线性代数课后习题答案5.pdf

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1、第 五 章 相 似 矩 阵 及 二 次 型 1.试 用 施 密 特 法 把 下 列 向 量 组 正 交 化:(1 n(l)(a1,a2,a3)=12 4;13 9；解 根 据 施 密 特 正 交 化 方 法,b=ar-n0,I Vb=a-肉 井 2-2 瓦/-3 n瓦。3 办 佐 玛 卜 3-3 b M b M2(n=-23 U,(2)(%,4,4)=(i i-n0-1 1-1 0 1U I Oj解 根 据 施 密 特 正 交 化 方 法,、J1321/I1-=3Uy 25一 也1334z/ml11-52-办 TJ32 方 22仇 1J31,*2.下 列 矩 阵 是 不 是 正 交 阵:1-2

2、71-31-2解 此 矩 阵 的 第 一 个 行 向 量 非 单 位 向 量，故 不 是 正 交 阵.4-94-97-9-8-91-94-91-98-94-9-_2)解 该 方 阵 每 一 个 行 向 量 均 是 单 位 向 量，且 两 两 正 交，故 为 正 交 阵.3.设 x 为 维 列 向 量,x x=l,令 H=E-2xf,证 明”是 对 称 的 正 交 阵.证 明 因 为 HT=(E-2XXT)T=E-2(XXT)T=E-2(XXT)T=E-2(xTyxT=E-2xxT,所 以 是 对 称 矩 阵.因 为 HrH=HH=(E-2xxTXE-2xxT)=E-2xx-2xx+(2xx7)

3、(2xx)=E-4xxr+4x(x7x)xr=E-4XXT+4XXT=E,所 以 H 是 正 交 矩 阵.4.设 A 与 B 都 是 阶 正 交 阵，证 明 A B 也 是 正 交 阵 证 明 因 为 4 8 是 n 阶 正 交 阵，故 k=欧 B-x=Br,AB)rAB)=BTArAB=B-xA-xAB=E,故 A 3 也 是 正 交 阵.5.求 下 列 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量:f 2-1 2)(1)5-3 3;l-l 0-2J2A 1 2解|A阳=5-3-2 3=(4+1)3,1 0 2A故 A 的 特 征 值 为 心-1(三 重).对 于 特 征 值 1,由(3A+E

4、=51-202、3-Vfl010n1,oj010得 方 程(A+)x=0的 基 础 解 系 Pi=(l,1,-if,向 量 Pi就 是 对 应 于 特 征 值 4=-1的 特 征 值 向 量.2336-A2-3-A21A3336213123z/mvx2)解|A R|=故 A 的 特 征 值 为 4=0,人 2=-1,4=9.对 于 特 征 值 为=0,由 flA=2133 0 16 J(0 03、1oj2133、fl 2得 方 程 Ax=0的 基 础 解 系”=(-1,-1,1)1向 量”是 对 应 于 特 征 值 九 二 0 的 特 征 值 向 量.对 于 特 征 值 为=-1,由(2 23

5、1(2 2 3、A+E=2 2 3-0 0 1,、3 3 7 j(0 0 0,得 方 程(A+)x=0的 基 础 解 系=(-1,1,0)；向 量 P2就 是 对 应 于 特 征 值 4=-1的 特 征 值 向 量.对 于 特 征 值 怒=9,由 A-9E=11-20111*O1oOz/im-33328-3823得 方 程(A-9E)x=0的 基 础 解 系 p3=(l/2,1/2,1)1向 量 P3就 是 对 应 于 特 征 值 4=9的 特 征 值 向 量.00000100100noooj解 质 _花|=一 40010一 41001-A0100-A=a-i）2（A+i）2,故 A 的 特

6、征 值 为 九=几 2=-1,43=4=1.对 于 特 征 值 为=4=-1,ri00u由 0 I110 I0110nooij10000100o ni o0 00 ojA+E=得 方 程(4+E)x=0 的 基 础 解 系 Pi=(l,0,0,-1)；p2=(0,1,-1,0)7,向 量 Pi和 P2是 对 应 于 特 征 值 为=4=-1的 线 性 无 关 特 征 值 向 量.对 于 特 征 值 怒=4=1,由 11o o 11zrA-E=、,10000700O1oOloozr一 y0071toT1-oOOII得 方 程(A)x=O 的 基 础 解 系 P3=(l,0,0,l)r,p4=(0

