线性代数课后习题答案.pdf

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1、.线性代数课后题详解线性代数课后题详解第一章第一章行列式行列式1.1.利用对角线法则计算下列三阶行列式利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油相信自己加油a ab bc c2 2（1 1）0 01 11 1 4 4 1 1；（2 2）b bc ca a 1 18 83 3c ca ab b1 11 1b bb b2 21 1c cc c2 22 21 1；（4 4）x xy yx x y y0 01 1y yx x y yx xx x y yx xy y.（3 3）a aa a2 2解解注意看过程解答注意看过程解答（1 1）4 4 1 1 2 2(4 4)3 3 0 0(1 1)(1 1

2、)1 1 1 1 8 8 1 18 83 3 0 0 1 1 3 3 2 2(1 1)8 8 1 1(4 4)(1 1)=2424 8 8 1616 4 4=4 4a ab bc c（2 2）b bc cc ca a acbacb bacbac cbacba bbbbbb aaaaaa cccccc 3 3abcabc a a3 3 b b3 3 c c3 3a ab b（3 3）1 1a aa a2 21 1b bb b2 21 1c c bcbc2 2 caca2 2 abab2 2 acac2 2 baba2 2 cbcb2 2c c2 2 (a a b b)()(b b c c)()(

3、c c a a)x x（4 4）y yx x y yx xx x y yx xy yy yx x y y x x(x x y y)y y yxyx(x x y y)(x x y y)yxyx y y3 3(x x y y)3 3 x x3 3 3 3xyxy(x x y y)y y3 3 3 3x x2 2y y 3 3y y2 2x x x x3 3 y y3 3 x x3 3 2 2(x x3 3 y y3 3)专业 word 可编辑.2.2.按自然数从小到大为标准次序按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数求下列各排列的逆序数：（1 1）1 12 23 34 4；（2 2）4 4

4、1 13 32 2；（3 3）3 34 42 21 1；（4 4）2 24 41 13 3；（5 5）1 13 3耐心成就大业耐心成就大业(2 2n n 1 1)2 24 4(2 2n n)；（6 6）1 13 3(2 2n n 1 1)(2 2n n)(2 2n n 2 2)2.2.解解（1 1）逆序数为逆序数为 0 0（2 2）逆序数为逆序数为 4 4：4 41 1，4 43 3，4 42 2，3 32 2（3 3）逆序数为逆序数为 5 5：3 32 2，3 31 1，4 42 2，4 41,2 11,2 1（4 4）逆序数为逆序数为 3 3：2 21 1，4 41 1，4 43 3n n

5、(n n 1 1)（5 5）逆序数为逆序数为：2 23 32 21 1 个个5 52 2，5 54 42 2 个个7 72 2，7 74 4，7 76 63 3 个个(2 2n n 1 1)2 2，(2 2n n 1 1)4 4，(2 2n n 1 1)6 6，(2 2n n 1 1)(2 2n n 2 2)(n n 1 1)个个（6 6）逆序数为逆序数为n n(n n 1 1)3 32 21 1 个个5 52 2，5 54 42 2 个个(2 2n n 1 1)2 2，(2 2n n 1 1)4 4，(2 2n n 1 1)6 6，(2 2n n 1 1)(2 2n n 2 2)(n n 1

6、 1)个个4 42 21 1 个个6 62 2，6 64 42 2 个个(2 2n n)2 2，(2 2n n)4 4，(2 2n n)6 6，(2 2n n)(2 2n n 2 2)(n n 1 1)个个3.3.写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子a a1111a a2323的项的项.解解由定义知由定义知，四阶行列式的一般项为四阶行列式的一般项为(1 1)t ta a1 1p p1 1a a2 2 p p2 2a a3 3 p p3 3a a4 4 p p4 4，其中其中t t为为p p1 1p p2 2p p3 3p p4 4的逆序数的逆序数由于由于p p1 1 1 1,p p

7、2 2 3 3已固定已固定，p p1 1p p2 2p p3 3p p4 4只能形如只能形如1313，即即 13241324 或或 1342.1342.对应的对应的t t分别为分别为0 0 0 0 1 1 0 0 1 1或或0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 a a1111a a2323a a3232a a4444和和a a1111a a2323a a3434a a4242为所求为所求.4.4.计算下列各行列式计算下列各行列式：4 4 1 1（1 1）1010 0 01 12 25 51 1多练习方能成大财多练习方能成大财2 24 4 2 21 1 3 3 1 10 02 2 ；（2 2）

