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1、21 二月 20231第第七章七章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学 多元函数微分学 注意:善于类比,区别异同第1页/共45页21 二月 20232主主 要要 内内 容容第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数第三节 全微分 第四节 多元复合函数的微分法 第五节 隐函数的微分法 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 第2页/共45页21 二月 20233第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第七章(Conception of functions of several variables)四、多元函
2、数的连续性一、平面点集 n 维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限五、小结与思考练习第3页/共45页21 二月 202341.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E=(x,y)|(x,y)具有性质P.例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是一、平面点集 n 维空间第4页/共45页21 二月 20235邻域第5页/共45页21 二月 20236点集称为点 P0 的 邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域记为第6页/共45页21 二月 20237在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面
3、上的方邻域为.因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第7页/共45页21 二月 20238(1)内点、外点、边界点、聚点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含有 E的点也含则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点;则称 P 为 E 的边界点.有不是E的点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.2.区域第8页/共45页21 二月 20239若对任意给定的,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.内点一定是聚点；边界点可
4、能是聚点；说明：例(0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0)是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合第9页/共45页21 二月 202310开集:如果点集E的点都是内点，则称E为开集.内点开集闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集.开集既非开集，也非闭集.(2)开集、闭集第10页/共45页21 二月 202311连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.例如：闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域.例如：（4）区域第11页/
5、共45页21 二月 202312开区域闭区域例如，在平面上第12页/共45页21 二月 202313 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界区域,无界域.否则称为有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：不是有界集的集合称为无界集.第13页/共45页21 二月 202314n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作
6、O.3.n 维空间第14页/共45页21 二月 202315 设x=(x x1 1,x,x2 2,x,xn n)，y y=(=(y y1 1,y,y2 2,y,yn n)为为R Rn n中任意两个元素 ，规定这样定义了这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.第15页/共45页21 二月 202316的距离记作规定为 n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离第16页/共45页21 二月 202317二、多元函数的概念 引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式第17页/共45页21 二月 202318点集 D 称为
7、函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数,记作定义1 设非空点集第18页/共45页21 二月 202319例1.求 的定义域解所求定义域为第19页/共45页21 二月 202320二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.第20页/共45页21 二月 202321定义域为圆域说明:二元函数
8、z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球例如,二元函数第21页/共45页21 二月 202322三、多元函数的极限定义2 设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切第22页/共45页21 二月 202323 (1)不研究P0(x0,y0)处的状态，仅研究点 的过程中，函数f(x,y)的变化趋势.所以，函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限与函数在点P0(x0,y0)有无
9、定义无关.(2)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.注意：（3）若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数第23页/共45页21 二月 202324求证：证:故总有要证（课本 例5）例2 设第24页/共45页21 二月 202325例3 考察函数这也是一种特殊方式(2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,解：(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式当 时 的极限.第25页/共45页21 二月 202326
10、(3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时第26页/共45页21 二月 202327例4 求:第27页/共45页21 二月 202328例5 求极限 解其中第28页/共45页21 二月 202329四、多元函数的连续性定义3 设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为D，为D的聚点，且 .如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数f(P)上.第29页/共45页21 二月 202330 二元函
11、数在点P0(x0,y0)处的连续，要求有以下三个条件成立，即：(1)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有定义，且点P0(x0,y0)是函数z=f(x,y)定义域的聚点.(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有极限.(3)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的极限值等于该点 函数值，即：第30页/共45页21 二月 202331定义4 设函数f(x,y)的定义域为D，是D的聚点.如果函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间断点.例如函数其中定义域 ，O(0,0)是D的聚点.f(x,y)当 时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点；第31页
12、/共45页21 二月 202332 圆周 上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点.其定义域为又如函数第32页/共45页21 二月 202333 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.第33页/共45页21 二月 202334 多元初等函数：由常数及具有不同变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一
13、切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第34页/共45页21 二月 202335解:原式例6（课本 例9）求第35页/共45页21 二月 202336在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则第36页/共45页21 二月 202337内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数第37页/共45页21 二月 202338有4.多元函数的连续性1)函数2)闭域
14、上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限第38页/共45页21 二月 202339作业习 题 7-1 P69-70 6(2)(3)(4)(5);7(1)第39页/共45页21 二月 202340思考与练习1.习题71 7（2）令 x=k y，若令,则 可见极限不存在第40页/共45页21 二月 2023412.设求解法1 令第41页/共45页21 二月 202342求解法2 令即2.设第42页/共45页21 二月 202343是否存在？解：所以极限不存在.3.第43页/共45页21 二月 202344在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得4.证明第44页/共45页21 二月 202345感谢您的观看！第45页/共45页