7、,1,1,0)r,向 量 P3和 P4是 对 应 于 特 征 值 4=4=1 的 线 性 无 关 特 征 值 向 量.6.设 A 为 八 阶 矩 阵，证 明 A?与 A 的 特 征 值 相 同.证 明 因 为 网 心 几 目 二 口 花)=依 _花/=|A_花所 以 4 与 A 的 特 征 多 项 式 相 同，从 而 不 与 A 的 特 征 值 相 同.7.设 阶 矩 阵 A、6 满 足 R(A)+R(B)n,证 明 A 与 6 有 公 共 的 特 征 值，有 公 共 的 特 征 向 量.证 明 设 R(A)=r,R(B)=t,则 r+t八,故“2,，-仇，岳，bn_t必 线 性 相 关.于

8、是 有 不 全 为 0 的 数 必 k2,配，淋，小,使 左 阳 1+42色+k _,a几 _,+/也+12b2+/-/瓦-产 记 产 左 1。+左 2色+kT%_r=(hb 1+12b2T+/-力-r),贝!j k,k2,，匕 不 全 为 0,否 贝!j/i,h,，不 全 为 0,而 11 方 l+l2b2T/-r=0,与 仇 也,，“T 线 性 无 关 相 矛 盾.因 此，产 0,渥 A 的 也 是 8 的 关 于 心 0 的 特 征 向 量，所 以 A与 B 有 公 共 的 特 征 值，有 公 共 的 特 征 向 量.8.A2-3A+2E=O,证 明 A 的 特 征 值 只 能 取 1

9、或 2.证 明 设 2是 A 的 任 意 一 个 特 征 值,x 是 A 的 对 应 于 4的 特 征 向 量,则（储 一 34+2七）%=福 一 3&+2%=（才 一 32+2）x=0.因 为 x M,所 以 _ 3 2+2=0,即 2是 方 程 32+2=0的 根，也 就 是 说 心 1 或 心 2.9.设 A 为 正 交 阵，且|川 二-1,证 明 心-1 是 A 的 特 征 值.证 明 因 为 A 为 正 交 矩 阵，所 以 A 的 特 征 值 为-1 或 1.因 为 囿 等 于 所 有 特 征 值 之 积，又 囿=-1,所 以 必 有 奇 数 个 特 征 值 为-1,即 心-1 是

10、A 的 特 征 值.10.设 加 0 是 m 阶 矩 阵 AmxnBnxm的 特 征 值，证 明 4也 是 n 阶 矩 阵 氏 4 的 特 征 值.证 明 设*是 A 5的 对 应 于 加 0 的 特 征 向 量，则 有(AB)x=Ax,于 是 B(AB)x=B(Ax),或 BA(B从 而 2是 B A 的 特 征 值，且&是 B A的 对 应 于 4的 特 征 向 量.H.已 知 3 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1,2,3,求 一 5设+7川.解 令/1)=才 _5/12+7 4贝 侬 1)=3,a 2)=2,奴 3)=3是 超 4)的 特 征 值，故|A3-5A2+7A|=|-A)

11、|=-1).2 4 3)=3x2x3=l 8.12.已 知 3 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1,2,-3,求|A*+3A+2E|.解 因 为 囿=1x2x(-3)=-6 M,所 以 A 可 逆，故 A*=AA=-6A,A*+3A+2E=-6A3A+2E4/t-6 Z+3/l2+2,则 低 1)=1,4 2)=5,-3)=-5 是 妫 A)的 特 征 值，故 A+3A+2E=-6A+3A+2E=(p(A)=观 1)我 2 奴-3)=-1 义 5*(一 5)=25.13.设 A、B 都 是 阶 矩 阵，且 A 可 逆，证 明 A 3 与 氏 4 相 似.证 明 取 尸=4 则 P-ABP=

