案：A 8 已知 p A.pq B.pq C.pq D.不确定 解析：q 答案：B 9对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它
5、们之间的一种“距离”:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.第 6 页 给出下列三个命题:若点 C 在线段 AB 上,则|AC|+|CB|=|AB|;在ABC 中,若 C=90,则|AC|2+|CB|2=|AB|2;在ABC 中,|AC|+|CB|AB|.其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 解析：当点 C 在线段 AB 上时,可知|AC|+|CB|=|AB|,故是正确的.取 A(0,0),B(1,1),C(1,0),则|AC|2=1,|BC|2=1,|AB|2=(1+1)2=4,故是不正确的.取 A(0,0),B(1,1),C(1,0),可证明|AC|+|CB|=|AB|
6、,故不正确.故选 B.答案：B 10 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)在区间1,a(a2)上单调递增且 f(x)0,则以下不等式不一定成立的是()A.f(a)f(0)B.C.第 7 页 D.解析：f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(0)=0,又已知 a2,f(a)f(1)0=f(0),选项 A 成立;B 成立;当 a2 时,1-3a2时,a-3 的符号不确定,答案：D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)第 8 页 11 若符号“*”表示求实数 a 与 b 的算术平均数的运算,即a*b解析：答案不唯一.因为a+(b*c
7、)=a(a+b)*(a+c)a+(b*c)=(a+b)*(a+c).同理:(a*b)+c=(a*c)+(b*c);a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b;(a*b)+c=(b*a)+c 也符合题意.答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12 观察下面的几个算式,找出规律.1+2+1=4;1+2+3+2+1=9;1+2+3+4+3+2+1=16;第 9 页 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25.利用上面的规律,请你迅速算出1+2+3+99+100+99+3+2+1=.解析：观察归纳,中间数为 2,结果为 4=22;中间数为3,结果为 9=32;中间数为 4,结果
8、为 16=42;于是中间数为 100,结果应为 1002=10 000.答案：10 000 13 设 N=2n(nN+,n2),将 N 个数 x1,x2,xN依次放入编号为 1,2,N 的 N 个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的in-2 时,将 Pi分成 2i段,每(1)当 N=16 时,x7位于 P2中的第 个位置;(2)当 N=2n(n8)时,x173位于 P4中的第 个位置.解析：由题意知,当 N=16时,P0=x1x2x3x4x5x16,P1=x1x3x5x15x2x4x16,则 第 10 页 P2=x1x5x9x13
9、x3x7x11x15x2x6x10 x14x4x8x12x16,此时 x7位于 P2中的第 6 个位置.第(2)小问可由推理得出.答案：(1)6(2)32n-4+11 14 用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形内角和为 180相矛盾,A=B=90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A,B,C 中有两个角是直角,不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为 .答案：15 用数学归纳法证明不等解析：不等式左边增加的式子 答案：三、解答题(本大题共 3 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10、第 11 页 16(8 分)用分析法和综合法证 证法一(分析法)要log1930log19192,即证 30192,30192恒成立,原不等式成立.证法二(综合=log195+log193+log192=log1930log19192=2.17(8 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足a1=1,3Sn=(n+2)an,则是否存在实数 a,b,c,使得an=an2+bn+c对一切nN+都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,说明理由.分析：应用归纳、猜想、证明的方法求解.第 12 页 解假设满足条件的 a,b,c 存在,将 n=2,3 代入3Sn=(n+2)an中,可得 a2=3,a
11、3=6,代入 an=an2+bn+c,可 an 下面用数学归纳法证明(1)当 n=1 时,a1.(2)假设当 n=k 时,结论成立,即akn=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk 3ak+1=(k+3)ak+1-(k+2)ak.kak+1=(k+2)ak.ak+1n=k+1 时,结论也成立.综合(1)和(2),知存在实数 第 13 页 aan=an2+bn+c 对一切 nN+都成立.18(9 分)已知数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN+.(1)证明:数 (2)设 bn=3n(1)证明由已知可 所,1 为公差的等差数列.(2)解由(1)1=n,所以 an=n2.从而 bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-得,-2Sn=31+32+3n-n3n+1 3n+1 所以 Sn