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1、推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于善于类比比,区区别异同异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的四、多元函数的连续性性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、一、区域区域1.邻域域点集称为点 P0 的 邻域域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心去心邻域域记为机动目录上页下页返回结束在讨论实际问题中也常使用
2、方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的,点P 的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E 中的点,则称 P 是
3、E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集集.E 的边界点)D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动目录上页下页返回结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;例如，例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o 对区域 D,若存在
4、正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无3.n 维空空间n 元有序数组的全体称为 n 维空空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.的距离距离记作中点 a 的 邻域域为机动目录上页下页返回结束规定为 与零元 O 的距离为二、多元函数的概念二、多元函数的概念引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束定定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定定义域域;数集称为函数的值域域.特别地
5、,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作机动目录上页下页返回结束例如,二元函数定义域为圆域说明明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限定定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数 ,总存在正数,切例例1.设求证：证:故总有机动目录上
6、页下页返回结束要证 例例2.设求证：证：故总有要证机动目录上页下页返回结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束例例4.求解解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录上页下页返回结束四四、
7、多元函数的多元函数的连续性性 定定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动目录上页下页返回结束*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连
8、续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解解:原式例例5.求例例6.求函数的连续域.解解:机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P62 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P130 题 3;4机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习解答提示解答提示:P62 题 2.称为二次齐次函数.P63 题 4.P63 题 5(3).定义域P63 题 5(5).定义域机动目录上页下页返回结束P63 题 8.间断点集P130 题 3.定义域P130题 4.令 y=k x，若令机动目录上页下页返回结束,则 可见极限不存在备用用题1.设求解法解法1 令机动目录上页下页返回结束1.设求解法解法2 令即机动目录上页下页返回结束2.是否存在？解解：所以极限不存在.机动目录上页下页返回结束 3.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束