12、A-lABA=BA,即 A B 与 B A 相 似.(2 014.设 矩 阵 A=3 1%可 相 似 对 角 化，求 工.14 0 5；解 由 2-A 0 1|4一 花|=3 1-2 x=-(4-1)2(4_6),4 0 5-/1得 A 的 特 征 值 为 4=6,几 2=/13=1.因 为 A 可 相 似 对 角 化，所 以 对 于 4=23=1,齐 次 线 性 方 程 组(A-E)x=0有 两 个 线 性 无 关 的 解，因 此 R(A-)=1.由 ri o n(A-E)=3 0 x(4 0 4fl 00 0(0 01x-30、7知 当 4 3 时 R(A-E)=1,即 x=3为 所 求.

13、f 2-1 2 115.已 知 p=(l,1,-I l 是 矩 阵 A=5 a 3 的 一 个 特 征 向 1-1-2)量.(1)求 参 数 a,h 及 特 征 向 量 所 对 应 的 特 征 值;解 设 4 是 特 征 向 量 P 所 对 应 的 特 征 值，则 2-2-12 Y 1、(A 花 加=0,即 5 a-A 3 1=0解 之 得 心-1,a=-3,b=0.(2)问 A 能 不 能 相 似 对 角 化？并 说 明 理 由.解 由 2A 1 2|4一 花|=5-3-2 3-3,1 0 2A得 4 的 特 征 值 为 为=42=3=L由 A-E=1-2h512310010知 R(A-0=

14、2,所 以 齐 次 线 性 方 程 组(A-)x=0的 基 础 解 系 只 有 一 个 解 向 量.因 此 A 不 能 相 似 对 角 化.16.试 求 一 个 正 交 的 相 似 变 换 矩 阵，将 下 列 对 称 阵 化 为 对 角 阵：(2-2 0(1)-2 1-2;(0 一 2 0J解 将 所 给 矩 阵 记 为 A 由2 4 2 0A-A E=-2 1 4 2=(1 4)(4 4)(4+2),0 2 一 4得 矩 阵 A 的 特 征 值 为 为=-2,4=1,加 4.对 于 4=2,解 方 程(A+2E)x=0,即(4-2 0 丫 百)2 3 2 x2=0,(0-2 2 卜 得 特

15、征 向 量(1,2,2尸,单 位 化 得 必 吗,|,步 对 于 4=1,解 方 程(A)x=0,即(1-2 0丫 西)2 0 2%2 二。，(0 一 2 T 晨,得 特 征 向 量(2,1,-2)。单 位 化 得%=停,一 步 对 于=4,解 方 程(A 4 E)x=0,即 O一 一、,O-2-4得 特 征 向 量(2,-2,I)T,单 位 化 得 P3=(|,q,y.于 是 有 正 交 阵 尸=(Pi,P2,P3),使 AP=diag(-2,1,4).(2 2-2(2)2 5-4.1-2-4 5 J解 将 所 给 矩 阵 记 为 A.由2 4 2 2A-AE=2 5-/1-4=-e I 9

16、 10),2 4 5 A得 矩 阵 A 的 特 征 值 为 4=42=1,4=10.对 于 4=4=1,解 方 程(A E)x=0,即 244244%七 得 线 性 无 关 特 征 向 量(-2,I,。)?和(2,0,1)。将 它 们 正 交 化、单 位 化 得 M 二 表(一 2,0)7,P2=j(2,4,5)r.对 于 4=10,解 方 程(A-10比=0,即 245_254二 822、,OAOc?得 特 征 向 量(T,-2,2)。单 位 化 得 小=；(-1,-2,2)。于 是 有 正 交 阵 P=(Pi,P2,P3),使 P”AP=diag(l,1,10).(1-2-4(517.设

17、矩 阵 A=-2%-2 与 A=-41-4-2 1 J 1、相 似，求,y;并 yj求 一 个 正 交 阵 尸，使 P-%P=A.解 已 知 相 似 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值，显 然 心 5,卷：-4,心 y是 A 的 特 征 值，故 它 们 也 是 A 的 特 征 值.因 为 2=-4是 A 的 特 征 值,所 以5 2 4A+4E=-2 x+4-2=9(%4)=0,-4-2 5解 之 得 x=4.已 知 相 似 矩 阵 的 行 列 式 相 同，因 为 1 2 41 5|A|=-2-4-2=-100,|A|=-4=-20y,-4-2 1|y所 以 一 20 产 100,)=5.对

