线性代数课后习题答案04.pdf

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1、第四章向量组的线性相关性1.设 V.=(l,1,0)3 2=(。，1,1)“3=(3,4,0)；求羽 2 及%i+2u 2f.解 力2=(1,1,。1-(0,1,1尸=(1-0,1-1,0-1/=(1,0,-1).3乃+2v 2f 3=3(1,1,0尸+2(0,1,1 1-(3,4,0)r=(3 x l+2x 0-3,3 x l+2x l-4,3 x 0+2x l-0)r=(。,1,2尸.2.设 3(。4)+23 2+0)=53 3+。)，求 其 中 m=(2,5,1,3)：“2=(10,1,5,10)1 a 3=(4,1,1,1)7.解 由3 3 r)+2 3 2+a)=5 Q M整理得a=

2、-(3 f Z|+2/Z9-53)=1 3(2,5,1,3)7+2(10,1,5,10y-5(4,l,-l,l)r6=(1,2,3,4尸.3 .已知向量组A:1=(0,1,2,3)7,“2=(3,0,1,2)1%=(2,3,0,l)r;B:加=(2,1,1,2尸,力2=(。,一2,1,1)1 仇=(4,4,1,3 1，证明6组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.证明由 0 3(A,B)=；3 2441302112112230144-7-9-205712TT326-803121ooOO11/11oOooO13 1 2 4、6 1 5 720 5-15 254 1 -3 54750-253

3、0-1111113640-o1oorloo知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.由2ooo1oonoo1o1/(2r7-v211oonw工844130211知R(3)=2.因为R(8)w R(3,A),所以A组不能由B组线性表示.4 .已知向量组从。1=(0,1,1尸，。2=(1,1,0)7；B:=(一1,0,l)r,岳=(1,2,1)1 仇=(3,2,-1尸，证明A组与8组等价.证 明 由(6,A)=9mHV11OO1O320120Too/mVr111111o11322122-1Oozrkx二A711o知R(B)=R(B,A)=2.显 然 在A中有二阶非零子式，故/?(A)

4、2,又R(A)R(B,A)=2,所以 E(A)=2,从而 R(A)=R(B)=R(A,B).因此 A 组与 8 组等价.5.已知 R Q,3 的)=2,R Q,3,4)=3,证明(D。1能由。2,的线性表示；(2)。4不能由即“2,4 3线性表示.证明 由R(4 2,3,。4)=3知a2,a3,a4线性无关，故a2,a3也线性无关.又由R(l,。2,。3)=2知。2,。3线性相关，故 能 由。2,。3线性表不.(2)假如田能由4 1,。2,的线性表示，则因为m能由2,的线性表示，故如能由。2,。3 线性表示，从而。2,。3,。4 线性相关，矛盾.因此。4 不能由4 1,2,。3 线性表示.6.

5、判定下列向量组是线性相关还是线性无关：(-1,3,1y,(2,1,0尸,(1,4,1尸；(2)(2,3,0/,(-1,4,。),(。,0,2尸.解(D以所给向量为列向量的矩阵记为人因为210131zf(XA-272-1OOf-i 2 n0 1 1loooj所以R(A)=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为反因为151=002-14o230=22。0,所以R(B)=3等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？1=(,1,l)r,“2=(1,。，-1)1的=(1,一 1,a)1.解以所给向量为列向量的矩阵记为A由=a（Q

6、 _ 1）3+1）知，当。=-1、0、1 时,R(4)=C 1-(l+c)2,CGR.9.设。1,。2线性相关，比岳也线性相关，问田+心，做+是否一定线性相关？试举例说明之.解 不 一 定.例如，当。尸(1,2)7,a2=(2,4)7,加=(一1,一 1)7,岳=(0,。)7时，有1+1=(1,2)7+岳=(0,1)7,做+岳=(2,4)7+(0,0)7=(2,4)7,而 m+多,a2+b2的对应分量不成比例，是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的：若 向 量 组 ,。机是线性相关的，则 可 由“2,，厮线性表示.解 设 f 0,0,0),2=3=.一m=0,则 1,2,。机线性相关，

