线性代数课后答案_习题5和习题.pdf

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1、 1 习题五 1.求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124；2）123213336；3）001010100；4）310410482。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1）11(2)(3)24，特征值2,3。当2时，1(1,1)，故属于2的特征向量为 1 1k（10k）。当3时，2(1,2)，故属于3的特征向量为 22k（20k）。由于线性无关的特征向量个数为 2，故可以对角化。2）123213(1)(9)336，特征值0,1,9。当0时，1(1,1,1)，故属于0的特征向量为 1 1k（10k）。当1 时，2(1,1,0)，故属于1 的特征向量为 22k（20k）。当9时，3(1,1,

2、2)，故属于9的特征向量为 33k（30k）。由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化。3）201010(1)(1)10，特征值1,1 。当1时，1(0,1,0)，2(1,0,1)。故属于1的特征向量为 1 122kk（12,k k不全为零）。当1 时，3(1,0,1)，故属于1 的特征向量为 33k（30k）。由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化。4）2310410(1)(2)482，特征值1,2。当1时，1(3,6,20)，故属于1的特征向量为 1 1k（10k）。2 当2 时，2(0,0,1)，故属于2 的特征向量为 22k（20k）。由于线性无关的特征向量个数为 2，故

3、不可以对角化。2.已知方阵A满足2320AAE，求A的所有可能的特征值。解：设是A的特征值，则有非零向量X满足AXX。于是22A XX，22(32)(32)0AAE XX。因为X非零，所以2320。即A的特征值只能为1或2。3.设是A的特征值，证明：1）2是2A的特征值，i（i为正整数）是iA的特征值；2）设()f是多项式，则()f是()f A的特征值；3）如果A可逆，则1是1A的特征值。证 明：1）因 为AXX，则22()A XAXAXX。323()A XAXX，依此类推，iiA XX，即i是iA的特征值。2）由 1）iiA XX（i为正整数），记01()nnfaaa，则01()()()nn

4、f A Xa Ea Ea EXfX，即()f是()f A的特征值。3）如果A可逆，对AXX两边左乘1A有：1XA X。又可逆矩阵的特征值不为零（否则00EA，与A可逆矛盾）。故11XA X。4.设1X和2X是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明12XX不是A的特征向量。证明：由题意，设111AXX，222AXX，12，则 12,XX线性无关。（反证）若12XX是A的特征向量，则有：1212()()A XXXX。从而1122()()0XX。因为12，所以12(),()不全为零，于是12,XX线性相关，矛盾。故12XX不是A的特征向量。5.如果方阵A可逆，证明矩阵AB和BA相似。证明：因为1()

5、AAB ABA，所以矩阵AB和BA相似。3 6.设A与B相似，C与D相似。证明AC与BD相似。证明：因为A与B相似，C与D相似，故有可逆矩阵P与Q，使得：1P APB，1Q CQD。于 是11APBPCQDQ，即AC与BD相似。7.计算kA，其中142034043A。解：142034(1)(5)(5)043，特征值1,5,5。当1时，对应的特征向量为 1(0,0,1)；当5时，对应的特征向量为 2(2,1,2)；当5 时，对应的特征向量为3(1,2,1)。故可取021012121P，有150512105120P，使得：1155APP。从而114 5(5)2 52(5)0152 52(5)54(

6、5)05(5)4 5(5)52 52(5)5kkkkkkkkkkkkkkkAPP 。8.求x，y的值，使得矩阵A与B相似，其中11111xAxyy，000010002B。解：因为B的特征值为0,1,2，由A与B相似，可得00EA，10EA，20EA。即22()020 xyxy，从而0 xy。9.证明：1）实反对称矩阵的特征值为 0 或纯虚数；2）正交矩阵的特征值的模等于 1。4 证明：1）设A是实反对称矩阵，是A的特征值，则有0X，AXX。取共轭有AXX。考虑 X AX，一方面X AXX X；另一方面，()X AXX A XAXXX X ；于是()0X X。又因为0X，所以0X X。故0，即为

7、 0 或纯虚数。2）设A是正交称矩阵，是A的特征值，则有0X，AXX。取共轭有AXX，再转置X AX AX。所以X XX A AXX X。因为0X，所以0X X。故1，即的模为 1。10.判断下列矩阵是否为正交矩阵：1）221333212333122333A，2）111231112211132A 。解：1）因为A AE，故A为正交矩阵；2）不是正交矩阵。11.设,A B为正交矩阵，证明：1）1A与A为正交矩阵；2）AB为正交矩阵。证 明：1）因 为A为 正 交 矩 阵，所 以A AE，即1AA。又()()AAAAEE ，故1A与A为正交矩阵。2）因 为,A B为 正 交 矩 阵，所 以A AE