18、于 2=5,解 方 程(A-5E)x=0,得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量(1,0,-1/,(1,-2,0/.将 它 们 正 交 化、单 位 化 得 1=*(1，0，-1)7，P2=j(l,-4,1)。对 于*_4,解 方 程(A+4E)x=0,得 特 征 向 量(2,1,2)/，单 位 化 得 P3=；(2,1,.于 是 有 正 交 矩 阵 尸=,使 k=A.18.设 3 阶 方 阵 A 的 特 征 值 为 4尸 2,4=-2,加 1;对 应 的 特 征 向 量 依 次 为“=(0,1,l)7,P2=(l,1,1)1P3=(1,1,0)1 求 A解 令 P=(PT,PI,P3)

19、,贝 I p-%P=diag(2,2,1)=A,A=PAP-因 为以 所|7O 1-3 5 41 4 4_ _ _3 3 219.设 3阶 对 称 阵 A的 特 征 值 为 为=1,几 2=-1,4=0；对 应 力、小 的 特 征 向 量 依 次 为 Pi=(l,2,2匕 2=(2,1,-2)，求 人 X2解 设 4=%2%4%5，贝 I A0=2pi,A 2=-2p2,即 X3 X5 X6jX1+2X2+2X3=1 X2+2X4+2X5=2,-X3+2X5+2X6=22%)十 马 一 2%3 2 2X2+142X5=-1.-(2)2X3+X5-2X6=2再 由 特 征 值 的 性 质，有 X

20、1+工 4+工 6=几 1+42+43=0.-(2)由 解 得此 2 2 0o 1A 27 0 2zf(X1-3一 一 A20.设 3阶 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为=6,=3,小=3,与 特 征 值 办=6对 应 的 特 征 向 量 为”=(1,1,1)1求 A.%x2 七、解 设 A=%2%4%.(工 3 X、因 为 为=6对 应 的 特 征 向 量 为“=(1,1,1)1所 以 有 flA(1)fxI+x2+x3=6A 1 1,BP X2+X4+X5=6-.vJ N+%5+%6=6%=友=3是 A的 二 重 特 征 值，根 据 实 对 称 矩 阵 的 性 质 定 理 知 R(A-

21、3E)=1.利 用 可 推 出 因 为 强 4-3)=1,所 以 处=为 4-3=%5且 3=%5=%6-3,解 之 得%2=%3=工 5=1,X=X=X(=A.(41 n因 此 A=1 4 1.U 1刈 21.设 Q=(Gi,02,.:“，&),，。芹 0,A=aaT.证 明 加 0是 A的 n-重 特 征 值；证 明 设 4是 A的 任 意 一 个 特 征 值,x是 A的 对 应 于 旗 勺 特 征 向 量，则 有Ax=Ax,A2X=A 2x=aa Taa Tx=a TaAx=Aa Tax,于 是 可 得 42=加 7”，从 而 於 0 或 加 设 乐 省,4 是 A 的 所 有 特 征

22、值，因 为 4 R/的 主 对 角 线 性 上 的 元 素 为 才,叱,小,所 以 CL J+tZ22+,-h2,i=(l(l=Ai-hA.2t,+%,这 说 明 在%,4,、4 中 有 且 只 有 一 个 等 于/“，而 其 余 H-1个 全 为 0,即 4=0是 A 的 1重 特 征 值.(2)求 4 的 非 零 特 征 值 及 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量.解 设 为,。，2=一=4=0.因 为 Aa=aaa=(ad)a=Aa,所 以 pi=a是 对 应 于 4 口 G 的 特 征 向 量.对 于 4=%=(),解 方 程 Ax=0,即 aaTx=Q.因 为 awO,所 以