7、但 不 能 由。2,一厮线性表示.(2)若有不全为。的数4,而 ,瑞使丸 。1+,+%/?+为 +,+4 7?=成立,则|,-。机线性相关，成 砥,成亦线性相关.解 有不全为零的数九,爸,&使,+4/?+为 5+,+%瓦 =0)原式可化为办(a i+)+4”(。机+瓦”)=0.取 a =ex=-bXi a2=e2=-b2,am=em=-bm,其中 eh e2,e机为单位坐标向量，则上式成立，而田,。2,，和6,力2,)机均线性无关.(3)若只 有 当 汨 爸 ,“全为0时，等式丸 。1+,+尢7?+办 方 +*+4 瓦 尸0才能成立，则,即线性无关，瓦，力2,，仇”亦线性无关.解 由于只有当即

8、羽 ,却全为0时，等式由 +4时1+丸14 i+乙瓦=0成立,所以只有当只,4,&全 为0时，等式X(a.+b)4-?l 2(2+2)+,+/(+，机)=0成立.因此ci+b,敢+岳,一,。机+方机线性无关.取3R2=5。,取瓦，,瓦”为线性无关组,则它们满足以上条件，但。2,。机线性相关.(4)若 即 做,斯线性相关,阮岳,亦线性相关，则有不全为0的数,。，而 ，&使办。+,+%。产0,1+,+4”瓦 =0同时成立.解 )=(1,Of,敢=(2,0)1 加=(0,3尸,岳=(0,4尸，A (l +丸22=0丸1=一2 2 2,X b+XJ)2=0 n4i=(3/4)丸2,=办=丸2=。，与题

9、设矛盾.H.设力 1询+2,岳”“，Z 3=3+4,Z 4=4+1,证明向量组加，:2,-3,九线性相关.证明 由 已知条件得U b 12?4 2=力 2一 4 3,04,于是 a i=A i 岳+的=b-02+03-4=b j b 2+b 3 b 4+a 1,从而 力 岳+仇 力 4=0,这说明向量组多,b2,仇,儿线性相关.12.设力|-1,82=1+4 2,、仇 1+4 2+r,且向量组4 1,。2,线性无关，证明向量组，岳，一 ，瓦线性无关.证明 已知的r个等式可以写成 1 1 P(bl,b2,-,bl)=(al,a2,-,ar)0 1 1,、0 0 1,上式记为6=A K.因为的=1

10、 M,K 可逆，所以R(B)=R(A)=r,从而向量组,岳,，耳线性无关.13 .求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：(1)1=(1,2,-1,4 了,“2=(9,100,10,4 尸,的=(一2,-4,2,-8)r;由解9004O11112T420OOJ9-1001000/工20009292813-rlooN二八2428知 R ,“2,。3)=2.因 为 向 量 与。2的分量不成比例，故 4 1,“2线性无关,所以 i,a2是一个最大无关组.(2/=(1,2,1,3),做 小,-1,-5,-6),媪=(1,T -4,-7).解 由15004900rloO/fdl14n1Z(O95n345O

11、-T98-oO74（%,42，4 3）=1 3-5 6-7知,处,43)=夫 31,。2,。3)=2.因为向量Q1与 4 2 的分量不成比例，故线性无关，所 以 如 7是一个最大无关组.1 4.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:25 31 17 43)0 75 94 53 132.75 94 54 134(25 32 20 48)解 因 为25757531 1794 5394 5432 2043）收1 3 2 冒134 rA-rx48 J仅500I。3111117 43、2 3 1 33 5乃 一 为3 5 J4:33o172103110025000所以第1、2、3 列构成一

