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1、泊松过程主讲教师主讲教师 段禅伦段禅伦20082008年秋季学期年秋季学期硕士研究生学位课程硕士研究生学位课程应用数学基础应用数学基础(演示文稿演示文稿)(Poisson process)(Poisson process)第三章第三章 泊松过程泊松过程泊松过程是一类较为简单的时间连续泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机状态离散的随机 过程过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天 文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用.3.1 3.1 泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例定义定义3
2、.13.1 称随机过程称随机过程N(t),t0N(t),t0为为计数过程计数过程,若若N(tN(t)表表 示到时刻示到时刻t t为止已发生的为止已发生的事件事件A A的总数的总数,且且N(tN(t)满足下列满足下列 条件条件:(1)(1)N(t)0;N(t)0;(2)(2)N(tN(t)取正整数值取正整数值;(3)(3)若若s st,t,则则N(s)N(tN(s)N(t););(4)(4)当当s st t时时,N(t)-N(sN(t)-N(s)等于区间等于区间(s,ts,t 中发生的中发生的事事 件件A A的次数的次数.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例如果计数过程如果计数过程N(tN(t)
3、在不相重叠的时间间隔内在不相重叠的时间间隔内,事件事件A A发发 生的次数是相互独立的生的次数是相互独立的,即若即若 t t1 1t t2 2tt3 3t t4 4 则在区间则在区间(t(t1 1,t,t2 2 内内事件事件A A发生的次数发生的次数N(tN(t2 2)-N(t)-N(t1 1),),与在与在 (t(t3 3,t,t4 4 内内事件事件A A发生的次数发生的次数N(tN(t4 4)-N(t)-N(t3 3)相互独立相互独立,那么那么 此时的计数过程此时的计数过程N(tN(t)是是独立增量过程独立增量过程.如果计数过程如果计数过程N(tN(t)在在(t,t+s(st,t+s(s0
4、)0)内内,事件事件A A发生的次发生的次 数数N(tN(t+s+s)-N(t)-N(t),),仅与时间差仅与时间差s s有关有关,而与时刻而与时刻t t无关无关,则则 计数过程计数过程N(tN(t)是是平稳增量过程平稳增量过程.泊松过程是计数过程的最重要的类型之一泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是其定义是:定义定义3.23.2 称计数过程称计数过程X(t),t0,X(t),t0,为具有参数为具有参数0 0的的泊泊 松过程松过程,如果如果X(t),t0X(t),t0满足下列条件满足下列条件:泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 (1)(1)X(0)=0;X(0)=0;(2)(2)X
5、(tX(t)是独立增量过程是独立增量过程;(3)(3)在任一长度为在任一长度为t t的区间中的区间中,事件事件A A发生的次数服从发生的次数服从 参数参数0 0的泊松分布的泊松分布,即对任意即对任意s,t0,s,t0,有有 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,.,n=0,1,2,.从条件从条件(3)(3)知知,泊松过程是泊松过程是平稳增量过程平稳增量过程且且EX(tEX(t)=)=tt.由于由于:=:=EX(t)/tEX(t)/t表示单位时间内表示单位时间内事件事件A A发生的平均发生的平均 个数个数,故称故称为泊松过程的为泊松过程的速