23、 aTx=0,即 ax+a2x2+anxn=0,其 线 性 无 关 解 为 72=(一“2,0,.:、0)1p3=(一。3,0,0)1,pn=(-an,0,0,.：-,ai)T.因 此 n 个 线 性 无 关 特 征 向 量 构 成 的 矩 阵 为-a 1 Z 0(P,2，、P”)=*4 0 4)fl 4 2、22,设=0-3 4,求 T.(0 4 3)解 由 1-A 4 2|4一 阳=0-3-/1 4=-(t-l)(/l-5)(2+5),0 4 3-A得 4 的 特 征 值 为 4=1,石=5,%3=-5.对 于 为=1,解 方 程 5-石 就=0,得 特 征 向 量”=(1,0,01对 于

24、 4=5,解 方 程(A 5)x=0,得 特 征 向 量 p2=(2,1,21.对 于 4=-5,解 方 程(A+5)x=0,得 特 征 向 量 3=(1,-2,if令 尸=(P1，P2，P3),则 P-1AP=diag(l,5,-5)=A,A=PAPT=PA1 pT.因 为 A100=diag(l,5100,5100),flPx=010f5 0 一 510 1 210-2 1J所 以)()夕 loo/I2121-5 A10)0=fl 0 5网 一 1 1=0 5100 0.(0 0 51002 3.在 某 国，每 年 有 比 例 为 的 农 村 居 民 移 居 城 镇，有 比 例 为 q 的

25、 城 镇 居 民 移 居 农 村，假 设 该 国 总 人 口 数 不 变，且 上 述 人 口 迁 移 的 规 律 也 不 变.把 n 年 后 农 村 人 口 和 城 镇 人 口 占 总 人 口 的 比 例 依 次 记 为 X.和%(x+%=1).求 关 系 式=A 中 的 矩 阵 4解 由 题 意 知 xn+=xn+qyn-px,=(-p)xn+qy,yn+=yn+pxn-qyn=pxn+(-q)yn,可 用 矩 阵 表 示 为 设 目 前 农 村 人 口 与 城 镇 人 口 相 等，即 匕:卜 倡 求|A 一 花|二 1-广 1 3=(+办得 A 的 特 征 值 为 办=1,几 2=厂，其

26、中 r=-p-q.对 于 九=1,解 方 程(A-E)x=O,得 特 征 向 量=(%).对 于 为=厂，解 方 程(A-4)x=0,得 特 征 向 量 P 2=(f I f令 p=(pi,P2)=g：),则 p-%P=diag(l,r)=A,A=PAK,An=PXnp-于 是 二 1(q-1Y1 OY 1”一 万 热 P 1 A0 rA-P cl)_ 1(q+pr q-qrn p+qp-prn p+qrnJ,(.=1 1q+prn q-qrnN 0.51-P+Jp-pr P+人 0勺=1(2q+(-q)2(p+q)(2p+(q-p)刃.24.设 A=(-2 7)求 奴 A)=”-5优 解 由

27、|4一 花|=旧 33=(，得 A 的 特 征 值 为 为=1,小=5.对 于 九=1,解 方 程(A-E)x=0,得 单 位 特 征 向 量 七(I)。对 于 4=5,解 方 程(A-5E)x=0,得 单 位 特 征 向 量 七(-LI)。于 是 有 正 交 矩 阵 尸=圭(；二)，使 得 AP=diag(l,5)=A,M W A=PP-X,Ak=P AkP-因 此 雨)=尸 久 人)尸=尸(八 1 一 5A9)尸 1=Pdiag(l,510)-5diag(l,59)?-=Pdiag(-4,0)P-1_j_ p _ iv-4 o n f i nd o 0JV2I-1 U.二 A G 5(2

28、1 2、(2)设 4=1 2 2,求 贝 4)=T 6A9+5M(2 2 1J解 求 得 正 交 矩 阵 为(-1-73 万 Z5 7=-1 A/3 V2,加 口 0 司 使 得 pT/lP=diag(l,1,5A,A=PP 于 是 奴 A)=尸 奴 A)。-七？。】。6A9+5A，p-i=PA8(A-)(A-5E)P-1=Pdiag(l,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)尸=Pdiag(12,0,0)pTf-l-V3 V2Y1262 0 V20Y-1-1 2)-A/3 V3 00大 75 V 2 V2J(1 1-2)=2 1 1-2.。2 425.用 矩 阵 记 号

