《线性代数课后习题答案全）习题详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课后习题答案全）习题详解.pdf（99页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、刖 5解肖斌因能力有限，资源有限，现粗略整理了 工程数学线性代数课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。第 一 章 行 列 式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4 -1-18 3a b c(2)b c acab1 1 1(3)a b ca2 b2 c2%y(4)y x +yx+y xxy2解i-i0 1-4 -1 =2 x(-4)x 3 +0 x(-l)x(-l)4-l x l x 8 -0 x l x 3-2 x(-l)x 8-l x(-4)x(-l)8 3二一2 4+8 +1 6-4 二 一 4a b c(2)b c a =a c b +b a c 4
2、-c b a -b b b -a a a -c c c =3 a b c -b3-c3cab1 1 1(3)a b c -he2-r c a2+a h2-a c2-ha2-c h2=(a -h)(b -c)(c -a)a2 b2 c2九y(4)y yx+y xx +yx =x(x +y)y +y x(x+y)+(x +y)y x-y3-(x+y)3-x3y=3孙(1+,)-y3-3 x2y-3 y2x-x3-y3-x3=-2(?+/)2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4；(2)4 1 3 2；(3)3 4 2 1；(4)2 4 1 3；(5)1 3 (2
3、n-l)2 4 (2/)；(6)1 3 (2-1)(2 )(2 n -2)2.解(1)逆序数为0(2)逆序数为4：4 1,4 3,4 2,3 2(3)逆序数为5：3 2,3 1,4 2,4 1,2 1(4)逆序数为3：2 1,4 1,4 3(5)逆序数为丛”1)：23 25 2,5 47 2,7 4,7 6(2 n -1)2,(2 n -1)4,(2 n-l)6,，(2 n -1)(2 n -2)(6)逆序数为“(一 1)3 25 2,5 4(2 n -1)2,(2 n -1)4,(2 n -1)6,(2 n -1)(2 n -2)4 26 2,6 41个2个3个(-1)个1个2个(-1)个1
4、个2个(2 n)2,(2/7)4,(2/7)6,，(2 n)(2-2)(一 1)个3.写出四阶行列式中含有因子%1的3的项解 由定义知，四阶行列式的一般项为（一八其中，为P 1 P 2 P 3 P 4 的逆序数由于P l =1,2 =3已固定,P i P 2 P 3 P 4 只能形如1 3 口 ,即 1 3 2 4 或 1 3 4 2.对应的f 分别为0+0+1+0=1或0+0+0+2=2 一%3a32a44 才 口 tty a23a34a42 为 所:*4.4.计算下列各行列式:4 1 2 42 14 1_ A l O z4 10 012 0 23-121Clu C IC C IC 16 1
5、0(1)!(2)；(3)bd-cd dej(4)1 0 5 2 012 3 20 -1 c 10 1 1 7 _5 0 6 2 _ bf cf-e f0 0 -1解4 12 4 1 2 0 2 c2-c34-12-1 01 4 -。1 -1 0 4 -1 1 0、7 (14+3_ 1 0。1 0 5 2 0 Q7 c30 117C 2+C 31 003 2 -1 4 j；0 1 0 3-1 4 I。3 1 49 9 1 00 0 -2=01 7 1 7 1 4C+“32 14 1 3 T 2 11 2 3 25 0 6 2C4 C22 14 03-12212 3 05 0 6 2 一 弓2 1
6、4 03-12212 3 02 14 0 一 八2 14 03 T 2 2=012 3 00 0 0 0-ab ac ae-b c e-1 1 1bd-cd de=adf b-c e-adfbce1 -1 1二 4abedefbf cf-e fh c-e1 1 -15.证明:证明(4)a1000aha0-1b10rx+ar2-1b100-1c10-1c100-1d00-1d=(1)(一1 产1 +a。a 0-1 c 10-1 dc3+dc21 +ab-10ad1 +cd0=（一1）（一1产-ab ad-1 1+cd=abed+cd+ad+1a1 ab b2 2a a+b 2匕=(a-b；1 1