6、率速率或或强度强度.从从定义定义3.23.2,我们看到我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过为了判断一个计数过程是泊松过 程程,必须证明它满足条件必须证明它满足条件(1)(1),(2)(2)和和(3)(3).条件条件(1)(1)只是说只是说 明明事件事件A A的计数是从的计数是从t=0t=0时开始的时开始的;条件条件(2)(2)通常可从我通常可从我泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 们对过程了解的情况去验证们对过程了解的情况去验证;然而条件然而条件(3)(3)的验证是非的验证是非 常困难的常困难的.为了方便应用为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的以下我们再给出泊松过程的 另一个定义另一个定
7、义.定义定义3.33.3 称计数过程称计数过程X(t),t0,X(t),t0,为具有参数为具有参数0 0的的泊泊 松过程松过程,如果如果X(t),t0X(t),t0满足下列条件满足下列条件:(1)(1)X(0)=0;X(0)=0;(2)(2)X(tX(t)是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程;(3)(3)X(tX(t)满足下列两式满足下列两式:PX(t+h)-X(tPX(t+h)-X(t)=1=)=1=h+o(hh+o(h););PX(t+h)-X(t)2=PX(t+h)-X(t)2=o(ho(h).).定义定义3.33.3中中的条件的条件(3)(3)要求要求:在充分小的时间间隔内在充分小
8、的时间间隔内,最最 多有多有1 1个事件发生个事件发生,而不能有而不能有2 2个或个或2 2个以上事件同时发个以上事件同时发泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 生生.这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足.例例3.1 3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫呼叫.令令X(tX(t)表示电话交换台在表示电话交换台在(0,t(0,t时间段内收到的时间段内收到的呼叫呼叫次数次数,则则 X(t)X(t),t0t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件,故故X(t)X(t),t0t0 是一个是一个泊松过程泊松过
9、程.其实对于任意的其实对于任意的0t0t1 1t t2 2t tn n,随机变量随机变量X(tX(t2 2)-)-X(t X(t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),X(t),X(tn n)-X(t)-X(tn-1n-1)分别表示分别表示,在时间在时间 段段(t(t1 1,t,t2 2,(t,(t2 2,t,t3 3,(t,(tn-1n-1,t,tn n 内内,电话交换台接到的电话交换台接到的 呼叫呼叫次数次数,它们是相互独立的它们是相互独立的,所以随机过所以随机过X(t),t0X(t),t0 是一个是一个独立增量过程独立增量过程.而且对于任意的而且对于任意的s st,
10、t,随机变量随机变量X(t)-X(sX(t)-X(s)的分布可以的分布可以 认为仅与认为仅与t-st-s有关有关,故故X(t),t0X(t),t0是是平稳独立增量过程平稳独立增量过程.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例例例3.23.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果如果 记记X(tX(t)为在时间为在时间(0,t(0,t内到达售票窗口的旅客数内到达售票窗口的旅客数,则计则计 数过程数过程X(t),t0X(t),t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件,故是一故是一 个个泊松过程泊松过程.例例3.33.3 考虑机器在考虑机器在
11、(t,t+ht,t+h)时间段内发生故障的事件时间段内发生故障的事件.若若 机器发生故障机器发生故障,立即修理后继续工作立即修理后继续工作,则在则在(t,t+ht,t+h)时间时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机构成一个随机 点过程点过程,该过程可以用泊松过程进行描述该过程可以用泊松过程进行描述.定理定理3.13.1 泊松过程的两种定义泊松过程的两种定义,即即定义定义3.23.2与与定义定义3.33.3是等是等 价的价的.证明证明:首先证明首先证明定义定义3.23.2蕴涵蕴涵定义定义3.33.3.比较两条定义比较两条定义,由于由于定义定义3.
