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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节 第六六章 多元函数的微分及其应用 推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同目录 上页 下页 返回 结束 一、区域一、区域1.邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为目录 上页 下页 返回 结束 2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻
2、域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.目录 上页 下页 返回 结束(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)目录 上页 下页 返回 结束 D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若
3、集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，在平面上开区域闭区域目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域 D,若存在正数 K,使一切点A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,否则称为无界域无界域.PD 与某定点 若平面区域 D 中的任意闭曲线所围成的有界区域为D 的子集合,则称D 为单连通区域单连通区域，否则为多连通区域多连通区域。无界单连通区域有界
4、多连通区域目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 定义定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作目录 上页 下页 返回 结束 例如,二元函数定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .P223 例1例5(自己看)目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2
5、时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切(称为二重极限)目录 上页 下页 返回 结束 说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数四则运算，唯一性，保号性，局部有界性，夹逼定理，变量替换目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设求证:证证:故总有要证 原式例例2.求解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求原式解解:故只需考虑极限其中于是原式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴
6、则故目录 上页 下页 返回 结束 当 f(x,y)沿x 轴趋于点(0,0)时,在点(0,0)的极限.则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例例5.讨论函数而当 f(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),解解:当 f(x,y)沿y 轴趋于点(0,0)时,目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)的极限.在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.例例6.讨论函数当当 f(x,y)沿直线沿直线 y=kx 趋于点趋于点(0,0),解解:当当 f(x,y)沿直线沿直线 y=x2 x 趋于点趋于点(0,0),目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注注.二重
7、极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由上例 知它在(0,0)点二重极限不存在.目录 上页 下页 返回 结束 四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上如果存在点不连续,则称 n 元函数连续,各点处都连续,则称此函数在 D 上连续.设 n 元函数定义在 D 上,P0 为D 的聚点，如果在为间断点.则称目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：若
8、 f(P)在有界闭域 D 上连续,则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:目录 上页 下页 返回 结束 解解:原式例例 求例例 求函数的连续域.解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 例例.设求解法解法1 令目录 上页 下页 返回 结束 设求解法解法2 令即目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数目录 上页 下页 返回 结束 有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续目录 上页 下页 返回 结束 第二节 作作 业业 P264 7(4)(5);8;10 目录 上页 下页 返回 结束 解解:又由夹逼定理，得到练习练习1.求目录 上页 下页 返回 结束 2.是否存在？解解:利用所以极限不存在.