7、 1ax+by ay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bx xax+by=(673+b3)yay+bza2b2c2d2(+l)2(+2)23 +1)2 3 +2)2(c+l)2(C+2)2(d+1)2 3 +2)21111abeda2 b2 c2 d2a4 b,c4 d4x 1 00 x-10 0 0a”a,i a,_2左边=左边y zZ x(a+3)23 +3)2(c+3)2(4+3)2=0：=(a b)(a c)(a d)(b-c)(b-d)(c d)(a+h+c+d);00 x00-1a2 x+%a2 a b-a2la b-a1 0=(a-h)3=右边按第一列八:a分开
8、xyzay+bzaz+hxax+by=x+a,_|X+a“.h2-a22 b-2 a =(-l)3+1 a bab2-a22 b-2 a=(b-a)(b-a)；b+a2az+bxax+hyay+bzy ay+bz+bx+/?Z az+bx ax+byx ax+by ay+bzXyzay+bzaz+bxax+byzXy+0 +0+byzXZXyaz+8xax+byay+bz组33XyzyzxzXyyzXzXyxyz=a3xyzyzXxyx yy zz xzX(-l)2=右边y 左 边=a2b2c2/2u+(2 a+1)/+(2 b+l)C2+(2C+1)J2+(2 t/+l)(a+2)3+2)(
9、c+2)223+2尸(a+3)S+3)2(c+3/+3a2b2c2d22 a+12h+l2 c+12 d +l4 a+44 b+44 c+44 d +46 a+96b+96 c+96 d+9K按 第 二 列。2分 成 二 项c2abcd4 a+44 8 +44 c+44 d +46 a+96b+96 c+96 d+9+a2b2c2d211114 a+44 b+44 c+44 d+46 a+96b+96 c+96d+9第一项R一，C2c4-6 c2第二项Habcd222,2abcd44449999a2b2211114 a4b4c4d6a6b6c6d=0(4)左 边=1aa2a40b-a2 2b-
10、a14 4b-a0c-a2 2c a4 4c-a0d-cid2-a2d4-a4b-ab2-a2bb2-2)c-ac2-a2c2(c2-a2d-ad2-a2)d d2-a2)1(b-a)(c-a)(d-a)b+ab2(b+a)1d+ac2(c+a)d2(d+a)(b-a)(c-a)(d-a)x1b+ab2(b-a)0c-b0d-b2(c+a)-b2(b+a)cl2(d+a)-b2(b+a)S-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-h)x111(c2+bc+b2)+a(c+b)(d2+bd+b2)+a(d+b)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)(5)用
11、数学归纳法证明Y 1当 =2时,。2=/+。/+出，命题成立.a2 x+a假设对于5-1)阶行列式命题成立，即Dn_=x t +qx2 H-Fan_2x+an_x.则。“按第1列展开：-1 0 0 0Y 1 0 f)D“=+%(T)=xQi+%=右边 1 1 x -1所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式。=d e t(%),把。上下翻转、或逆时针旋转9 0、或依副对角线翻转，依次得annanann%”ananan证明。=。2 =(-1)n(n-l)丁 D R =D.a”i D=0 3 =n证明：)=d e t(%)%4 D=aw%.同理可证。2 =(T)=atiain=(1 严%a2a4
12、.aa,Innna 2nanannn(n-)=(-D 2=(-l)，-l(-l)，-2ua2%的ana2nann3rt(n-I)(1)1+2+(-2)+(-l)0=(_)2 D-1)DT=(-1)H Dn(71-l)(n-l)n(M-l)。3=(-1)2 )2=(-l)2 (-1)2 O =(_ l)g)O=D7.计算下列各行列式（2为都介行列式）：1D.，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0；1(2)D,=xaaxaaa axa4(-l)n(1尸(a-n)(尸D,小提示：利用范德蒙德行列式的结果.a1a 11a -n1ab.D2n004 bc 4o0d Dn=d e t(%),其 中%