12、个最大无关组.m71T3T122zz2o1132 o1o41解为因25-4213011nx1111oz-11rI1 2 22 1 5-2-1-50-2 2-ii一2）fl00I。1 2 2 1）2 1 5-10-2 2-2?0 0 0 0 J所以第1、2、3 列构成一个最大无关组.1 5.设向量组(a,3,1)；(2,b,3 尸,(1,2,1 尸,(2,3,1/的秩为2,求a,h.解 设“1=3,3,1)7,做=(2,b,3)1 由=(1,2,1 尸,%=(2,3,1/.因为(2,Q-)=2703Q3123116 Z 111 1 1313 1 Q1 13 0 2 a h 5)而 R Q,a2,

13、%,0=2,所以 a=2,h=5.1 6 .设 ,是一组及维向量，已知八维单位坐标向量ei,3,一，如能由它们线性表示，证明。1,敢,外线性无关.证 法 一 记 A=(即。2,”),E=(e 1,02,/).由已知条件知，存在矩 阵 K,使E=A K.两边取行列式，得l l=L 4 IIKL可见M,所以可4)=,从而 i,%,“线性无关.证法二 因为e i,e 2,品能由“I,%,为线性表示，所以R,02,一，e,R(ax,a2,一，),而 R 0,e2,-en)=n,R(ah a2,一，a)n,所以 R(ah a2,an)=n,从而 ah。2,线性无关.1 7 .设勿,。2,一-,%是一组维

14、向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n维向量都可由它们线性表示.证明 必要性：设a为任一 n维向量.因为西生，一，“线性无关,而即敢,是+1个维向量，是线性相关的，所以a能由、猴线性表示，且表示式是唯一的.充分性：已知任一场维向量都可由。1,。2,一-,。线性表示，故单位坐标向量组0 1,3,如能由线性表示，于是有n=R(e i,e2,e)7?(i,a2,af l)n,即R(h,a2,an)=n,所以ah a2,an线性无关.1 8.设向量组。1,色,即线性相关，且。芹0,证明存在某个向量以(2 4 4，使为能由 i,2,ak-线性表示.证明 因 为 即。2,即线性相关，所以存在不全

15、为零的数九，爸 ，&，使九 a 1+4 2 a 2+,+丸 尸0,而且爸丸3,一，&不全为零.这是因为，如若不然，则2 1。1=0,由。芹0知%=0,矛盾.因此存在人(2必 帽)，使/UwO,2A-+i=/l+2=%”=0,于是九。+丸2。2+*,+为aK=0,欧=(1/4)(为 a 1+4/2+一即以能由 1,2,一,线 性 表 示.1 9.设向量组B:bi,也能由向量组A:勿,4线性表示为,一,4)=(,as)K,其中K为sx r矩阵，且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明 令 B=0,瓦),A=(“i,见)，则有 B=A K.必要性：设向量组8线性无

16、关.由向量组3线性无关及矩阵秩的性质，有r=R(B)=R(A K)min 7?(A),R(K)R(K),及 R(K)min r,5 r.因此 R(K)=r.充分性：因为Rg f 所以存在可逆矩阵C,使K C=g j为K的标准形.于是(，,br)C=(O K C=(a i,).因为C可逆，所以R(b、,瓦)=R 3,ar)=r,从而bh,瓦线性无关.2 0.设B=%+。3+%以=四+。3+%0“=a+%+。3+区证明向量组即a2,为与向量组外限 ,其等价.证明将已知关系写成f 0I电,夕2,月)=Q，%，)1.n-1-111o1o11111-O J将上式记为6=A K.因为K=(所以K 可逆，故

17、有A=B K,由3=4 长和4=3 及-1 可知向量组即。2,一、名与向量组力1，尼,可 相 互 线 性 表 示.因 此 向 量 组 2,2与向量组 居，,月等价.2 1 .已知3阶矩阵A 与 3维列向量x满足A3X=3AX-A2X,且向量组x,Ax,A2X线性无关.记?=(x,Ax,屋 求 3阶 矩 阵 用 使 AP=P 3;解 因 为AP=A(x,Ax,A2X)=(Ax,A2X,A3X)=(Ax,A2X,3AX-A2X)所以8=o1=(x,Ax,A-x)oOOIim703TOOIo1o037(2)求 2 1.解 A3X=3AX-A2X,得 4 3%-人%-4工)=0 因为工Ax,K*线性无