12、23.2的条件的条件(3)(3)中蕴涵中蕴涵X(tX(t)为平为平泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 稳增量过程稳增量过程,所以只需证明由所以只需证明由定义定义3.23.2的条件的条件(3)(3)可以推可以推 出出定义定义3.33.3的条件的条件(3)(3).由式由式 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,.,n=0,1,2,.对对充分小的充分小的h h,有有 PX(t+h)-X(tPX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1(X(h)=X(0+h)=1=PX(h)-X(0)=1(X(h)=X(0+h)=e e-h-h =hh
13、 =h1-h+o(h)=h1-h+o(h)=h+o(hh+o(h););PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 =o(ho(h).).泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 以下证明以下证明定义定义3.33.3蕴涵蕴涵定义定义3.23.2.经比较经比较,只需证明由只需证明由 定义定义3.33.3中后两式可以推出中后两式可以推出定义定义3.23.2的的(3)(3)式式.为此令为此令 P Pn n(t(t)=)=PX(tPX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.)=n=PX(t)-X(0)=n.根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2
14、)与与(3)(3),有有 P P0 0(t+h)=(t+h)=PX(t+hPX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0)=0=PX(t+h)-X(0)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =P =P0 0(t)1-h+o(h),(t)1-h+o(h),所以所以 =-P=-P0 0(t)+.(t)+.令令h0h0取极限得取极限得 PP0 0(t)=-P(t)=-P0 0(t)(t)或或 =-.=-.泊松
15、过程的定义和例泊松过程的定义和例 积分得积分得 lnPlnP0 0(t)=-(t)=-t+Ct+C 即即 P P0 0(t)=(t)=keke-t-t.由于由于P P0 0(0)=PX(0)=1,(0)=PX(0)=1,代入前式得代入前式得 P P0 0(t)=(t)=e e-t-t.类似地类似地,对于对于n1,n1,有有 P Pn n(t+h(t+h)=)=PX(t+hPX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n)=n=PX(t+h)-X(0)=n =PX(t)-X(0)=PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(tn,X(t+h)-X(t)=0+)=0+PX(t)-X(0)=n-1,
16、X(t+h)-X(t)=1+PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+PX(t)-X(0)=PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(tn-j,X(t+h)-X(t)=j.)=j.根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2)与与(3)(3),得得 P Pn n(t+h(t+h)=P)=Pn n(t)P(t)P0 0(h)+P(h)+Pn-1n-1(t)P(t)P1 1(h)+o(h)(h)+o(h)=(1-h)P =(1-h)Pn n(t)+hP(t)+hPn-1n-1(t)+o(h)(t)+o(h)于是于是,有有泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 =-P=-Pn n(
17、t)+P(t)+Pn-1n-1(t)+.(t)+.令令h0h0取极限得取极限得 PPn n(t(t)=-P)=-Pn n(t)+P(t)+Pn-1n-1(t),(t),所以所以 e ettPPn n(t)+P(t)+Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t),(t),因此因此 e ettP Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t).(t).当当n=1n=1时时,得得 eettP P1 1(t)=e(t)=ettP P0 0(t)=(t)=eette e-t-t=,=,P P1 1(t)=(t)=(t+c)et+c)e-t-t.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例