13、=i -j ;D.=11i 1 +%,一1 +%1,其中为出11l +a“解D=a000 0a 00 a 0 1 0 0 0 0010 0 a 00 0 0 a0 0 0按最后一行展开(_1)n+1 0 10 00 0+(-l)2 n-a0a000 0 00(n-l)x(n-l)a(再按第一行展开)a二(1 严(1)+a=a-a1 1-2=an-2(a2a(一2)(“一2)(2)将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得Xaa.aa-xx-a0.0D“=a-x0 x-a,.0a-x000 x-a再将各列都加到第一列上，得x+(-l)aaa a0 x-a0 0D“=00 x-a 0=x+(n-l)a
14、(x-a)0000 x-a(3)从第+1行开始，第+1行经过次相邻对换，换到第1行，第行经(-1)次对换换到第2行，经”+(一1)+1 =(”+1)次行交换,得211 1aa-1 a-n%=（T 尸an3-1)1 (a-n)-1an(a-l)n(a-n)此行列式为范德蒙德行列式D+=(-1)=n(-/+1)-(-；+Din+l/；1n(n+l)n(n+l)=(-1 ni-)i=(T)k(-1 严i fl=n（）a,.-i0%0 a-i0bn-按第一行展 开a0l 0+(-1严区0a bc d00*0Cnd n-i0 0d.Cn00都按最后一行 展 开andnD2_2-bncnD2II_2由此得
15、递推公式：。2“=3 M,一 ，)。2 -2即D2n=Y(aidi-bici)D2i=2为 仿而。2 =J 4=q d -blcl得。2“=n(a/，-%c J阳=卜 力0123 n-1111 11012 n-2-1-111 1D =d e t(%)=2101 一3-1-1-11 13210 一 4马 一 行，-1 -1-1-1 1n -1 -2 一 3 一40n-1 n-2 一3H -4 0+C,C3+C-1-1-10-2-200-20 0 0 000C4+C|,-1-2-2-20n -12 3 2/1-4 2 n-5 n 一 1q00 001i+a 1 1一 出0a2 Cl-0 a.000
16、011 D,=1 1 +%.1C 。2，0 200一%,0011 1 1+C l，3-。4,000 ,一CLn-1000 0an1 +a”%00 000a2。20 0000a,000按 最 后 一 列(1 +4,-0303a一 a000A展 开（由 下 往 上）000 -an-24-20000 00-a=(1 +a“)(a 2 )+修生an-3an_2a+-+a2a3-a%00 00-a20 00a2a20 000ai%000一C l-ia.0000一%003+,+4000 an-an-000-an-lan-000 0an000 0 1=3%a“)(1 +2)i=l%8.用克莱姆法则解下列方程
17、组:(1)x,+x2+x3+x4=5,%1 +2.x 2-X3 +4X4 2,2 X -3 x2-X3 -5X4=-2,5芯 +6X2西 +5X2+6x 3=1,=0,3 X +x2+2X3+1 l x4=0;(2)x2+5X3+6X4=0,x3+5X4+6x 5 =0,x4+5X5=1解11111 1111 1 111 1 11(1)=12-1 4一01-2 301-2 301-23=-1 4 22-3 -1-50-5-3-700-1 3800 -1-5 431 2 1 10-2-1800-51400 01 4 25-2-201 1 12-14-3 -1 -51 2 1 15 1 1 10
18、5 0 9-2 -3 -1 -50 1 2 1 11 -5 -1 -90 5 0 90 -1 3 -3 -2 30 1 2 1 11-5 -1-901 21 105 090-1 3 -3-2 31000-5100-12-1 02 3-9 11 1 0-4 61 2 0-5100-12-10-91 13 81 4 2=-1 4 20015111 5111 5111 5 114 =1-2-1 40-7-2 30-1 3 2一0-132=-2 842-2-1-50-1 2-3-70 0 2 3110 0-1-1 93 02 1 10-1 5-1 80 0 3 9310 0 0-2 840 3 =T2
19、6115112-242-3-2-531011D&=14211 1512-1-22-3-1-231 20V-_D_L .D,D、D4.I y-_ _ 一)y-_.-7?|22y233/-k-|7715321223Q=靖4队/乂y=-7%4%+9%3%=6%+3%2 7%3%=3再+282 4%32.已知两个线性变换西=2%+%=-3亦2%2=-2%+3%+2%，化=2&+23毛=4y+为+5%为=一22+323求从Zl,Z2,Z3到Xi,X2,X3的线性变换.解 由 已 知10 11 Z 23 人 Z3）0Yz八（-6 1 3丫&）12-4 9 s1-10-1时x=-6zi+z2+3z3原 以