8、1 12 22 20 0 1 17 7 5 50 04 42 23 36 61 1 1 1 ；2 2 2 2 专业 word 可编辑.ababacac cdcd（3 3）bdbd cf cf bfbf解解1 10 0 a aaeae 1 1b b1 1 dede；（4 4）0 0 1 1c c ef ef 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 d d 4 41 1(1)(1)10100 04 4=1 110104 4=1 12 22 20 05 52 21 11 1 1 12 23 3 1 12 23 34 44 4 1 12 2c c2 2 c c3 31 12 20 0c c4 4

9、 7 7c c3 310103 37 70 00 0 10102 2(1 1)4 4 3 3 14141010 2 21414c c2 2 c c3 3c c1 1 c c3 31 12 22 2 10100 02 22 2 14141 10 09 90 09 90 01010 2 2=0=014141 11010171717172 21 13 3 1 1(2)(2)1 12 25 50 02 2r r4 4 r r2 23 31 12 24 42 23 36 61 11 1c c4 42 22 21 14 4 1 12 22 23 31 14 4aeaedede ef ef2 21 1 c

10、c2 23 3 1 11 12 25 50 00 02 22 2r r4 4 r r1 13 30 01 10 00 0 b bc c c cc c4 42 23 36 60 02 20 02 21 1 1 12 20 0e ee e e e4 42 23 30 00 02 20 00 0=0=0 abab(3)(3)acac cdcdcf cfbdbdbfbf=adfadf b bb b 1 1=adfbceadfbce1 1 1 11 11 11 1 1 1=4 4abcdefabcdef1 11 1a a1 10 0 1 1b b1 1(4)(4)0 0 1 1c c0 00 0 1 1

11、0 00 01 1 ababa a0 0r r1 1 arar2 2 1 1b b1 11 10 0 1 1c cd d0 00 0 1 10 00 01 1d d专业 word 可编辑.1 1 abab=a ac c0 01 1(1 1)()(1 1)2 2 1 1 1 10 0c c3 3 dcdc2 21 1 abab 1 10 0a ac c 1 1adad1 1 cdcd0 0 1 1d d=5.5.证明证明:(1 1)()(1 1)3 3 2 21 1 ababadad=abcdabcd abab cdcd adad 1 1 1 11 1 cdcda a2 2ababb b2 2(

12、1)(1)2 2a aa a b b2 2b b=(a a b b)3 3;1 1(2)(2)1 11 1ayay bzbzazaz bxbxazaz bxbxx xy yz zx xz zx xy y;axax bybyayay bzbzazaz bxbxaxax byby=(a a3 3 b b3 3)y yz zaxax bybyayay bzbza a2 2(3)(3)(a a 1 1)2 2(b b 1 1)2 2(c c 1 1)(d d 1 1)2 22 2(a a 2 2)2 2(b b 2 2)2 2(c c 2 2)(d d 2 2)2 22 2(a a 3 3)2 2(b

13、 b 3 3)2 2(c c 3 3)(d d 3 3)2 22 2b b2 2c cd d2 22 2 0 0;1 11 11 11 1a ab bc cd d(4)(4)2 22 22 22 2a ab bc cd da a4 4b b4 4c c4 4d d4 4 (a a b b)()(a a c c)()(a a d d)()(b b c c)()(b b d d)(c c d d)()(a a b b c c d d);x x 1 10 00 00 00 0 x x(5)(5)0 00 0a an na an n 1 1证明证明 1 10 0a an n 2 20 00 0 x x

14、n n a a1 1x xn n 1 1 a an n 1 1x x a an n.x x 1 1a a2 2x x a a1 1(1)(1)左边左边 c c2 2 c c1 1c c3 3 c c1 13 3 1 1a a2 22 2a a1 1abab a a2 2b b a a0 0b b2 2 a a2 22 2b b 2 2a a0 0abab a a2 2b b2 2 a a2 2 (1 1)b b a a2 2b b 2 2a aa ab b a a (a a b b)3 3 右边右边 (b b a a)()(b b a a)1 12 2专业 word 可编辑.(2)(2)左边左

