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1、会计学1随机随机(su j)过程过程 泊松过程泊松过程第一页，共58页。定义定义3.13.1(计数过程)随机过程 称为计数过程,如果表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.由定义,计数过程具有以下(yxi)两个特点:(1)取值为非负的整数;(2)时,且 表示时段 内 事件A发生的次数.如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着,与相互独立.第2页/共58页第二页，共58页。定义定义3.2(泊松过程泊松过程)计数过程 称为参数为 的泊松过程过程,如果:(1)(2)有独立(dl)增量;(3
2、)对任意(rny)的 ,有 由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均值)为 的泊松分布.在实际过程(guchng)中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程(guchng)另一个等价定义.若在任一时间区间中发生的事件个数 的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程 有平稳增量平稳增量.这就意味着此时 与 有相同的分布.第3页/共58页第三页，共58页。第4页/共58页第四页，共58页。第5页/共58页第五页，共58页。第6页/共58页第六页，共58页。定理3.1 计数过程 称为泊松过程泊松过程,参数为 如果 (1)(2)过程有平稳(pn
3、gwn)与独立增量;(3)(4)若 是参数(cnsh)为 的泊松过程,则有于是可以(ky)认为 是单位时间内事件发生的平均次数.称 为泊松过程的强度、风险率强度、风险率或速率速率.第7页/共58页第七页，共58页。第8页/共58页第八页，共58页。第9页/共58页第九页，共58页。例1第10页/共58页第十页，共58页。第11页/共58页第十一页，共58页。例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 .如果每次事件发生时以概率(gil)能够记录下来,并以 表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明 是一个强度为 的泊松过程(guchng).证 满足定义(dngy)3.2 中的前两个条件是显然的,下证
4、它也满足第三个条件.显然,的可能取值为 并且由全概率公式,有而若若第12页/共58页第十二页，共58页。由题意(t y)于是(ysh)所以,是一个强度(qingd)为 的泊松过程.第13页/共58页第十三页，共58页。第二节第二节 与泊松过程相联系与泊松过程相联系(linx)(linx)的若干分的若干分布布预备预备(ybi)知识知识 (1)函数(hnsh)定义为:(2)有关 函数的几个重要公式:第14页/共58页第十四页，共58页。(3)若随机变量 的概率密度为则称 服从参数为 的 分布,记为 当 时,就是参数为 的指数分布.(4)分布关于参数 具有可加性.即若且 与 独立,则第15页/共58
5、页第十五页，共58页。引理引理 设 相互独立且均服从参数为 的指数分布,则有 (5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 为第 次事件发生的时刻,是第 次与第 次事件发生的时间间隔.一一.和和 的分布的分布 定理定理3.23.2 服从参数为 的指数分布,且相互独立.第16页/共58页第十六页，共58页。证证 当 时,有所以(suy)又即 相互(xingh)独立且均服从参数为 的指数分布.重复(chngf)以上的推导可证定理之结论.第17页/共58页第十七页，共58页。第18页/共58页第十八页，共58页。定理(dngl)3.3 证 由于(yuy)故由定理3.2以及(yj)引理的结论马上
6、可得本定理之结论.注注:1 1 的概率密度为2.第19页/共58页第十九页，共58页。由定理(dngl)3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.定义3.3 设 是计数过程,如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从(fcng)相同的指数分布,则称 为泊松过程.定理3.2的直接推论(tuln)设泊松过程的强度为 ,记 为过程的到达间隔,则第20页/共58页第二十页，共58页。引理 (无后效性或无记忆性)设随机变量(su j bin lin)服从参数为 的指数分布,则 证证 第21页/共58页第二十一页，共58页。第22页/共58页第二十二页，共58页。第23页/共58页第二十三页，共58页。第
7、24页/共58页第二十四页，共58页。第25页/共58页第二十五页，共58页。第26页/共58页第二十六页，共58页。第27页/共58页第二十七页，共58页。第28页/共58页第二十八页，共58页。第29页/共58页第二十九页，共58页。第30页/共58页第三十页，共58页。第31页/共58页第三十一页，共58页。第32页/共58页第三十二页，共58页。第33页/共58页第三十三页，共58页。第三节第三节 泊松过程泊松过程(guchng)(guchng)的推广的推广一、非齐次泊松过程一、非齐次泊松过程(guchng)定义3.4 计数过程 称为强度(qingd)为 的非齐次泊松过程,如果 (1)
8、(2)过程有独立增量;(3)(4)令 ,则有如下的等价定义.第34页/共58页第三十四页，共58页。定义3.5 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果 (1)(2)过程有独立增量;(3)对于任意的实数 服从参数为的泊松分布.定理 定义(dngy)3.4 与定义(dngy)3.5 是等价的.证证 只需证 证明过程(guchng)将要用到母函数的概念,从略.第35页/共58页第三十五页，共58页。第36页/共58页第三十六页，共58页。第37页/共58页第三十七页，共58页。第38页/共58页第三十八页，共58页。第39页/共58页第三十九页，共58页。例3.7 设某设备的使用期限是10年,