20、有 径=12&-422+923X3=-10Z1-Z2+16Z3fl 1 1 )3.设A=1 1-1U-1 1JT 2 3、B=-1 2 4,c3A B-2AI。5 1Jfl解 3AB-2A=3 1-1i v1YL112 3、-2 45 1J(1 1 1)-2 1 1-111-1 10 5=3 0-5(2 98、fl6-2 1oj U11 11 117f-2 13 22、-2-17 20I 4 29-2)4.计算下列乘积:(4 3 1丫7)1 -2 3 2；15 7。人(4 3 1Y 7)(4x7+3x2+lxl 1解 1 -2 3 2=lx7+(-2)x2+3xl、5 7 0”(5x7+7x2
21、4-0 x1?。(1 2 3)2；35、6(3、解(1 2 3)2=(1 X 3+2 X 2+3 X 1)=(1 O).(3)1 (-1 2)；解(2 f2x(-1)2x2、1 (-1 2)=1x(-1)1x2 (3x(-1)3x2)(-2 4=-1 21-3 6J121-23T-3O1111A/O443111A21zfl620a”。12。13o443解=(。1速1改12乂2也 3 a12Xl 222233 0 1 1 I23X2 I33X3)=q 商+%2 后+a33x +2 al+2a1+la23x2xy.5.设 =1 21 31 01 2，B=，问:(1)AB=BA 吗?解 ABBA.3
22、 44 6因为A B =,B A =所以AB俎A.(2)(A-fB)2=A2+2AB-fB2 吗?解(A-fB)2+2AB-B2.因为A +B =(A+5)2 =22)，8 1 4)5厂(1 4 2 9)但屋+2 4 5 +二 门8 6 8 Y 1 0)_。0 1 611)+(3 4厂(1 5 2 7所以出 沔 尸 用2m48朽2.(3)(A-B)(A-B)=A2-B2 吗?解(A B)(A-B)A2-B2.因为A+B=2 22 50 20 1,A-B =69oozfl=/21o(A+3)(A6)=o6.举反列说明下列命题是错误的:者屋=0.则A力;解网A =1 0 QJ,则好=0,但A现 若
23、 出*,则A=O S e A=E;解放A =1 j g j,则 及*但A 且A汪.若AX5Y,且A他 则X4.物解则MAY,且A,但XH.7.设h,求 篦 屈,4*.o1luOA1刈1Aogolo解 首 先 观 察、/122农2A今。矛oO/I-|17o1OA1AOgoWs1刈1Aooo2-(无3才3心A3=A2 A=0 犬 3矛(0 0口A4=A3-A=A5=A4-A=oOIoO4犬6心牙4犬,05无10宵）龙5牙0 1龙无o无oo/I-用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时 成立,m ijk+l时,尤Ak+=Ak-A=00k(k-l)无02仅0I。1 0、A 10刈7/无+1/+
24、1)无T=0 无+i0 0(k+l)k F-无 7、(左+1)龙T尹7由数学归纳法原理知:无 IAk-0 无0 0处&.2、嬴 T无79.设A,B为n阶 矩 阵,且A为对称矩阵,证明或AB也是对称矩阵.证 明 因 为N小,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而d AB是对称矩阵.1 0.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证 明 充 分 性:因 为 小5,或*,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=ABt即AB是对称矩阵.必要性:因为Z=A,8r=8,且(ABF=AB,所以AB=AB)T=BTAT=BA.1 1.求下列
25、矩阵的逆矩阵:解 A=1 22 5I A I=1,故 存在.因为5 -2-2 1故=而4*=c o s。一s in。s in。c o s。解 A=c o s 0-s in。s in c o s。./A/=1 M,故 存在.因为4*=f Al 4 1)=(c o s。一 乙 厂(-s in es in。c o s。所 以 A =-A*=A c o s 6 s in。-s in 6 c o s。f i 2 -n(3)3 4 2 ；(5-4 1 J解1 2.解下列矩阵方程:呜生=（厂 .VHI7To11T”21、3X=4-3 2廨O11-23)73O32-2/3-oOA10JOOI1113oo124