15、边按第一列按第一列分开分开x xz zayay bzbzazaz bxbxy yayay bzbzazaz bxbxa a y yazaz bxbxayay bzbzaxax byby b b z zazaz bxbxaxax bybyx xaxax bybyayay bzbzaxax bybyayay bzbzz zy yz zy yazaz bxbx分别再分分别再分2 2a ay yazaz bxbxz zaxax bybyx xx x 0 0 0 0 b b z zx xy yx xaxax bybyayay bzbz分别再分分别再分x xy yz zy yz zx xa a3 3y y

16、z zx x b b3 3z zx xy yz zx xy yx xy yz zx xy yz zx xy yz z a a3 3y yz zx x b b3 3y yz zx x(1 1)2 2 右边右边z zx xy yz zx xy ya a2 2a a2 2 (2 2a a 1 1)(a a 2 2)2 2(a a 3 3)2 2(3)(3)左边左边 b b2 2b b2 2 (2 2b b 1 1)(b b 2 2)2 2(b b 3 3)2 2c c2 2c c2 2 (2 2c c 1 1)(c c 2 2)2 2(c c 3 3)2 2d d2 2d d2 2 (2 2d d

17、1 1)(d d 2 2)2 2(d d 3 3)2 2a a2 22 2a a 1 14 4a a 4 46 6a a 9 9c c2 2 c c1 1b b2 22 2b b 1 14 4b b 4 46 6b b 9 9c c3 3 c c1 1c c2 22 2c c 1 14 4c c 4 46 6c c 9 9c c4 4 c c1 1d d2 22 2d d 1 14 4d d 4 46 6d d 9 9a a2 2a a4 4a a 4 46 6a a 9 9a a2 21 14 4a a 4 4按第二列按第二列b b2 2b b4 4b b 4 46 6b b 9 9分成二项

18、分成二项2 2c c2 2c c4 4c c 4 46 6c c 9 9 b b2 21 14 4b b 4 4c c2 21 14 4c c 4 4d d2 2d d4 4d d 4 46 6d d 9 9d d2 21 14 4d d 4 4第一项第一项c c3 3 4 4c c2 2a a2 2a a4 49 9a a2 21 14 4a a6 6a ac c2 24 4 6 6c c2 2b bb b4 49 9b b2 21 14 4b b6 6b b2 2第二项第二项c c3 3 4 4c c2 2c cc c4 49 9 c c2 21 14 4c c6 6c c 0 0c c4

19、 4 9 9c c2 2d d2 2d d4 49 9d d2 21 14 4d d6 6d d1 10 00 00 0(4)(4)左边左边 a ab b a ac c a ad d a aa a2 2b b2 2 a a2 2c c2 2 a a2 2d d2 2 a a2 2a a4 4b b4 4 a a4 4c c4 4 a a4 4d d4 4 a a4 4专业 word 可编辑.6 6a a 9 96 6b b 9 96 6c c 9 96 6d d 9 9.b b a a=c c a ac c2 2 a a2 21 1d d a ad d2 2 a a2 21 1c c a ab

20、 b2 2 a a2 2b b2 2(b b2 2 a a2 2)c c2 2(c c2 2 a a2 2)d d2 2(d d2 2 a a2 2)1 1d d a a=(b b a a)()(c c a a)()(d d a a)b b a ab b2 2(b b a a)c c2 2(c c a a)d d2 2(d d a a)=(b b a a)()(c c a a)()(d d a a)1 10 00 0b b a ac c b bd d b bb b2 2(b b a a)c c2 2(c c a a)b b2 2(b b a a)d d2 2(d d a a)b b2 2(b

21、b a a)=(b b a a)()(c c a a)()(d d a a)()(c c b b)()(d d b b)1 11 1(c c bcbc b b)a a(c c b b)(d d bdbd b b)a a(d d b b)=(a a b b)()(a a c c)()(a a d d)()(b b c c)()(b b d d)(c c d d)()(a a b b c c d d)(5)(5)用数学归纳法证明用数学归纳法证明2 22 22 22 2x x 1 1当当n n 2 2时时,D D2 2 x x2 2 a a1 1x x a a2 2,命题成立命题成立.a a2 2x