29、 表 示 下 列 二 次 型：(1)f=x2+4xy+4y2+2xz+z1+yz；fl 2 1丫%)解 f=(x,y,z)2 4 2 y.U 2 认(2)j=x2+y2-7z1-2xy-4xz-yz；1-1 2丫%、解 f=(x,y,z)-1 1 一 2.1-2-2 7卜)(3)fX2+冷+与 之+工/2X%2+4X 1X3 2%1%4+6处 13 4工 2%4.解 了=(%,如 玉,14)13-226.写 出 下 列 二 次 型 的 矩 阵：(l)/(x)=，G 卜；解 二 次 型 的 矩 阵 为 A=g369258142f(x)=xT 7369258147Z/I解 二 次 型 的 矩 阵

30、为 4=UKV2 7.求 一 个 正 交 变 换 将 下 列 二 次 型 化 成 标 准 形:(1)/=2%12+3%22+333+4X 2-3；(1 0 0、解 二 次 型 的 矩 阵 为 4=0 3 2.由 10 2 3)Ao2一 3Ao-23A-oo2二(2 4)(5 4)(1_团,得 A 的 特 征 值 为 为=2,4=5,小=1.当 九 二 2 时，解 方 程(A-2E)x=0,由 fo 0 0、A-2E=0 1 2 10 2 1Jfo001 20 10 oj得 特 征 向 量(1,0,O f 取 Pl征 1,0,o f当 4=5 时，解 方 程(A 5 E)x=0,由 f-3 0

31、0 1A-5E=0-2 2(0 2-2)fl0100 011 10 0；得 特 征 向 量(0,1,1)7.取 P2=(0,七，玉)T.当 为=1 时，解 方 程(A-E)x=0,由 flA-E=0I。7111AOoO得 特 征 向 量(0,-1,1)?.取 P3=(0,1 TA2E=022022于 是 有 正 交 矩 阵 T=(P I,P2,P3)和 正 交 变 换 x=7,使片 2 y l 2+5乃 2+乃 2.(2)f=X12+X2+X+X4+2XX2-2XX4-2x2X3+2xT,X4.T 1 0-P解 二 次 型 矩 阵 为 A=0 L 7?.由 U 1 1 1l-l o 1 1J1

32、-/1 1 0-1A-A E=:I f?=(1)(/1-3)(2-Ip,-1 0 1 1-A得 A 的 特 征 值 为 4=-1,力 2=3,为 二 九 二 1.当 为=-1 时，可 得 单 位 特 征 向 量 P 1=g-；,-器 尸.当 小=3 时，可 得 单 位 特 征 向 量 P 2=(另,当 2 3=4=1 吐 可 得 线 性 无 关 的 单 位 特 征 向 量 P 3=(*好 P k(击 汽 于 是 有 正 交 矩 阵 丁=(0 1,0 2,。3,4)和 正 交 变 换 工=。，使 户 一 乃 2+3力 2+为 2+%2.2 8.求 一 个 正 交 变 换 把 二 次 曲 面 的

33、方 程 3X2+5,2+522+4XJ-4 X Z-1 Oyz=1化 成 标 准 方 程.3 2 一 2、解 二 次 型 的 矩 阵 为 人=2 5-5.1-2-5 5；3A 2 2由|A花|=2 5-2 一 5=2(42)(4H),得 A 的 特 征 值 2 5 5 A为 九=2,几 2=11,23=0,.对 于 4=2,解 方 程(A-2 E)x=0,得 特 征 向 量(4,-1,1)，单 位 化 得 0=(赤，-孟，志).对 于 4=11,解 方 程(A-ll)x=O,得 特 征 向 量(1,2,-2)，单 位 化 得 p2=(；,-|5|)对 于 4=0,解 方 程 A x=O,得 特