9、在使用期限内,如果出现(chxin)故障则需要维修.设出现(chxin)故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.求它在使用期内只维修过一次的概率.解 由题意(t y),强度函数为则在使用的期限(10年)内,故障发生(fshng)的次数 服从参数为的泊松分布,故第40页/共58页第四十页，共58页。第41页/共58页第四十一页，共58页。第42页/共58页第四十二页，共58页。第43页/共58页第四十三页，共58页。第44页/共58页第四十四页，共58页。二二.复合复合(fh)(fh)泊松泊松过程过程 定义3.6 称随机过程(g
10、uchng)为复合泊松过程(guchng),如果对于 ,它可以表示为如下形式其中 是一个(y)泊松过程,是一族独立同分布的随机变量,并且与 独立.第45页/共58页第四十五页，共58页。例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.第 个顾客在商店购物(u w)支付的款数记作 ,并设 相互独立同分布,则在时段 中商店的营业额是一个复合(fh)泊松过程.例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额独立(dl)同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.第46页/共58页第四十六页，共58页。定理3.6 设 是一复合(fh)泊松过程,其中泊
11、松过程(guchng)的强度为 ,则(1)具有(jyu)独立增量;(2)若 均存在,则证(1)令 由于 具有独立增量性,故相互独立,即 具有独立增量性.(2)（2）的证明需要用到矩母函数（略）.第47页/共58页第四十七页，共58页。第48页/共58页第四十八页，共58页。第49页/共58页第四十九页，共58页。第50页/共58页第五十页，共58页。例3.10 在保险中的索赔(su pi)模型中,设索赔(su pi)要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付为均值为10000 元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付额是多少?解 由题意(t y),有 ,故所求的值为(元)第51页/
12、共58页第五十一页，共58页。三三.条件条件(tiojin)(tiojin)泊松分布泊松分布 在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率(pnl)是不能预先确定的,往往是一个随机变量 ,而当频率(pnl)确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程.定义3.7 设 是具有(jyu)分布 的正值随机变量,如果在给定 的条件下,计数过程 服从参数为 的泊松过程,则称 是条件泊松过程.由定义可知,如果 是条件泊松过程,则有第52页/共58页第五十二页，共58页。定理3.7 设 是条件(tiojin)泊松过程,且 ,则(1)(2)证证(1)(2)第5
13、3页/共58页第五十三页，共58页。例3.11 设意外事故(y wi sh)的发生频率受某种未知因素影响有两种可能 ,且为已知,并且已知到时刻 已发生了 次事故.(1)求下次事故在 之前(zhqin)不会到来的概率;(2)发生的频率是 的概率.解 (1)所求的概率(gil)为第54页/共58页第五十四页，共58页。以及(yj)第55页/共58页第五十五页，共58页。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习n n习题习题1.1.通过某十字路口通过某十字路口(shzlk(shzlk u)u)的车流是一泊松过程，设每的车流是一泊松过程，设每分钟内没有车辆通过的概率为分钟内没有车辆通过的概率为0.20.2，求
14、两分钟内有多于一辆车通过，求两分钟内有多于一辆车通过的概率。的概率。n n习题习题2.2.在时间在时间t t内向电话台呼叫内向电话台呼叫k k次的概率为次的概率为 n n n n 如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间时间2t2t被呼叫被呼叫n n次的概率。次的概率。n n习题习题3.3.设顾客到达商场的速率为设顾客到达商场的速率为2 2个个/分钟，求：分钟，求：n n （1 1）5 5分钟内到达顾客数的平均值；分钟内到达顾客数的平均值；n n （2 2）5 5分钟内到达顾客数的方差；分钟内到达顾客数的方差；n n （3
15、 3）5 5分钟内至少有一个顾客到达的概率。分钟内至少有一个顾客到达的概率。第56页/共58页第五十六页，共58页。n n习题习题4.4.设顾客到某商场的过程是泊松过程，已知平均每小设顾客到某商场的过程是泊松过程，已知平均每小时有时有3030人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔时间间隔n n （1 1）超过）超过2min2min；（；（2 2）少于）少于4min4min；（；（3 3）在）在13min13min之间之间n n习题习题5.5.某商店某商店(shngdin)(shngdin)从上午从上午8 8时开始营业下午时开始营业下午5
16、 5时关时关门，平均顾客到达率满足：从门，平均顾客到达率满足：从8 8时到时到1111时线性增加，时线性增加，8 8时开时开始为始为5 5人人/h/h，1111时为高峰，达到时为高峰，达到2020人人/h/h；从；从1111时到下午时到下午1 1时时到达率不变，从下午到达率不变，从下午1 1时到时到5 5时线性递减，时线性递减，5 5时为时为1212人人/h/h。设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的。设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的。求（求（1 1）上午）上午8 8时半到时半到9 9时半内顾客到达数的期望；（时半内顾客到达数的期望；（2 2）该）该段时间内无顾客到达
17、的概率段时间内无顾客到达的概率n n n n习题习题3.3.设移居到某地的户数是一泊松过程，平均每周有设移居到某地的户数是一泊松过程，平均每周有2 2户移居。设移居的每户的人口数是一随机变量，一户有户移居。设移居的每户的人口数是一随机变量，一户有4 4人的概率是人的概率是1/61/6；3 3人的概率是人的概率是1/31/3；2 2人的概率是人的概率是1/31/3；1 1人人的概率是的概率是1/61/6。求五周内该地移居人数的期望与方差。求五周内该地移居人数的期望与方差。n n 第57页/共58页第五十七页，共58页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第58页/共58页第五十八页，共58页。