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1、第1页/共58页 定义定义3.13.1(计数过程)随机过程 称为计数过程,如果表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.由定义,计数过程具有以下两个特点:(1)取值为非负的整数;(2)时,且 表示时段 内 事件A发生的次数.如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着,与相互独立.第2页/共58页 定义3.2(泊松过程泊松过程)计数过程 称为参数为 的泊松过程过程,如果:(1)(2)有独立增量;(3)对任意的 ,有 由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从
2、参数(均值)为 的泊松分布.在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义.若在任一时间区间中发生的事件个数 的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程 有平稳增量平稳增量.这就意味着此时 与 有相同的分布.第3页/共58页第4页/共58页第5页/共58页第6页/共58页 定理3.1 计数过程 称为泊松过程泊松过程,参数为 如果 (1)(2)过程有平稳与独立增量;(3)(4)若 是参数为 的泊松过程,则有于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数单位时间内事件发生的平均次数.称 为泊松过程的强度、风险率强度、风险率或速率速率.第7页/共58页第8页/共58
3、页第9页/共58页例1第10页/共58页第11页/共58页 例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 .如果每次事件发生时以概率 能够记录下来,并以 表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明 是一个强度为 的泊松过程.证 满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.显然,的可能取值为 并且由全概率公式,有而若若第12页/共58页由题意于是所以,是一个强度为 的泊松过程.第13页/共58页第二节第二节 与泊松过程相联系的若干分布与泊松过程相联系的若干分布预备知识 (1)函数定义为:(2)有关 函数的几个重要公式:第14页/共58页 (3)若随机变量 的概率密度为则称 服从参数为
4、的 分布,记为 当 时,就是参数为 的指数分布.(4)分布关于参数 具有可加性.即若且 与 独立,则第15页/共58页 引理 设 相互独立且均服从参数为 的指数分布,则有 (5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 为第 次事件发生的时刻,是第 次与第 次事件发生的时间间隔.一.和 的分布 定理定理3.23.2 服从参数为 的指数分布,且相互独立.第16页/共58页证证 当 时,有所以又即 相互独立且均服从参数为 的指数分布.重复以上的推导可证定理之结论.第17页/共58页第18页/共58页 定理3.3 证证 由于故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.注注:1 1 的概率密
5、度为2.第19页/共58页 由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.定义定义3.3 设 是计数过程,如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 为泊松过程泊松过程.定理定理3.23.2的直接推论的直接推论 设泊松过程的强度为 ,记 为过程的到达间隔,则第20页/共58页 引理 (无后效性或无记忆性)设随机变量 服从参数为 的指数分布,则 证 第21页/共58页第22页/共58页第23页/共58页第24页/共58页第25页/共58页第26页/共58页第27页/共58页第28页/共58页第29页/共58页第30页/共58页第31页/共58页第32页/共58页第33页/共
6、58页第三节第三节 泊松过程的推广泊松过程的推广一、非齐次泊松过程一、非齐次泊松过程 定义3.4 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果 (1)(2)过程有独立增量;(3)(4)令 ,则有如下的等价定义.第34页/共58页 定义3.5 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果 (1)(2)过程有独立增量;(3)对于任意的实数 服从参数为的泊松分布.定理定理 定义3.4与定义3.5是等价的.证证 只需证 证明过程将要用到母函数的概念,从略.第35页/共58页第36页/共58页第37页/共58页第38页/共58页第39页/共58页 例3.7 设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果
7、出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.求它在使用期内只维修过一次的概率.解解 由题意,强度函数为则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数 服从参数为的泊松分布,故第40页/共58页第41页/共58页第42页/共58页第43页/共58页第44页/共58页二二.复合泊松过程复合泊松过程 定义3.6 称随机过程 为复合泊松过程,如果对于 ,它可以表示为如下形式其中 是一个泊松过程,是一族独立同分布的随机变量,并且与 独立.第45页/共58页 例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.第 个顾
8、客在商店购物支付的款数记作 ,并设 相互独立同分布,则在时段 中商店的营业额是一个复合泊松过程.例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.第46页/共58页 定理3.6 设 是一复合泊松过程,其中泊松过程 的强度为 ,则(1)具有独立增量;(2)若 均存在,则证(1)令 由于 具有独立增量性,故相互独立,即 具有独立增量性.(2)（2）的证明需要用到矩母函数（略）.第47页/共58页第48页/共58页第49页/共58页第50页/共58页 例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月
9、的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付为均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付额是多少?解 由题意,有 ,故所求的值为(元)第51页/共58页三三.条件泊松分布条件泊松分布 在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量 ,而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程.定义定义3.73.7 设 是具有分布 的正值随机变量,如果在给定 的条件下,计数过程 服从参数为 的泊松过程,则称 是条件泊松过程.由定义可知,如果 是条件泊松过程,则有第52页/共58页 定理定理3.73.7 设 是条件
10、泊松过程,且 ,则(1)(2)证证(1)(2)第53页/共58页 例3.11 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能 ,且为已知,并且已知到时刻 已发生了 次事故.(1)求下次事故在 之前不会到来的概率;(2)发生的频率是 的概率.解 (1)所求的概率为第54页/共58页以及第55页/共58页课堂练习习题1.通过某十字路口的车流是一泊松过程，设每分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求两分钟内有多于一辆车通过的概率。习题2.在时间t内向电话台呼叫k次的概率为 如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t被呼叫n次的概率。习题3.设顾客到达商场的速率为2个/分钟，求：（1
11、）5分钟内到达顾客数的平均值；（2）5分钟内到达顾客数的方差；（3）5分钟内至少有一个顾客到达的概率。第56页/共58页习题4.设顾客到某商场的过程是泊松过程，已知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔 （1）超过2min；（2）少于4min；（3）在13min之间习题5.某商店从上午8时开始营业下午5时关门，平均顾客到达率满足：从8时到11时线性增加，8时开始为5人/h，11时为高峰，达到20人/h；从11时到下午1时到达率不变，从下午1时到5时线性递减，5时为12人/h。设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的。求（1）上午8时半到9时半内顾客到达数的期望；（2）该段时间内无顾客到达的概率 习题3.设移居到某地的户数是一泊松过程，平均每周有2户移居。设移居的每户的人口数是一随机变量，一户有4人的概率是1/6；3人的概率是1/3；2人的概率是1/3；1人的概率是1/6。求五周内该地移居人数的期望与方差。第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页