18、关,3X-AX-A2X,即方程Ar=O 有非零解，所以R(A)3,=0.2 2 .求下列齐次线性方程组的基础解系：X 8%2 +1 0%3 +2%4 =0 2%+4%2+5%3-%4=；3 玉+g+6X3-2X4=0解对系数矩阵进行初等行变换，有4 0 )-3/4 -1/40 011Ozf1OoIO、,2122-10568-4I8123z/mkA得是于百=-4 七 x2=(3/4)X3+(1/4)X4,取(%3,%4 1=(4,0 尸，得(修,2 1=(一 1 6,3 1;取a 4)T=(0,4)1 得(修,2 尸=(0,因此方程组的基础解系为介(-1 6,3,4,0/,2=(0,1,0,4/

19、.2 玉-3X2-2X3+X4=03 X1 +5%2+4 毛-2X4=0.8 +7X2+6X3-3X4=0解对系数矩阵进行初等行变换，有(2-3A=3 5(8 7于是得f l 0 2/1 9-1/1 9)0 1 1 4/1 9-7/1 9(0 0 0 0 J24 6-3J=-(2/19)X3+(1/19)X4=(1 4/1 9)七+(7/1 9)%JW3,4)r=(1 9,0)；得(巩处)7 1 4 次取%4)T=(0,1 9)7,得(%,%2 =。7)7.因此方程组的基础解系为备=(-2,1 4,1 9,0工=(1,7,0,1 9)7.(3)n xi+(n-l)%2+一+2 x _|+x=0

20、.解 原 方 程 组 即 为xn=xi(n 1 )%2-.2 xn-i，期X-1.%2=/3=,Xw_|=0,4 一%X 2=19 犬1=犬3=人4=*=1=,、屋=一(1 )=+1；*9x-1=1,为=犬2=x-2=,4 x=2因此方程组的基础解系为备=(1,0,0,0,-n)T,2=(0,1,0,0,f+l)，*9配 1=(0,。,。,，1,2)7.2 3.设 A=；J，求一个4x2矩 阵 反 使 A 8=0,且R=2.解 显 然 3 的两个列向量应是方程组AB=Q的两个线性无关的解.因为A_(2-2 1 3V fl 0-1/8 1/8)(9-5 2 8j(0 1 -5/8-11/8户所以

21、与方程组AB=0同解方程组为 玉=(1/8)&一(1/8)为 2=(5/8)X3+(11/8)X4,取(为,%4)=(8,0)1 得(孙 MS 5)；取(%3,/)7=(0,8)7,得(%1,%2)7=(1,I l f方程组AB=0的基础解系为备=(1,5,8,0)r,2=(-l,11,0,8)7.(叫因此所求矩阵为3=I?.10 S)2 4.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为备=(0,1,2,31,$=(3,2,1,0/.解显然原方程组的通解为3210/I2女+,(白，22的,消去卜,心得2百_ 3/+%4=0否_ 3七+2X4=0此即所求的齐次线性方程组.25.设四元齐次线性方程组n5

22、求:方程I 与 II的基础解系;I 与 II的公共解.解 由 方 程 I 得行：14.取(%3,%4)7=(1,0尸,得(修,X 2),=(0,0)7；取(处心)？。,D i 得(片,X 2)7=(-1,I f因此方程I 的基础解系为备=(0,0,1,0)；2=(-1,1,0,1/.由方程n 得.I)a A取(%24)7=(1,0尸，得,X2)7=(0,I f；取(%3,%4)T=(0,D i 得3,%2)T=(-1,-If因此方程n 的基础解系为=(0,1,1,0)；2=(-l,-1,0,1/.(2)I 与 II的公共解就是方程I l l:%+%2=0 x2-x4=0-%2+%3=0%2一1