22、 x a a1 1假设对于假设对于(n n 1 1)阶行列式命题成立阶行列式命题成立，即即n n 1 1D Dn n 1 1 x x a a1 1x xn n 2 2 a an n 2 2x x a an n 1 1,则则D Dn n按第按第1 1列展开列展开:1 10 00 00 0 1 10 00 0n n 1 1x xD Dn n xDxDn n 1 1 a an n(1 1)xDxDn n 1 1 a an n 右边右边 1 11 1x x 1 1所以所以，对于对于n n阶行列式命题成立阶行列式命题成立.6.6.设设n n阶行列式阶行列式D D det(det(a aij ij),把把

23、D D上下翻转上下翻转、或逆时针旋转或逆时针旋转9090、或依或依a an n1 1a annnna a1 1n na annnn，副对角线翻转副对角线翻转，依次得依次得a annnn，D D3 3a a1 1n n，D D1 1 D D2 2 a a1111a a1 1n n证明证明D D1 1证明证明a a1111a an n1 1n n(n n 1 1)2 2a an n1 1a a1111 D D2 2 (1 1)D D det(det(a aij ij)D D,D D3 3 D D.专业 word 可编辑.a an n1 1D D1 1 a a1111a a1111a a1 1n n

24、a annnna aa annnnn n 1 1n n1 1 (1 1)a a1 1n na a2121a a2 2n na a1111a a1 1n na a2121a a2 2n na annnn (1 1)n n 1 1(1 1)n n 2 2a an n1 1a a3131a a3 3n na a1111a a1 1n n (1 1)n n 1 1(1 1)n n 2 2(1 1)a an n1 1a annnn (1 1)同理可证同理可证D D2 21 1 2 2 (n n 2 2)(n n 1 1)(1 1)n n(n n 1 1)2 2a a1111a a1 1n nD D (1

25、 1)a an n1 1n n(n n 1 1)2 2D Dn n(n n 1 1)2 2 (1 1)a annnnn n(n n 1 1)2 2D DT T (1 1)n n(n n 1 1)2 2D DD D3 3 (1 1)D D2 2 (1 1)(1 1)7.7.计算下列各行列式计算下列各行列式（D Dk k为为k k阶行列式阶行列式）：）：n n(n n 1 1)2 2n n(n n 1 1)2 2D D (1 1)n n(n n 1 1)D D D Da a(1)(1)D Dn n1 1,其中对角线上元素都是其中对角线上元素都是 1 1a a，未写出的元素都是未写出的元素都是 0

26、0；a ax x(2)(2)D Dn na ax xa aa aa ax x;a aa a a an n(3)(3)(a a 1 1)n n(a a 1 1)n n 1 1a a 1 11 1(a a n n)n n;D Dn n 1 1a an n 1 1 a a1 1(a a n n)n n 1 1a a n n1 1提示提示：利用范德蒙德行列式的结果利用范德蒙德行列式的结果专业 word 可编辑.a an n(4)(4)b bn n0 0a a1 1c c1 10 0b b1 1d d1 1d dn n;0 0;D D2 2n n 0 0c cn n(5)(5)D Dn n det(de

27、t(a aij ij),),其中其中a aij ij i i j j1 1 a a1 11 11 11 1 a a2 2(6)(6)D Dn n 1 11 1解解1 11 1,其中其中a a1 1a a2 2a an n 0 0.1 1 a an na a0 0(1)(1)0 0a a0 00 00 00 00 0a a0 00 00 00 00 00 00 0a a0 00 00 00 00 0a a0 00 00 0a a0 01 10 00 00 01 10 00 0按最后一行展开按最后一行展开0 0a aD Dn n 0 00 01 10 0 a a(1 1)n n 1 10 00 0

28、a a (1 1)2 2n n a aa a(n n 1 1)()(n n 1 1)(n n 1 1)(n n 1 1)(再按第一行展开再按第一行展开)a a (1 1)n n 1 1(1 1)n na a(n n 2 2)()(n n 2 2)(2)(2)将第一行乘将第一行乘(1 1)分别加到其余各行分别加到其余各行，得得 a an n a an n a an n 2 2 a an n 2 2(a a2 2 1 1)专业 word 可编辑.x xa a x xD Dn n a a x xa a x xa ax x a a0 00 0a a0 0 x x a a0 0a a0 00 00 0