18、由于由于P P1 1(0)=0,(0)=0,代入上式得代入上式得 c=0,Pc=0,P1 1(t)=(t)=tete-t-t.以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:P Pn n(t(t)=)=e e-t-t成立成立.假设假设n-1n-1时有结论时有结论,证对证对n n有有:PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,.,n=0,1,2,.根据根据 e ettP Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t)(t)式式,有有 e ettP Pn n(t(t)=)=eett e e-t-t=,=,积分得积分得 e ettP Pn n(
19、t(t)=+c)=+c .泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0,(0)=PX(0)=n=0,因而因而c=0,c=0,所以所以 P Pn n(t(t)=)=e e-t-t .由条件由条件(2)(2)X(t)X(t)是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程,故有故有 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,n=0,1,2,故故定义定义3.33.3蕴涵蕴涵定义定义3.23.2.3.2 3.2 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质1.1.数字特征数字特征 根据泊松过程的定义根据泊松过程的定义,可以导出
20、泊松过程的几个常用的可以导出泊松过程的几个常用的数字特征数字特征.设设X(t),t0X(t),t0是泊松过程是泊松过程,对任意对任意t,s0,)t,s0,)及及s st t泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 从从定义定义3.23.2的的(3)(3)得得 EX(t)-X(sEX(t)-X(s)=)=DX(t)-X(sDX(t)-X(s)=)=(t-s(t-s).).由于由于X(0)=0,X(0)=0,故故 m mX X(t(t)=)=EX(tEX(t)=EX(t)-X(0)=)=EX(t)-X(0)=tt;2 2X X(t)=(t)=DX(tDX(t)=DX(t)-X(0)=)=DX(t)-X
21、(0)=tt;R RX X(s,t(s,t)=)=EX(s)X(tEX(s)X(t)=EX(s)X(t)-X(s)+X(sEX(s)X(t)-X(s)+X(s)=EX(s)-X(0)X(t)-X(s)+EX(s)=EX(s)-X(0)X(t)-X(s)+EX(s)2 2 =EX(s)-X(0)EX(t)-X(s)+DX(s)+EX(s)=EX(s)-X(0)EX(t)-X(s)+DX(s)+EX(s)2 2 =s(t-s)+s+(s)=s(t-s)+s+(s)2 2=s(t+1);=s(t+1);PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,n=
22、0,1,2,泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 B BX X(s,t(s,t)=)=R RX X(s,t)-m(s,t)-mX X(s)m(s)mX X(t(t)=)=ss;一般地一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为泊松过程的协方差函数可以表示为 B BX X(s,t(s,t)=)=min(s,tmin(s,t).).泊松过程的特征函数是泊松过程的特征函数是 g gX X(t(t)=)=EeEeiuX(tiuX(t)=.=.2.2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,
23、那那 么么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时以下讨论泊松过程与时 间有关的分布间有关的分布.设设X(t),t0X(t),t0是泊松过程是泊松过程,令令X(tX(t)表示表示t t时刻事件时刻事件A A发发泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 生生(顾客出现顾客出现)的次数的次数,W,W1 1,W,W2 2,分别表示第一次分别表示第一次,第二次第二次 事件事件A A发生的时间发生的时间,T,Tn n(n1)(n1)表示从第表示从第(n-1)(n-1)次事件次事件A
24、A 发生到第发生到第n n次事件次事件A A发生的时间间隔发生的时间间隔(如下图所示如下图所示)通常称通常称W Wn n为第为第n n次事次事 件件A A出现的时刻或第出现的时刻或第 n n次次 事件事件A A的等待时间的等待时间,T Tn n是是 第第n n个时间间隔个时间间隔,它们都是随机变量它们都是随机变量.如何如何利用泊松过程中事件利用泊松过程中事件A A发生所对应的时间间隔关系发生所对应的时间间隔关系 研究研究各次事件间的各次事件间的时间间隔分布时间间隔分布呢呢?定理定理3.23.2 设设X(t),t0X(t),t0是具有参数是具有参数的泊松分布的泊松分布,T Tn n,n,n 1