23、3+%4=0的解.因为方程组I I I的系数矩阵7oO1OO1oOoO07oOO111O11OrIA=所以与方程组I I I同解的方程组为%=一匕%2=14 X3=2X4取必=1,得(XI,%2,%3)T=(T,1,2尸，方程组H I的基础解系为-1,1,2”.因此I与I I的公共解为x=c(-l,1,2,if,c e R2 6.设”阶矩阵A满足K=A,E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A E)=n.证明 因为 A(A-E)=A2 A=A A=0,所以 R(A)+R(A-E)R(A+E-A)=R(E)=n,由此 R(A)+R(A-E)=.2 7 .设A为八阶矩阵(稔2),A*为A的伴随阵，证

24、明n 当 H(A)=R(A*)=1 1 当 R(A)=T.0 当 R(A)功-2证明 当R(A)=n吐 M,故有I A 4*l=I L 4 I E I=L 4 k O,I A*k O,所以 R(A*)=.当 R(A)=n-l 吐 L 4 l=0,故有A A*=A E=0,即4*的列向量都是方程组A*=0的解.因为R(A)=-1,所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量，即基础解系的秩为L因此R(A*)=L当R(A)-2时，A中每个元素的代数余子式都为0,故A*=Q从而R(A*)=0.2 8.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：|玉+%2=5(1)2A+X2+X3+2

25、X4=1;1 5再+3%+2毛+2X4=3解对增广矩阵进行初等行变换，有no513022o11211113125O1Oloo1 10 8)1 3 .2)与所给方程组同解的方程为玉=一 工3-8 X2=刍+%4=2当M=0时，得所给方程组的一个解片(-8,1 3,0,2月.与对应的齐次方程组同解的方程为再=一%3%2=X、.%4=。当冷=1时，得对应的齐次方程组的基础解系(-1,1,1,0)T.I X j -5%2 +2尤33x4=1 1(2)711111-OOO与所给方程组同解的方程为k=-(9/7)x3+(l/2)x4+lX2=(1/7)X3-(1/2)X4-2,当X3=X4=0时，得所给方

26、程组的一个解7=(1，-2,o,0)T.与对应的齐次方程组同解的方程为玉=_(9/7)%3+(1/2区1%2=(1/7)刍一(1/2)/,分别取(X3,%4)T=(l,0)1(0,1)1得对应的齐次方程组的基础解系备=(9,1,7,2)7.29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已 知 0,他是它的三个解向量.且71=(2,3,4,5尸,他+小=(1,2,3,4)；求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于小，3,他均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得2 1 一(2+3)=(1 一 2)+(1

27、 一 3)=(3,4,5,6)7为其基础解系向量，故此方程组的通解：x=k(3,4,5,6)4(2,3,4,5)伙eR).30.设有向量组 A:勿=3 2,10)；3(2,1,5)1 的=(一1,1,4)；及=(1,以-1)7,问a,力为何值时(1)向量)不能由向量组A线性表示；(2)向量力能由向量组A线性表示，且表示式唯一;(3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.解r-i-2(a3,a2,a1,b)=1 1(4 5a21 0-yf-l -2 c r 1 )0 -1 +a 0+1、0 0 4+a 3。,当/_ 4,分0时,R(A)wR(A,b 此时向量办不能由向量组A

28、线性表示(2)当好-4时,R(4)=R(A,扬=3,此时向量组m,也,的线性无关，而向量组田，。2,3,b线性相关，故向量方能由向量组A线性表示，且表示式唯(3)当g-4,0时,R(A)=R(A,=2,此时向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一.当a一4,住0吐-1 -2 -4 1 1/1(生,出,。1,力)=1 1 2 0 01 4 5 1 0 -4 1 0-2 1 13 -10 0 J方程组(4 3,a2,ax=b的解为2 c+l 3 c 1 ,CGR.c)因此)=(2。+1)。3+(3(7-即 b=3 c-I)a 2+(2 c+l)a 3,c c R.31.设。的)=31,砥岳)1