29、x x a a再将各列都加到第一列上再将各列都加到第一列上，得得x x (n n 1 1)a a0 0D Dn n 0 00 0a ax x a a0 00 0n n 1 1a a0 0 x x a a0 0a a0 00 00 0 x x a a x x (n n 1 1)a a(x x a a)(3)(3)从第从第n n 1 1行开始行开始，第第n n 1 1行经过行经过行经行经(n nn n次相邻对换次相邻对换，换到第换到第 1 1 行行，第第n nn n(n n 1 1)次行次行2 2 1 1)次对换换到第次对换换到第 2 2 行行，经经n n (n n 1 1)1 1 交换交换，得得

30、1 1D Dn n 1 1 (1 1)n n(n n 1 1)2 21 1a a 1 11 1a aa an n 1 1a an na a n n(a a 1 1)n n 1 1(a a n n)n n 1 1(a a 1 1)n n(a a n n)n n此行列式为范德蒙德行列式此行列式为范德蒙德行列式n n(n n 1 1)2 2D Dn n 1 1 (1 1)(1 1)n n(n n 1 1)2 2n n 1 1 i i j j 1 1(a a i i 1 1)(a a j j 1 1)n n(n n 1 1)2 2n n 1 1 i i j j 1 1 (i i j j)(1 1)(1

31、 1)n n(n n 1 1)1 12 2 n n 1 1 i i j j 1 1(i i j j)n n 1 1 i i j j 1 1(i i j j)专业 word 可编辑.a an n(4)(4)0 0a a1 1c c1 10 00 0a a1 1c c1 10 0a an n 1 10 0b bn nb b1 1d d1 1d dn nb bn n 1 1b b1 1d d1 1d dn n 1 10 0a a1 1b b1 1c c1 1d d1 10 00 0d dn n 1 10 0D D2 2n n 0 0c cn na an n 1 10 0按第一行按第一行0 0a an

32、 n展开展开c cn n 1 10 00 00 00 00 0d dn nb bn n 1 1 (1 1)2 2n n 1 1b bn nc cn n 1 1c cn n都按最后一行展开都按最后一行展开a an nd dn nD D2 2n n 2 2 b bn nc cn nD D2 2n n 2 2由此得递推公式由此得递推公式：D D2 2n n (a an nd dn n b bn nc cn n)D D2 2n n 2 2D D2 2n n(a ai id di i b bi ic ci i)D D2 2i i 2 2n n即即a a1 1而而D D2 2 c c1 1n nb b1

33、1 a a1 1d d1 1 b b1 1c c1 1d d1 1得得(5)(5)a aij ijD D2 2n n(a ai id di i b bi ic ci i)i i 1 1 i i j j专业 word 可编辑.0 01 1D Dn n det(det(a aij ij)2 23 3 1 1 1 1r r1 1 r r2 21 10 01 12 21 11 1 1 1 1 12 21 10 01 11 11 11 1 1 13 32 21 10 0n n 1 1n n 2 2n n 3 3n n 4 41 11 11 1c c2 2 c c1 1,c c3 3 c c1 1c c4

34、 4 c c1 1,1 10 00 0n n 1 1n n 2 2n n 3 3n n 4 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1r r2 2 r r3 3,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n n 1 1n n 2 2n n 3 3n n 4 40 00 00 00 0 2 2 2 2 2 20 0 2 2 2 20 00 0 2 20 00 00 0=(1 1)n n 1 1(n n 1 1)2 2n n 2 2n n 1 12 2n n 3 32 2n n 4 41 1 a a1 11 11 11 1 a a2 2(6)(6)D Dn n 1 11 1a a1 10 00 0 a

35、a2 2a a2 20 00 0 a a3 3a a3 30 00 0 a a4 40 00 00 00 00 00 02 2n n 5 5n n 1 11 11 1c c1 1 c c2 2,c c2 2 c c3 3c c3 3 c c4 4,1 1 a an n0 00 01 10 00 01 10 00 01 1按最后一列按最后一列0 00 01 1展开（由下往上）展开（由下往上）a an n 1 1a an n 1 11 10 0 a an n1 1 a an n专业 word 可编辑.a a1 1 a a2 20 0(1 1 a an n)()(a a1 1a a2 2a an n