25、1是对应的时间间隔序列是对应的时间间隔序列,则随机变量则随机变量T Tn n(n(n=1,2,)=1,2,)是独立同分布的均值为是独立同分布的均值为1/1/的指数分布的指数分布.W1W2W3Wn-1WnOT1T2T3Tn泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质证明证明:首先首先,由于事件由于事件TT1 1tt发生发生 泊松过程在区间泊松过程在区间0,0,t t内没有事件发生内没有事件发生,因而因而 PTPT1 1t=t=PX(tPX(t)=0=)=0=e e-t-t,(,(因此时为因此时为 )(t)=PT (t)=PT1 1t=1-PTt=1-PT1 1t=1-et=1-e-t-t,(,(求导得密
26、度求导得密度)所以所以T T1 1是服从均值为是服从均值为1/1/的指数分布的指数分布.(.(导数为导数为ee-t-t)利用泊松过程的独立、平稳增量性质利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=P=s=P在在(s,s+ts,s+t 内没有事件发生内没有事件发生|T|T1 1=s=s =P =P在在(s,s+ts,s+t 内没有事件发生内没有事件发生 =PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=0)=0 =PX(t)-X(0)=0=PX(t)-X(0)=0=e e-t-t,即即 (t)=PT(t)=PT2 2t=1-PTt=1-PT2 2t=1-et=1
27、-e-t-t,故故T T2 2也是服从均值为也是服从均值为1/1/的指数分布的指数分布.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 对于任意对于任意n1n1和和t,st,s1 1,s,s2 2,s,sn-1n-10,0,有有 PTPTn nt|Tt|T1 1=s=s1 1,T,Tn-1n-1=s=sn-1n-1 =PX(t+s =PX(t+s1 1+s+sn-1n-1)-X(s)-X(s1 1+s+s2 2+s+sn-1n-1)=0)=0 =PX(t)-X(0)=0=PX(t)-X(0)=0=e e-t-t,即即 (t)=(t)=PTPTn ntt=1-PT=1-PTn nt=1-et=1-e-t-
28、t,可见对任意可见对任意T Tn n(n1),(n1),其分布是均值为其分布是均值为1/1/的指数分布的指数分布.定理定理3.23.2说明说明,对于任意对于任意n=1,2,n=1,2,事件事件A A相继到达的时间相继到达的时间 间隔间隔T Tn n的分布为的分布为 (t)=(t)=PTPTn ntt=,=,其概率密度为其概率密度为 (t)=.(t)=.(均值为均值为1/1/,方差为方差为1/1/2 2)1-e1-e-t-t,t0,t00,t0,t0 0ee-t-t,t0,t00 0,t t0 0泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理定理3.23.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得的结
29、论是在平稳独立增量过程的假设前提下得 到的到的,该假设的概率意义是指该假设的概率意义是指:过程在任何时刻都从头过程在任何时刻都从头 开始开始,即从任何时刻起即从任何时刻起,过程独立于先前已发生的一切过程独立于先前已发生的一切 (独立增量独立增量),),且有与原过程完全一样的分布且有与原过程完全一样的分布(平稳增量平稳增量).).其实其实,由由指数分布无记忆性指数分布无记忆性的特征的特征,时间间隔的指数分时间间隔的指数分 布应该是在预料之中的布应该是在预料之中的.另一个感兴趣的问题另一个感兴趣的问题是是:等待时间等待时间W Wn n的分布的分布,即第即第n n次事次事 件件A A到达的时间分布到
30、达的时间分布.因因 W Wn n=T=Ti i,n1,n1,由由定理定理3.23.2知知,W Wn n是是n n个相互独立的指数分布随机变量和个相互独立的指数分布随机变量和,故用特征函数方法故用特征函数方法,可得如下结论可得如下结论:泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理定理3.33.3 设设WWn n,n1,n1是与泊松过程是与泊松过程X(t),t0X(t),t0对应的对应的 一个等待时间序列一个等待时间序列,则则W Wn n服从参数为服从参数为n n和和的的分布分布,其其 概率密度为概率密度为定理定理3.33.3可用以下方法导出可用以下方法导出:注意到第注意到第n n个事件在时刻个事件在
31、时刻t t或之前发生或之前发生 到时间到时间t t已发生已发生 的事件数目至少是的事件数目至少是n,n,即即X(t)nX(t)n W Wn ntt.因此因此 PWPWn ntt=PX(t)nPX(t)n=.=.对该式求导对该式求导,得得W Wn n的密度函数的密度函数:(t)=-(t)=-ee-t-t +ee-t-t =ee-t-t .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质W Wn n服从参数为服从参数为n n和和的的分布的密度函数式分布的密度函数式,亦称亦称爱尔爱尔 兰分布兰分布,它是它是n n个相互独立且服从指数分布的随机变量个相互独立且服从指数分布的随机变量 之和的概率密度之和的概率密度.