8、，B BE。从 而AAAAA AEBBBBB B ，即AB为正交矩阵。12.在4R中，求一单位向量与向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)正交。解：设所求向量为1234(,)x xx x，则有12341234123400230 xxxxxxxxxxxx。求得基础解 5 系为(4,0,1,1)。故(4,0,1,1)k（k为任意数）。13.求正交矩阵Q，使得1Q AQ为对角形：1）1 1 11 1 11 1 1A；2）222254245A。解：1）2111111(3)111EA ，特征值0,3。当0时，1(1,1,0)，2(1,0,1)。当3时，3(1,1,1)。由施密特正

9、交化，取11(1,1,0)2，21(1,1,2)6，31(1,1,1)3。令11126311126321063Q，则1003Q AQQAQ。2）2222254(1)(10)245EA，特征值1,10。当1时，1(2,1,0)，2(2,0,1)。当10时，31(,1,1)2 。由施密特正交化，取11(2,1,0)5，21(2,4,5)45，31(1,2,2)3。令22135451423545520345Q，则11110Q AQQ AQ。14.设 3 阶方阵A的特征值为 1，2，3；对应的特征向量为1(0,1,0)，2(1,1,0)，3(0,0,1)。求矩阵A。6 解：由 题 意，令0101100

10、01P，则 有1123P AP。故1120021103003APP。15.设 3 阶实对称矩阵A的特征值为 6 和 3（二重根）。属于 6 的特征向量为3(1,1,1)，求A及3|3|AE。解：设123(,)Xx x x 是实对称矩阵A属于特征值为 3 的特征向量，则有1230 xxx。故特征值为 3 的特征向量1(1,1,0)，2(1,0,1)。令11 1101011P，则1341131416114APP。3|3|AE3313324|33|241226886213PPE。提高题 1.设矩阵15310acAbca，1A ，*A有特征值0，属于0的一个特征向量为(1,1,1)。求,a b c和0

11、的值。解：因为1A ，所以AAE，即1AA 。由于0A，可得01A，又1A ，所以000(1)1(2)1(1)11cabcaA 。解得：01322bca 。2.已知 3 阶矩阵A与 3 维列向量X，向量组X，AX，2A X线性无关，且满足3232A XAXA X。7 1）记2(,)PX AX A X，求 3 阶矩阵B，使得1APBP；2）计算行列式AE。解：1）因 为112(,)P PPX AX AXE，所 以1(0,1,0)P AX，12(0,0,1)P A X。由1APBP，可得1123(,)BP APPAX A X AX 112112000(,32)103012P AX P A XP A

12、XP A X。2）111001134011AEPBPPPBE 。3 设A是n阶方阵，记11()nnnfEAaa，1,n是()f的n个根（重根按重数计算）。证明：1）1111nnnaaa，称为方阵A的迹，记为()tr A；2）1(1)(1)nnnnaA 。证明：因为111()()()nnnnfEAaa，令0，则有1(1)(1)nnnnaA ，即 2）成立。又由于特征多项式EA中1n项 由 行 列 式 定 义 知 只 能 出 现 在11()()nnaa内，它 的 系 数 为111()nnaaa；而 1()()n中1n项的系数为1()n。故 1）成立。4设1(,)nAaa，ia均为非零实数，BA A

13、，求可逆矩阵P，使得1P BP为对角阵。解：21121nnnaa aBA Aa aa，它为实对称矩阵。当0时，EA的秩为 1，所以0是0EB的1n重根，由上题 1）的结果知1n项系数为 8 221()naa。故211122121()nnnnnaa aEBaaa aa。当0时，可得：221(,0)a a，1(,0,)nnaa。由于属于特征值221()naa的特征向量1(,)nXxx与上述向量组正交，所以11jja xa x（2,jn）。故11(,)naa。令23112110000000nnnaaaaaaPaaa，则122100nP BPaa。5证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明：设上三角矩阵A正

14、交，则1AA。一方面由第二章习题知1A也为上三角，另一方面A为下三角，故1AA既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6,A B是正交矩阵，且0AB。证明AB不可逆。证明：因为0AB，所以2220ABA B，即1A B 。又,A B是正交矩阵，所以 ABAB BAA BA BA BA B AB。即(1)0A BAB，从而0AB，AB不可逆。习题六 1.写出二次型的矩阵表示形式：1）2224424fxyzxyxzyz；2）2227244fxyzxyxzyz；3）22221234121 314232424264fxxxxx xx xx xx xx x。9 解：1）121(,)242121xfx y z