36、 1 1)0 00 00 00 0a a2 2 a a3 30 00 00 00 00 0a a3 3 a a4 40 00 00 00 00 00 0 a an n 2 20 00 00 00 00 0a an n 2 20 00 00 00 00 00 0 a an na a1 1 a a2 20 0 0 00 0 a a2 20 00 0a a2 2 a a3 30 00 0a a2 2 a a3 30 00 0a a3 30 00 00 0a a3 30 00 00 00 00 0 a an n 1 1 a an n0 00 00 0 a an n 1 10 00 00 00 00 0

37、 a a4 40 00 00 00 00 0 a an n 1 1a an n 1 10 00 00 00 0 a an n (1 1 a an n)()(a a1 1a a2 2a an n 1 1)a a1 1a a2 2a an n 3 3a an n 2 2a an n a a2 2a a3 3a an nn n1 1 (a a1 1a a2 2a an n)()(1 1 )i i 1 1a ai i8.8.用克莱姆法则解下列方程组用克莱姆法则解下列方程组：x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 5 5,x x1 1 2 2x x2 2 x x3 3 4 4x x4 4

38、 2 2,(1 1)2 2x x1 1 3 3x x2 2 x x3 3 5 5x x4 4 2 2,3 3x x1 1 x x2 2 2 2x x3 3 1111x x4 4 0 0;1 1,5 5x x1 1 6 6x x2 2 0 0,x x1 1 5 5x x2 2 6 6x x3 3(2 2)x x2 2 5 5x x3 3 6 6x x4 4 0 0,x x3 3 5 5x x4 4 6 6x x5 5 0 0,x x4 4 5 5x x5 5 1 1.专业 word 可编辑.1 1解解(1)(1)D D1 12 21 11 1 1 12 21 14 41111 1 10 01 1

39、1 11 1 2 21 13 38 8 1 13 32 2 3 3 1 1 5 50 0 5 5 3 3 7 70 0 2 2 1 11 10 0 0 00 01 11 11 11 11 11 11 11 1 2 23 30 01 1 2 23 3 1421420 0 13138 80 00 0 1 1 54540 0 5 514140 00 00 01421425 51 11 11 15 51 11 11 10 05 50 09 9 2 22 2 1 14 4 D D1 1 2 2 3 3 1 1 5 5 2 2 3 3 1 1 5 50 01 12 211110 01 12 211111

40、1 0 00 00 00 00 0 5 55 51 11 10 00 0 1 10 02 2 1 12 22323 9 99 91111 9 91111120120 1 10 00 0 5 51 15 5 1 12 20 0 9 911119 90 0 1313 3 3 23231 1 5 50 0 1313 3 3 23231 1 5 5 1 1 9 90 00 00 01 10 00 02 2 1 10 011113838142142 1010 4646 1421421 1D D2 2 5 51 11 14 41111 1 10 05 5 7 71 1 2 21 13 38 81 1 2

41、2 1 13 30 02 22 2 2 2 1 1 5 50 0 1212 3 3 7 70 0 1515 1 11 15 51 11 11 15 51 11 10 0 1 13 32 20 0 1 13 32 2 2842840 00 0232311110 00 0 1 1 19190 00 0393931310 00 00 0 2842841 11 15 51 11 12 2 2 24 4D D3 3 4264262 2 3 3 2 2 5 53 31 10 01111专业 word 可编辑.1 11 11 15 51 12 2 1 1 2 2D D4 4 1421422 2 3 3 1

42、1 2 23 31 12 20 0D D1 1x x1 1 1 1,D D6 65 51 10 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65 51 1D D2 2x x2 2 2 2,D DD D3 3x x3 3 3 3,D D5 51 10 00 06 65 51 10 00 06 65 51 1D D4 4x x4 4 1 1D D5 51 1(2)(2)D D 0 00 00 00 00 0按最后一行按最后一行5 5D D 0 0展开展开6 65 50 00 0 5 5D D 6 6D D 0 06 6 5 5(5 5D D 6 6D D )6 6D D 1919D D

43、3030D D 6565D D 114114D D 6565 1919 114114 5 5 665665(的余子式的余子式D D 为行列式为行列式D D中中a a1111的余子式的余子式,D D 为为D D 中中a a1111,D D ,D D 类推类推)6 65 51 10 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65 51 10 00 0按第一列按第一列D D 0 0展开展开6 65 56 65 51 10 00 06 65 51 10 00 06 65 50 00 00 06 61 10 0D D1 1 0 00 01 1 D D 6 64 4 1919D D 3 30