34、 征 向 量(0,1,1)1单 位 化 得 p 3=g 左 于 是 有 正 交 矩 阵 尸=S，P2,P3),使 FP=diag(2,11,0),从 而 有 正 交 变 换 C 4 1、-4=o3 0 3/X*_ 1 2 1；=3V2 3 72I 3V2 3 万 使 原 二 次 方 程 变 为 标 准 方 程 2d+ll/=i.29.明：二 次 型 户 口 4X在|#=1时 的 最 大 值 为 矩 阵 A 的 最 大 特 征 值.证 明 A为 实 对 称 矩 阵，则 有 一 正 交 矩 阵 T,使 得 7A L=diag(4,省,4)=A成 立，其 中 4,爸，4 为 A 的 特 征 值,不

35、妨 设 为 最 大.作 正 交 变 换 产 笈，即*=力，注 意 到 厂 匕 片，有 f=xrA x=yl T A Try=yTX y=y 12+/L2y22+4)/.因 为 产 7 k正 交 变 换，所 以 当|二 1 吐 有 加 1=1 团 1=1,即 y 2+y+y/=i.因 此 2 2 y 2?+.+4 y 三%,又 当 为=1,丁 2=h=%=0时/=4,所 以/m ax=4.3 0.用 配 方 法 化 下 列 二 次 形 成 规 范 形，并 写 出 所 用 变 换 的 矩 阵.%2,X y)=X i2+3 x+5 x+2 X X 2-4 X X 解 f(x,X2,-3)=12+3

36、22+5%32+2%1%2-4%1%3令(%1+2一 213)+4%2%3+2应+%32(X1+应-2%3)-2822+(2%2+%3 了 f 5 qr c 百=%-7 7%+2%y=%+%2 2毛 y2=y/2 x2,即 X2=%=2%2+七%3=1方 2-y/2 y2+y3二 次 型 化 为 规 范 形 C 2 2,2f=y 一%+为,所 用 的 变 换 矩 阵 为C=0 4=0V20-V2 1乂=玉+退 令 iy2=x2，即%=%2+%3二 次 型 化 为 规 范 形 所 用 的 变 换 矩 阵 为(2)/(xi,12,X3)=XI2+2X+2XX3+2X2X3;解 f(x 1,X2,1

37、3)=X 12+2x32+2 x 1%3+2%23=(x 1+%3)2+%32+2%23；=(X1+X3)2X22+(A：2+X3)2.N 尸,十%-%2=%，J 3=f+%f=y-yi+乃，ri i-nc=o i o.l o-i J(3)於 1,%2,%3)=2X12+%22+4%32+2%1%2-2%23.解 f(x,X2,x)=2x12+%22+4%32+2%1%2-2%23.=2(玉+；)2 后+4 后 一 2%23=2(%+；%2)2+；(82-2%3+2%；.令 乂=/（再+1产、）寸 正 1 X a1 内-五 1以 y2二 不（%2-2玉），即=应 当+2为 y3=42x3%3=

38、圭%二 次 型 化 为 规 范 形 所 用 的 变 换 矩 阵 为 7201oO-C3 1.设 f-=X i+X22+5X3+2d!X 1X2-2%1%3+4%2%3为 正 定 二 次 型，求 4.(1 a-1解 二 次 型 的 矩 阵 为 人=。1 2,其 主 子 式 为 1-1 2 5)a=,1 f=l a2,al aa 2=-a(5a+4).-12 5因 为 了 为 正 主 二 次 型，所 以 必 有 1-/（）且 _。（5。+4）0,解 之 得-2 Q0.32.判 别 下 列 二 次 型 的 正 定 性：(1)仁 2X1 6122 4x3+2x 1 2l2x;(-1 1 1 A解 二

39、次 型 的 矩 阵 为 人=1-6 0.因 为 I 1 0-4an=-20,2.11。，|川=-380,209-13O=6 0,网=240,1T所 以/为 正 定.3 3.证 明 对 称 阵 A 为 正 定 的 充 分 必 要 条 件 是：存 在 可 逆 矩 阵 U,A=UTU,即 A与 单 位 阵 E 合 同.证 明 因 为 对 称 阵 A为 正 定 的，所 以 存 在 正 交 矩 阵 P 使 P7AP=diag（2b A,2,4）=A,即 A=PAPT,其 中 沏 益,其 均 为 正 数.令 A|=diag（箱,国，疯），贝！JA=A1A,A=P X PT.再 令 U=A/pT,贝 I U可 逆，R A=UTU.