26、X2o12TH7o2007-4O-24z/1-43o42X解o2。13zQ-113-41 o4OOIlooO Y Y 1 -4 32 0-11 -2 001 J6236X7o1looo1of o 1解 X=1 0(0 0T3o111A=610;OOIlooY13To-4O-2ro1OKOOIloo1 3.利用逆矩阵解下列线性方程组:xl+2x2+3x3=12X1+2X2+5X3=2；3X,+5X2+X3=3故解方程组可表示为xi-x2-x3=2(2)1 2毛 一%2一3毛=1 .3%+2%2 5七=0解方程组可表示为故(-1 -1丫始(2、2 -1 -33 2-5ojX3j(-1丫72、-3-
27、51=0,oj x2=1 ,%=23 1 12故有%5x2=0,曰=314.设N=o（k为正整数）.证明（E-A二 加 尔+证明 因为N力,所 以E点二.又因为E-Ak=(E-A)(E-fA2+-所以(EA)(E-fA-fA2+-hAk-1)=E,由定理2推论知（E-A）可逆,且(E-Af1=E-tA-tAl+-证 明 一方面,有EWETVETV.另一方面,由N=o,有E=(E-A)*A相-4 1 M-Ak)=(E-fA-fA2+-fAk)(E-A),故(ET 尸(Ef 第两端同时右剩E-A,就有(E-A/(E-A)=E g W+W .1 5.设方阵A满足&-A-2E=O,证明A及A+2E都可
28、逆,并求A”及(A+2E尸.证 明 由&T 2E=O得A2-A=2E,gpA(A-E)=2E,或 A1(A-E)=E.由定理2推论知A可逆,且A =；(A -E)./A2-A-2E=O 得A2-A-6E=4E,efl(A-F2E)(A-3E)=-4E,或(A+2E).；(3E-A)=E由定理2推论知(ASE)可逆，且(A+2 E =-(3 E-A).证 明ft/A2-A-2E=O存片f M E,两端同时取行列式得I A2-1=2,即 IAHA-EI=2,故/4/M.所以A可逆,而A+2EW.IA+2EI=IA2l=IA匐,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=O nA(A-E)=2E印 A依田=
29、2AE=A T =A E ,又由A2A-2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=YE=(A+2E)(A-3E)=-4 E,所 以(A+2E尸(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E厂,(A+2 )-=1(3 E-A).解 因 为N =工N*,所以A l(2A 尸一 5A*1*A-T IA IA F 卫 A T-JTI2 2=1-2A-11 =(-2)3lA-1 I=-8IA=-8x2=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆.且(A*/4d)*.证 明的247=二4*,得A*=IA IA-1所以当A可逆时,A lA*l=IA lnlAJl=lA lnO,从 而A*也可逆.因为A*
30、=IAIA-I,所以(A*=AA.I A-11(A-I)*=IAI(A-1)*,所以(A*T=IAA=IA lA l(A -1)*#-1)*.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:若 闻=0,则A*=C;(2 A*/=/A/7证明用反证法证明.假设TA*匐,则 有A*(A*二,由 此 得A 9 A*/A*尸=/4隹仅*尸 W,所 以A*=O,这与A*M矛 盾,故 当A 力 时,有IA*I=O.(2)由 于A-=A*.则AA*=AE,取行列式得到IAI/*/=/.若IA I.则IA*I=IAF”;若IA=O,由知I A*1=0,此时命题也成立.因此 IA*1=IAT.(0 3 3、1 9.设
31、人=1 1 0 ,AB=A+2B.求B.1-1 2 3；解 由AB=A+2E可得(A-2E)B5,我(-2 3B=(A-2E)-A=1 -11-1 23丫7。0 1V I-13 311 02 3)3 3、2 31 ojf 0=1,1p o p2 0.设4=0 2 0,且AB把 小 也.求8U。V解 由AB托 孑 铝 得(A-E)B2-E,即(AY)BgA-E)(A出.0 00A-E=0 11 010=1/0.所以8可逆,从而0(2B=A+E=011o20302 1.设A=diag(l,-2.1).A*BA=2BA-8E.求B.解 由A*BA=2BA-8E 得(A*-2E)BA=-8EfB=-8