32、“电话电话呼叫呼叫”是一个泊松过程是一个泊松过程.相继出现的第相继出现的第i-1i-1次和次和第第 i i次电话呼叫的间距距离次电话呼叫的间距距离T Ti i=W=Wi i-W-Wi-1i-1(i=1,2(i=1,2,)是一个连是一个连 续型随机变量续型随机变量,它们都服从参数为它们都服从参数为的指数分布的指数分布,其概其概 率密度为率密度为 其等待时间其等待时间W Wn n也都是连续型随机变量也都是连续型随机变量,服从服从分布分布,其其 密度函数称密度函数称爱尔兰分布爱尔兰分布:泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质又如又如若若X(tX(t)表示在时间区间表示在时间区间0,t)0,t)内来到某
33、商店的顾客内来到某商店的顾客数数,X(tX(t)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程,每个来到商店的顾客购每个来到商店的顾客购买某些货物的概率为买某些货物的概率为p,p,不买东西就离去的概率是不买东西就离去的概率是1-p=q,1-p=q,且每个顾客是否购买货物是相互独立的且每个顾客是否购买货物是相互独立的,令令Y(tY(t)为为0,t)0,t)内购买货物的顾客数内购买货物的顾客数,则则Y(t),t0Y(t),t0是参数为是参数为pp的泊松的泊松过程过程.由于由于 PX(tPX(t)=n=,)=n=,而而 PY(tPY(t)=m=)=m=PX(tPX(t)=)=nPY(tnPY(t)=)=m|X
34、(tm|X(t)=n)=n =(t)t)m m e e-qt-qt 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 =.=.PoissonPoisson过程过程与与均匀分布均匀分布的关系的关系.设设X(t),t0X(t),t0是强度为是强度为的泊松过程的泊松过程,若在时间区间若在时间区间0,t)0,t)内仅有内仅有1 1个随机质点到来个随机质点到来,记记为质点到达时间为质点到达时间,则则当当s st t时时,有有Ps|X(tPs|X(t)=1)=1 =(te =(te-t-t)-1-1Ps,X(t)=1Ps,X(t)=1 =(te =(te-t-t)-1-1PX(s)=1,X(t)-X(s)=0PX(s
35、)=1,X(t)-X(s)=0 =s/ts/t.可见可见,随机变量随机变量服从均匀分布服从均匀分布.条件概率条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A);:P(B|A)=P(AB)/P(A);当当P P123123公式中的公式中的n=1,n=0n=1,n=0时的概时的概率率;以及以及X(t)-X(sX(t)-X(s)=)=X(t-sX(t-s)=0.)=0.对照均匀分布的分布函数对照均匀分布的分布函数.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质3.3.到达时间的条件分布到达时间的条件分布 假设在假设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生一次已经发生一次,如何确定这一事件如何确定这一事件到达时间到达
36、时间W W1 1的分布呢的分布呢?由于泊松过程有平稳独立增量由于泊松过程有平稳独立增量,所以可以认为所以可以认为0,t0,t内内长度相等的区间包含事件长度相等的区间包含事件A A的概率相同的概率相同,即该事件的到达即该事件的到达时间在时间在0,t0,t上服从均匀分布上服从均匀分布.事实上事实上,对对s st t有有 PWPW1 1s|X(t)=1=s|X(t)=1=.=.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 于是得分布函数于是得分布函数 (s)=(s)=及分布密度函数及分布密度函数 (s)=(s)=此结果可推广到一般的情况此结果可推广到一般的情况:定理定理3.43.4 设设X(t),t0X(t
37、),t0是泊松过程是泊松过程,已知在已知在0,t0,t内事件内事件 A A发生发生n n次次,则这则这n n次到达时间次到达时间W W1 1W W2 2W Wn n与相应于与相应于n n 个个0,t0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布同的分布.证明证明:令令0t0t1 1t t2 2t tn+1n+1=t,=t,且取且取h hi i充分小充分小,使得对使得对i i其它其它.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 =1,2,n=1,2,n有有t ti i+h+hi it ti+1i+1,则在给定则在给定X(tX(t)=n)=n的条件下的条