15、yz；2）112(,)112227xfx y zyz；3）1212343411211132(,)23101201xxfx x x xxx。2.化下列二次型为标准形：1）222123232334fxxxx x；2）22221234121423342222fxxxxx xx xx xx x。解：1）二次型矩阵为200032023，200032(1)(2)(5)023。所以二次型为标准形为22212325fyyy。2）二次型矩阵为1101111001111011，1101111001111011等于2(1)(1)(3)。所以二次型为标准形为2222123423fyyyy 。3.判断下列二次型的正定性

16、：1）22234544fxyzxyyz；2）2221231 21 356444fxxxx xx x；3）121323226fx xx xx x。解：1）二 次 型 矩 阵 为320242025，又30，328024，320242280025。所以二次型正定。10 2）二次型矩阵为522260204，又50，5226026，522260800204 。所以二次型负定。3）取 1(1,1,0)X，则1()20f X；又 取2(0,1,1)X，则2()60f X 。所以二次型既不正定，也不负定。4.t为何值时，下列二次型是正定的：1）222123122322fxxxx xtx x；2）2221231

17、21 32342106fxxxtx xx xx x。解：1）二次型对应的矩阵为210112012tt。又20，211011 ，2210111122012ttt 。所以当21102t，即22t 时二次型正定。2）二次型对应的矩阵为1543531tt，又10，2144ttt，2154330105531tttt 。因为2240301050ttt无解，即无论t为何值二次型是均不正定。5.如果二次型fX AX，对于任意n维列向量0X，都有000X AX。证明 0A。证明：记 ijn nAa，取0iX（表示第i个分量为 1 其余分量为 0 的n维列向 11 量），由000X AX，得0iia；取0ijX（

18、表示第i、第j两个分量为 1 其余分量为 0 的n维列向量），由000X AX，则有20ija。故0A。6.如果A是正定矩阵，证明1A是正定矩阵。证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵B，使得AB B。故11111()()()ABBBB，即1A是正定矩阵。7.如果A，B是n阶正定矩阵，0k，0l。证明kAlB为正定矩阵。证明：A，B是n阶正定矩阵，对任意n维实的列向量0X，0X AX，0X BX。从而()()()0X kAlB Xk X AXl X BX。即kAlB为正定矩阵。8.设A是实对称矩阵，证明当实数t充分大之后，tEA是正定矩阵。证明：取11maxnijj niMa ，则当tM时

19、，()0X tEA X。所以tEA是正定矩阵。提高题 1.如果A为正定矩阵，证明：1）0 (1,)iiain；2）0 (;,1,)iiijjijjaaiji jnaa。证明：1）（反证）若0 iia，取0X为1ix、其余未知量为零的列向量，则有000iiX AXa。与A为正定矩阵矛盾。故0 (1,)iiain。2）由 1）0 ,0iijjaa。（反证）若0iiijjijjaaaa，则二元二次型2211222iiijjjga ya y ya y 不 正 定，故 存 在1020(,)0yy，使 得221010202020iiijjja ya y ya y。取0X为10ixy、20jxy、其余未知量

20、为零的列向量，则00X，且22001010202020iiijjjX AXa ya y ya y。与A为正定矩 12 阵矛盾。所以0 (;,1,)iiijjijjaaiji jnaa。2.若A为n阶正定矩阵，1(,)nXxx。证明：()0AXf XX是n元负定二次型。证明：因为A为正定矩阵，由习题 6 知1A也为正定矩阵。故对任意0X 1110()00100AXEAXAXf XA X A XXX AXX A X 。即()0AXf XX是n元负定二次型。3.设A、B为实对称矩阵，A的特征值小于a，B的特征值小于b，证明AB特征值小于ab。证明：因为A的特征值小于a，所以aEA的特征值全大于零，即

21、aEA为正定矩阵；同理可得bEB为正定矩阵。故对任意实n维列向量0X，有X AXaX X，X BXbX X。于 是()()XAB Xab X X。即()()ab EAB为正定矩阵，亦即AB特征值小于ab。4 设fX AX是n元实二次型。若存在实n维列向量1X和1X，使得110X AX，220X AX。证明存在n维列向量00X，使得000X AX。证明：取121()()X tXt XX，记()()()()g tf X tX t AX t为t的连续函数。又11(0)(0)0gf XX AX，22(1)(1)0gf XX AX，故 有0(0,1)t，使得0()0g t。记00()XX t，则000X AX。下证00X 。（反证）若00X ，则有0(0,1)t ，使得02101 tXXt，从而20221120(1)tX AXX AXt 与11X AX同小于零。矛盾。所以00X 。