32、(A*2E)A=-8A(A*-2E)=-8(AA*-2 A尸=8(IAIE-2A)-17/-2 E-2犷=4任网=4diag(2.T,2)=4diag(1,-1,1)乙 乙=2diag(l,-2,1).2 2.已知矩阵A的 伴 随 阵 小=S A B A A+S E.求B.解 由 IA*I=IA=8,得I Al=2.由 ABAJA Y E 得AB=B+3A,8=3 伍-尸A T/4 E T T勿 力0008oo1oo10-31111cl lu=3(-：4*尸=6(2E-A*尸oooT006006036060Am/oo0-6oo1o11031o11o/lm6A求2 3.设PqAP=A,#夕 尸=
33、(j 解(fjP AP=A.fffA A P,/9flilA11=A=PA11p-1.f j_ 4AH_(-4Y-1 0 1 3 3 2731 2732、一 1 iJO 2J _ I 683 684,C3 3)i n0-2,A=-1 V Ip2 4.设AP=PA,其中P=1求(p(A H(5 E S.解(p(A)=A8(5E-6AA2)=diag(lfl,58)diag(5.5f5)-diag(-6r6f30)-Hiiag(l,l,25)=diag(lf158)diag(12,0,0)=12diag(lf0,0).c p fA H d M*尸%pllpoooloo-2-2 2、-3 0 3T
34、2-1；ooo2 5.设矩阵A、B及A出 都 可 逆,证 明 它 也 可 逆.并求其逆阵.证 明 因 为而 是 三 个 可 逆 矩 阵 的 乘 积,所 以ARA网B-，可 逆,即 可 逆.(A 铝“0A”(A铝)=B(A曲尸A.o311/(11o力1o211oz/d2oo7?o*13)2o6o)0o乂#讨26.解 设4需京,员=-.|ENE硝A 4耳+为)则(o 4八。BJ O A2B2-=G -4-2o4o3-3的+乌 引 短而2o为42439_-52402100rlooWA ENE*(A A,B.+BAO s j r|i)故A BC DwIAI BICI D-28.设 卜=f344-3XO
35、o02j,死/及 乂则故解今4=A=人8=A。4=A。丫厂oo A2o41481TA叩 第 日 4|8|甸8=1016、oA4=f54 00 54I。川厂024 026 24J29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆.求(1)O AB 0解摩O AB O.则AC4BC2(E“OO E由 此 得 心 纥AC,=OBC=0=BC2=ESC3=A-lc4=0c1二o，C2=B-所以O AB OOwA-O(2)A OC B“(A O解4 c BD D22 D 4.，则(A。丫，A ir A。AD2 L出 o)(c BD3 D4)-CDI+BD3 CD2+BDJ-O EY由此得A。超AD,=OCD,+BD3
36、=OCD2+BD4=ESTB-TAOTB-QAA2仁3 0.求下列矩阵的逆阵:003200852100r52010003800252500-1200-zflA0032008511uM八2 1 0 2 0 2、弓十 弓 1 0 2 0-2、0 1 1 1 10 1-1 0 3x(T)0 0 0 1 40 0 0 1 4r4-r3,0 0 0 0 0、0 0 0 0 0,0 1 0 83 Y16 09 人0 1 Y(4 510=122、20 V(7 82 3.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:2O3-O2272-3212OKAy153212r333、1-22-O3-21oO32OO2O2r
37、3O4O35 OO解OOO27OO27102O O7/3007222/1 0 07623_?、200L-10011210-2J200L1001-12-10222,7 26故逆矩阵为-123-103221(2)3-20-11 0 00 1-2-3-2 0 0100 2210 1 0 00121 0 0011 -2-3-20 01 00011 1 0-3-410 1210 0 01J100-2-1 010-21-20 10 0、0 0-3210-2 01 01 11 2000110-3-60、1-4100,0-210000100-1-1o o ro-i-i1 2 10-13 6-6 -107100