38、件下,有有 PtPt1 1WW1 1tt1 1+h+h1 1,t tn nWWn nttn n+h+hn n|X(t|X(t)=n)=n=Pt Pt1 1WW1 1tt1 1+h+h1 1,t tn nWWn nttn n+h+hn n|X(t|X(t)=n)=n=.=.令令h hi i0,0,便得便得W W1 1,W Wn n在已知在已知X(tX(t)=n)=n的条件下的的条件下的条件联合概率密度条件联合概率密度f(tf(t1 1,t tn n)=)=因此因此h h1 1h hn n其它其它.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.43.4 设在设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生
39、已经发生n n次且次且0 0s st,t,对于对于0 0 k kn,n,求求PX(sPX(s)=)=k|X(tk|X(t)=n.)=n.解解:利用条件概率和泊松分布得利用条件概率和泊松分布得 PX(sPX(s)=)=k|X(tk|X(t)=n=)=n=.=.这是一个参数为这是一个参数为n n和和s/ts/t的二项分布的二项分布.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.53.5 设在设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生已经发生n n次次,求第求第k(kk(kn)n)次事次事 件件A A发生的时间发生的时间W Wk k的条件概率密度函数的条件概率密度函数.解解:先求条件概率先求条件概率P
40、sPsW Wk ks+h|X(ts+h|X(t)=n,)=n,然后关于然后关于s s求导求导.当当h h充分小时充分小时,有有 PsPsW Wk ks+h|X(ts+h|X(t)=n)=n =PsPsW Wk ks+h,X(t)-X(s+hs+h,X(t)-X(s+h)=)=n-k/PX(tn-k/PX(t)=n)=n =PsPsW Wk ks+h,X(t)-X(s+hs+h,X(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n!=PsPsW Wk ks+hPX(t)-X(s+hs+hPX(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n!将上式两边
41、除以将上式两边除以h,h,并令并令h0h0取极限取极限,得得 =PX(t)-X(s+hPX(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n!泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由定理由定理3.3,3.3,=,=,及定义及定义 PX(t)-X(sPX(t)-X(s)=)=n-kn-k=得得 =.=.条件概率密度条件概率密度 是一个是一个BataBata分布分布.例例3.63.6 设设XX1 1(t),t0(t),t0和和XX2 2(t),t0(t),t0是两个独立的泊是两个独立的泊 松过程松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数它们在单位时间内平均出现的事件数,分别为分
42、别为 1 1和和2 2.记记 为过程为过程X X1 1(t)(t)的第的第k k次事件到达时间次事件到达时间,为过程为过程X X2 2(t)(t)的第的第1 1次事件到达时间次事件到达时间,求求P P ,即即 第一个泊松过程的第第一个泊松过程的第k k次事件发生比第二个泊松过程的次事件发生比第二个泊松过程的 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 第第1 1次事件发生早的概率次事件发生早的概率.解解:设设 的取值为的取值为x,x,的取值为的取值为y,y,由泊松过程等待时由泊松过程等待时 间的分布密度间的分布密度 以及以及 和和X X1 1(t)(t)与与X X2 2(t)(t)的相互独立性的相互
43、独立性:f(x,yf(x,y)=)=知知 .xyy=xoDD D:y:yx,x0 x,x0关于全关于全(条件条件)期望公式期望公式全全(条件条件)期望公式期望公式 对任意的随机变量对任意的随机变量X,Y,X,Y,有有EEX|Y=EXEEX|Y=EX.当当(X,Y)(X,Y)为为离散型随机向量时离散型随机向量时,全期望公式的离散形式为全期望公式的离散形式为 (1)E(X)=(1)E(X)=EX|yEX|yj jPYPY=y yj j;当当(X,Y)(X,Y)为连续型随机向量时为连续型随机向量时,全期望公式的连续形式为全期望公式的连续形式为 (2)E(X)=.(2)E(X)=.证明证明:(1)(1