29、C=(C 1,C 2,C3)1证明三直线l：a iX+biy+ci-O,笈 a2x+b2 y+c2=0,(a+bO,z=l,2,3)1 3：”5+仇丁+小句，相交于一点的充分必要条件为：向量组“，力线性无关，且向量组。，b,c线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组axx+bxy+cx=O axx+bxy=-cx a2x+boy+c2=O,a2x+h2y=-c2a3x+b3y+c3=O a3x+b?iy=-c3有唯一解.上述方程组可写为xa+yb=-c.因此三直线相交于一点的充分必要条件为。能由。，方唯一线性表示，而c能由“，方唯一线性表示的充分必要条件为向量组a,b线性无关，且向

30、量组a,b,c线性相关.3 2 .设矩阵 A=Q,“2,。3,。4),其中。2,。3,“4 线性无关,。1=2。2-。3.向量+3+。4,求方程A*4的通解.解 由力/+2+的+。4知%(1,1,1,I),是方程A*斗的一个解.由m=2。2-。3得。1-勿2+。3=0,知兵(1,-2,1,0 1是A x=O的一个解.由。2,。3,。4线性无关知R(A)=3,故方程A x=b所对应的齐次方程Ax=o的基础解系中含一个解向量.因此兵(1,-2,1,0尸是方程Ax=0的基础解系.方程A x=b的通解为x=c(l,-2,1,0)4(1,1,1,1)cwR.3 3 .设*是非齐次线性方程组A*4的一个解

31、,易爸,多一,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)*,品基 一,J r 线性无关；(2)*,*+看，*+殳 ,线性无关.证明 反证法，假设*，枭 殳 ，射线性相关.因为4再2,Jr线性无关，而*,虞，殳,当一,线性相关，所以*可由看，基，$-线性表示，且表示式是唯一的，这说明/也是齐次线性方程组的解，矛盾.(2)显然向量组*,*+看，*+殳 与向量组*,备，殳 一,5一,可以相互表示，故这两个向量组等价，而由知向量组*，备，殳一,4 f 线性无关，所以向量组*,*+看，*+真 ，*+*,也线性无关.3 4 .设小，小,分是非齐次线性方程组A x斗的s个解,3,k2,ks为实数，满

32、足%1+后2+瓦=1.证明x=k rji+k2T j2+ks7 js也是它的解.证明 因为71，72,，久都是方程组A x=b的解，所以A rji=b(z=l,2,s),从而 A(k，i小+卜2 3+ksf js)=kiA 小+女2 人电+一 +ksA t s=(k i+4 2+,+kjb=b.因此X=kX 什 女22+匕么也是方程的解.3 5 .设非齐次线性方程组A x4的系数矩阵的秩为r,71，也，办.用是它的八-什1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为*=左 1+左2 0+匕W+1 机-r+l,(其中 k+k2+kn-r+=l).证明 因为 1,2,5-r+l均 为A x=b的解，所以

33、看=2-1,原=仍 一 I,，,-r=T Jn-r+l-rj 均为 X=b 的解.用 反 证 法 证:品 ,当.,线性无关.设它们线性相关，则存在不全为零的数办，爸使得办备+也$+.n-r 蒜 一 尸0,即 丸1(2 1)+22(3 1)+,+4”-r(小-r+I-1)=0,亦即 一(为+丸2+4 1)1+为 2+4 2仍+一+X -r%-r+l=。，由 1,办 ，”-+1线性无关知一(4+%+,+47T)=办=丸2=,=%_ 厂=0,矛盾.因此备，金,薪,线性无关.算 殳 ,配1 为A x=b的一个基础解系.设x为Ax多的任意解，贝-1为Ax=0的解，故x-1可由。，2 ,或.,线性表出，设

34、%-=女2看+女3$+.+E-r+&-r=%2(2 1)+左 3(仍 一 1)+一+&-r+l(-r+l 1),X=n、(l-k厂 卜 3 一一 心-r+l)+心小+左3 仍+n-r+1 n-r+X-令鬲=1-攵2-43 ,n-r+l,则4 1 +左2+%3 -%-r+1 =1,于是X=Z 1+左 2小+一+kn-r+i IJn-r+X-3 6.设V|=X=(X 1,X 2,招尸1 X 1,x e R 满足 Xi+x2+%”=(),V2=x=(xl,必，,xn)T xi,x e R 满足 X+x2+%”=1,问 ,L是不是向量空间？为什么？解Mi是向量空间，因为任取a=(ab a2,an)Te