38、0 0 0 11 0 0 00 1 0-10 0 1 211-11-2 -40-13 6-6 -101 -2 -4、故逆矩阵为1 1 3 o1 -6 -10；4.(1)4设A =2、31 一2、2 1 ,B=1 -J123-3、2，求 X 使 A X=8;T,解/0设A =2，一32-13、3,B=-4,22 3-3 1，求X 使X A =3.4(A|B)=23121-21-1123一3、初等行变换（1 0 02-0 1 00 0 110-15122、-347I002 -1-4 70100014/.X =BA-1-1-17 47，15.设 4=0-1100、-1,A X=2 X+A,求 X。7
39、解：由 A X=2 X+A 得：X=(A-2 E)-1A =0-1110-1、10,6.在秩是r的矩阵中，有没有等于。的r-1阶子式?有没有等于0的r阶子式?解 在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的尸-1阶子式，也可能存在等于0的r阶子式.例如，a1000、01 00001 000000000;R(a)=3 同时存在等于0 的 3 阶子式和2 阶子式.7.从矩阵A中划去一行得到矩阵8,问A,B的秩的关系怎样？解 R(A)R(B)设R(B)=r,且B 的某个r 阶子式0,W O.矩阵B 是由矩阵A划去一行得到的，所以在A中能找到与),.相同的r 阶子式。,.，由于。，故而 R(4)2 R(B).8
40、.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1-1,0,0,0)解 设为五维向量，且=(1,0,1,0,0).=0,0,0),则所求方阵可为a2%=(0,0,0,4,0)A =%,秩为4,不妨设%=(0,0,0,0,x5)取 X 4 =七=1a5=(0,0,0,0,0)10 1 0 0、1-1 0 0 0故满足条件的一个方阵为 00 0 1 000 0 0 111 9-533 27-15,32-1-3-2、r -r z 2-2厂/132-131 -3 0-7705-1 8,厂3-7门(0-21-4 -4 1 11 9-5 秩为2.0 0 0?218 37、2-30 7-5
41、3-25 80J03 2o J7八 一2。012-10-3-632-2。0-2-42-3。J0327-500八2q*r,+14q+16口00100 31 20 00 04+3八2 0、-1 70 10 0000J10002-10 00 03 2秩为37、1614oJ、心+2八二 阶 子3式:2、=-7.2 1。一 3053782三阶子式-5005 83 2=70 W 0.10.设A、B都是mxw矩阵,证明AB的充分必要条件是R(A)=R(B)。证：必要性即定理3,故需证明充分性，设R(A)=R(8)=r,由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具(E 0、有相同的标准型，F=r,于是A尸，B F,从
42、而由等价关系的对称性和传递性，知IX 0 o/j m xnA8。1 -2 3k、11.设 A=-1 2k-3,k-2 3,问k 为何值时，可使:(1)R(A)=1；(2)R(A)=2；(3)R(A)=3。-2 3ky(1-2解：对 A作初等变换，A=-12k-3 -0 2(k-1)一2 3 J 10 03k 3(D3(k 1)(女 +2),于是，由定理3,当 k=l时，R(A)=1；R(A)=3。当 k=-2时，R(A)=2；(3)当人。1月火。一 2 时,1 2.求解下列齐次线性方程组:X 1 +%2+2工 3 -工 4=0，x+2X2+x3-x4=0,(1)2x+x2+x3-x4=0,(2
43、)3114-6X2-x3-3X4=0,2xl+2X2+X 3+2尤 4=0;5x+10 x2+5X4=0;2为 +3X2-x3+5X4=0,3%+4X2-5X3+7X4=0,3x,+z +2X3-7X4=0,/(4)2%j-3X2+3X3-2X4=0,4项 +x2-3X3+6X4=0,4X1+1 lx2-13X3+16X4=0,x-2X2+4X3-7X4=0;7Xj 2X2+3X4=0.解(1)对系数矩阵实施行变换:4(4、2-1、/F=7X41 11 0-10332 1、2 21 -11 2;0 10 031-1_4-3；,即得x2=3X44,X3=X4故方程组的解为X2X3=k-3431乙
44、=x4I 1 7(2)对系数矩阵实施行变换:1 2 1 -1、3 6-1-3、5 10 1 5,10I。2 0-T0 1 00 0 0,2 =-2X2+x4即得产2=)X.=()x4=x4/王-2、1、故方程组的解为x2=匕10+k-y00(3)对系数矩阵实施行变换:2 3-1 5、1 0 0 0、尤1 =0尤=03 12-7*0 1 0 0即得，Y -Q2一八.故方程组的解为x2=04 1 3 60 0 1 0 x3=0匕 二01-2 4 -7；、0 0 0 1,x4=0A =(4)对系数矩阵实施行变换:13一1720一17-3一1719一17/乙-12341w91712011701o,13