44、)(2)=(2)=.=泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.7 3.7 仪器受到震动而引起损伤仪器受到震动而引起损伤,若震动是按强度为若震动是按强度为的的 泊松过程发生泊松过程发生,第第k k次震动引起的损伤为次震动引起的损伤为D Dk k,D,D1 1、D D2 2 、是独立同分布的随机变量列且与是独立同分布的随机变量列且与N(t),t0N(t),t0独立独立.其其 中中N(tN(t)表示表示0,t0,t时间段仪器受到震动次数时间段仪器受到震动次数.假设仪器假设仪器 受到震动而引起的损伤随时间按指数减小受到震动而引起的损伤随时间按指数减小,即如果震动即如果震动 的初始损伤为的初始损伤为
45、D,D,则震动之后经过时间则震动之后经过时间t t减小为减小为DeDe-tt(0).0).假设损伤是可叠加的假设损伤是可叠加的,即在时刻即在时刻t t的损伤可表示为的损伤可表示为 D(tD(t)=,)=,其中其中k k为仪器受到第为仪器受到第k k次震动的时次震动的时 刻刻,求求ED(tED(t).).解解:ED(tED(t)=E =EE )=E =EE|N(tN(t),),全期望公式全期望公式泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由于由于 =.=.由由定理定理3.43.4知知,在在N(tN(t)=n)=n的条件下的条件下k k(k(k=1,2,n)=1,2,n)是是0,0,t t上相互独立的
46、均匀随机变量上相互独立的均匀随机变量U(k),kU(k),k=1,2,n=1,2,n的顺序的顺序 统计量统计量,故故 =.=.所以所以 .于是得于是得 .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题设设顾客按强度为顾客按强度为的泊松过程到达的泊松过程到达,N(tN(t)表示在表示在(0,t)(0,t)中到达的第中到达的第i i类类(i=1,2)(i=1,2)顾客顾客.设设时刻时刻s s到达的顾客与其他到达的顾客与其他顾客是独立的顾客是独立的.属于第属于第1 1类的概率为类的概率为P(sP(s),),属于第属于第2 2类的概类的概率为率为P(1-s).P(1-s).问问N N1 1(t)(t)与与N
47、 N2 2(t)(t)各是什么分布的随机变量各是什么分布的随机变量?求求PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mn+m.解解:由时刻由时刻s s到达的顾客与其他顾客的独立性知到达的顾客与其他顾客的独立性知,N,N1 1(t)(t)与与 N N2 2(t)(t)相互独立相互独立,且分别是均值为且分别是均值为tptp和和t(1-p)t(1-p)的泊的泊 松分布松分布,式中的式中的p=p=P(s)dsP(s)ds:鉴于时刻鉴于时刻s s服从服从(0,t)(0,t)上上 的均匀分布的均匀分布,所以将该条件加到时间所以将该条件加到时间s s上有上
48、有p=p=P(s)dsP(s)ds.从事件从事件N N1 1(t)=n(t)=n与与N N2 2(t)=m(t)=m的独立性的独立性,知知 PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mn+m 恰是恰是n+mn+m重贝努利试验中第重贝努利试验中第1 1类顾客出现类顾客出现n n次的概率次的概率,故故关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=m(t)=m =PN =PN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mPN(tn+mPN(t)=)=n
49、+mn+m =p =pn n(1-p)(1-p)m me e-t-t =e e-tp-tp ee-t(1-p)-t(1-p).M/G/M/G/表示一个随机服务系统表示一个随机服务系统,M,M表示顾客到达是强度表示顾客到达是强度为为的泊松过程的泊松过程;G;G表示服务时间表示服务时间Y Y是独立同分布的随机变是独立同分布的随机变量量,分布函数是分布函数是G(tG(t););表示服务人员数表示服务人员数,说明顾客到达后说明顾客到达后无须等待无须等待.确定服务系统的效率确定服务系统的效率.解解:以以N N1 1(t)(t)记到时刻记到时刻t t已服务完的顾客数已服务完的顾客数,N N2 2(t)(t
50、)记到时刻记到时刻 t t未服务完的顾客数未服务完的顾客数.确定服务系统的效率确定服务系统的效率,即计算到时即计算到时 刻刻t t已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题以及以及N N1 1(t)(t)和和N N2 2(t)(t)的均值函数的均值函数.设顾客在时刻设顾客在时刻s s到达到达,stst,到时刻到时刻t t已服务完已服务完,即服务时即服务时间间Yt-sYt-s,因而其概率为因而其概率为G(t-sG(t-s),),即即P(sP(s).).于是于是 ENEN1 1(t)=(t)=tptp=G(t-s