35、 Vi,p=(b,b2,也)%,2e e R,有 。+。2+,+。”=0,/71+岳+,+z?=o,从而 伍1+/?)+(。2+岳)+一+3+乩)=（Q +2+）+（61+2+,+匕 ）=0,A d +A d 2 +2=4（。+。2+一+。）=,所以 a+/3=（a +b,做+岳,。+乩）7 匕，A（x=（A a ,助2,而J，G V pV 2不是向量空间，因为任取0=3 1,3 ,a”）/e 匕,分Si,瓯 ，乩）/e V i,有 。+2+*+。=1,匕 1+岳+,+。=1,从而（。1+仇）+（2+。2）+,+（。+。）=（+2+*,+）+（8+82+,*+8）=2,所以 a+j3=（a +

36、b,色+砥、。+乩）”匕.3 7.试 证:由。1=（0,1,1尸,“2=（1,0,1）1 4 3=（1,1,0-所生成的向量空间就是R3证明 设4=3 1,。2,。3）,由0 1 1IAI=1 0 1=一2-0,1 1 0知R（A）=3,故。,。2,的线性无关，所 以 是 三 维 空 间R 3的一组基,因此由4 3所生成的向量空间就是R33 8.由。尸（1,1,0,0尸,生=（1,0,1,1尸所生成的向量空间记作片,由历=（2,-1,3,3 1,岳=（0,1,-1,-I），所生成的向量空间记作V2,试 证V.=V2.证明 设A=3 ,“2）,6=（阮岳）.显 然R（A）=R（8）=2,又由11

37、11CIIJc(l)2-1332-3OO11-(4 6)=O知火(A,8)=2,所以及A)=R(B)=R(A,B),从而向量组即做与向量组仇，岳等价.因为向量组m，心与向量组从，岳等价，所以这两个向量组所生成的向量空间相同，即=V 2.O1二oO1OOO3 9.验证!=(1,-1,0)1 -=(2,1,3尸,f l3=(3,1,2尸为 R3 的一个基，并把v,=(5,0,7)”2=(-9,-8,-1 3)/用这个基线性表示.解 设 4=(4 ,4 2,4 3).由1 2 3-1 1 1 =-6 w 0,0 3 2知R(A)=3,故4 ,。2,的线性无关，所以 I,a 2,的 为R 3的一个基.

38、设%1。1+%2。2+看。3=羽1,贝U再+2%+3%3=5 一%+%2 +%3 =0，3X2+2X3=7解之得 X 1=2,%2=3,%3=-1,故线性表示为 Vi=2 ai+3a2-a3.设修。1+%2。2+%3。3=了2,贝I玉+2X9+3七=9-玉+%+=-8,3%2 +2 1 3=1 3解之得产3,%2=-3,闷=-2,故线性表示为叱=3。1-3。2-勿3.40.已知R 3的两个基为1=(1,1,If,4 2=(1,O,-1)7-,3=(1,0,1)；1=(1,2,1)T,b2=(2,3,4)7,仇=(3,4,3)7.求由基即做,的到基仇,仇,仇的过渡矩阵P.解 设3 4 2,%是三维单位坐标向量组，则 1 P(%,。2，%)=(4，02，03)I。，.U T V 1 1 1Y1(4,e,/)=(%,生,生)1 0。，-A i-11J于是（4也也）=3/2,03）343234H 1 1 Y7 1 2 3、=（%,电，生）1 0 02 3 4,1 1 -11 JU 4 3)由基外,电 的到基玩b2,仇的过渡矩阵为f l 1 1 Y7 1 2 3、P=1 0 0U T 1 J2 3 4 =(14 3)2 3 4、0-10.1 01