44、0 6 64 4 150715075 51 1D D2 2 0 00 00 01 10 00 00 01 10 06 65 51 10 00 00 06 65 51 10 01 16 60 0按第二列按第二列0 05 5 0 00 01 1展开展开6 60 00 05 50 06 65 51 10 05 50 00 01 16 6 6 60 05 55 50 01 10 00 06 65 50 00 00 06 65 56 60 0 1 15 56 6 5 5 6 63 3 6565 10801080 114511450 01 15 5专业 word 可编辑.5 51 1D D3 3 0 00

45、 00 06 65 51 10 00 01 10 00 00 01 10 00 06 65 51 10 01 15 50 0按第三列按第三列0 01 10 00 00 0展开展开6 60 00 05 55 56 60 00 06 65 51 10 05 56 60 01 15 5 6 60 01 15 50 00 00 00 06 65 50 00 00 06 61 16 60 0 0 05 56 6 6 61 15 50 0 1919 6 6 114114 7037030 01 15 50 01 16 65 51 1D D4 4 0 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65

46、 51 10 01 10 00 00 01 10 01 15 50 0按第四列按第四列0 01 1 0 0展开展开0 00 06 60 00 05 56 65 51 10 00 05 56 60 01 15 5 6 60 01 15 50 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65 56 60 0 5 5 6 61 15 56 6 3953950 01 15 55 51 1D D5 5 0 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65 51 10 00 00 06 65 51 11 11 15 50 0按最后一列按最后一列0 01 10 0展开展开0 00 00

47、00 00 01 1x x2 2 11451145;665665x x3 3 6 65 51 10 00 06 6 D D 1 1 211211 2122125 51 1x x4 4 395395;665665x x4 4 212212665665x x1 1 15071507;665665703703;665665 x x1 1 x x2 2 x x3 3 0 0 9.9.问问,取何值时取何值时,齐次线性方程组齐次线性方程组 x x1 1 x x2 2 x x3 3 0 0有非零解有非零解？x x 2 2 x x x x 0 02 23 3 1 1 解解1 11 1D D3 3 1 1 1

48、1 ，1 12 2 1 1D D3 3 0 0齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解，则则即即得得 0 0 0 0或或 1 1专业 word 可编辑.不难验证不难验证，当当 0 0或或 1 1时时,该齐次线性方程组确有非零解该齐次线性方程组确有非零解.(1 1 )x x1 1 2 2x x2 2 4 4x x3 3 0 0 10.10.问问 取何值时取何值时,齐次线性方程组齐次线性方程组 2 2x x1 1 (3 3 )x x2 2 x x3 3 0 0 x x x x (1 1 )x x 0 02 23 3 1 1有非零解有非零解？解解1 1 D D 2 21 1 2 23 3 1 1

49、4 41 11 1 1 1 2 21 1 3 3 1 1 0 04 41 11 1 (1 1 )3 3 (3 3)4 4(1 1 )2 2(1 1 )()(3 3 )(1 1 )3 3 2 2(1 1 )2 2 3 3齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解，则则D D得得不难验证不难验证，当当 0 0 0 0,2 2或或 3 3 0 0,2 2或或 3 3时时，该齐次线性方程组确有非零解该齐次线性方程组确有非零解.第二章第二章矩阵及其运算矩阵及其运算1 1已知线性变换已知线性变换：x x1 1 2 2y y1 1 2 2y y2 2 y y3 3,x x2 2 3 3y y1 1 y y

50、2 2 5 5y y3 3,x x 3 3y y 2 2y y 3 3y y,1 12 23 3 3 3求从变量求从变量x x1 1,x x2 2,x x3 3到变量到变量y y1 1,y y2 2,y y3 3的线性变换的线性变换解解 x x1 1 2 22 21 1 y y1 1 由已知由已知：x x2 2 3 31 15 5 y y2 2 x x 3 32 23 3 y y 2 2 3 3 1 1 y y1 1 2 22 21 1 x x1 1 7 7 4 49 9 y y1 1 3 3 7 7 y y2 2 故故 y y2 2 3 31 15 5 x x2 2 6 6 y y y y