45、-T72O一170 3 4 -5 72 -3 3-24 11-13 16、7 -2 1 310an01_190003)1719171o j故方程组的解为+k21 )1 3.求解下列非齐次线性方程组:4演 4-2X2-=2,(1)3x,-l x2+2X3=10,11%1+3X2=8;2 x +3 y+z =4,x -2 y +4 z =-5,3x +8 y -2 z =13,4尤 一 y +9 z =-6;2 x +y -z +w =L(3)4x+2 y 2 z +w =2,2 x +y -z -w =1；2 x+y-z +w =L(4),3x-2 y +z-3 w =4,x +4 y 3z +
46、5 vv=-2;解对系数的增广矩阵施行行变换，有4 23-111 3-1202、1 0R(A)=2而R(B)=3,故方程组无解.(2)对系数的增广矩阵施行行变换:2 3 14、0 2-11-2 4-50 1-1 23 8-2 130 0 0 04-1 9 -6?、0 0 0 0 x-2z-1即得y=z+2.亦即.z=z仆、y对系数的增广矩阵施行行变换:2 i-i i r2 1-1 14 2-2 1 20 0 0 12 1-1-1 1?、0 0 0 0o,oj即得41 1 1X=V +z+2 2 2y=yz 二 zw=06-75_-7O1-79-70O1O1oOzr(4)对系数的增广矩阵施行行变
47、换:-257O59-70-35707即得X=y=1 1 6z+w+7 7 75 9 5-z w 7 7 7即/、XyZ=匕/1 +k?(_、79 7+飞、7_ 5 7Z=Z00010w=W /M 7为通解的齐次线性方程组。2 )-2)14.写出一个以x =C1-341+。20(*)、L、解：把(*)式改写为任、X2X3,2cl-2C23c j+4 c 2JI C2把 C =x3,c2=x4,得(X 人X?2X3-2X4-3X3+4X4九 3 4,由此知所求方程组有2 个自由未知数与，,且对应的方程组为7xl=2X3-2 九 4x2=-3X3+4X4,即%.1-2x3,+2 x,4 =0 它、以
48、(*)式为通解。x2+3X3-4X4=015.2取何值时，非齐次线性方程组疝+%2 +无 3=L 1(1-A)(l-A)(2 +/l)(1%)(/1+1)2,由(1 一4)(2 +A)=0,(1-4)(1+4)2，o,得丸=2 时,方程组无解.(3)R(4)=R(B)3M(l-/l)(2 +；l)=(l-/l)(l +/l)2=o,得几=1 时，方程组有无穷多个解.1 6.非齐次线性方程组-2|+X 2 +X 3 2,$-2X2+/=%1 +x2-A,当2取何值时有解？并求出它的通解.解B =-2 11-21 11-2、1 A2矛，10、0-2101-104 、一|(2-1)(4 一 1)(4
49、+2),方程组有解，须(1 一;1)(7 +2)=0得4 =1 =一2当4 =1时，方程组解为x2曾I1+0当4 =一2时，方程组解为、七,，2、21=k曾1(2 2)X +2X2 2 K 1,17.设 J 2 x,+(5-/l)x2-4 x3=2,.问/I为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多2 X|4 2 +(5 丸)3 =一 九一1,解？并在有无穷多解时求其通解.(2-A 2-21 、初等行变换15 。2、-2 1解2 5-2-4201-A1-A 1-21-2 -45-A-2-1；00(1 _丸)(1 0 一 2)(1 _ 2)(4_/1)12 2 )当|A|W0,即（1 一2）；1
50、 0一 丸）W 0./1，1且；1，1 0时，有唯一解.当 纥42尸=且I。,即 人 时 无解.当/=（）且 上”即1时，有无穷多解.此时，增广矩阵为o原方程组的解为x2(kvk2 e R)1 8.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量从，使A=。证：充分性：设。=（卬 2am）T,b =（“b2 bj,并 不 妨 设HO,利用矩阵秩的定义，显然，A有一个一阶非零子式，任取A的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取A的第i行、第j行及第k列、第I列所得2阶子式）：aibk aihla 4噌=aiajbkbl-f.ajbkbl=0,于是，R(A)=1。必要性：设4=（%）,心“