虚功原理与结构位移计算课件.ppt

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1、第五章第五章 虚功原理与结构位移计算虚功原理与结构位移计算1 1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 2 2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 3 3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算4 4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例5 5 图乘法图乘法 6 6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 7 7 变形体的虚功原理（自学）变形体的虚功原理（自学）8 8 互等定理互等定理1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移1.1.结构位移计算概述结构位移计算概述 2.2.虚功原理的另一种应用形式虚功原理的另一种应用形式-虚力原

2、理虚力原理3.支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算1.结构位移计算概述结构位移计算概述n位移位移的概念：结构在的概念：结构在荷载、温度变化和材料膨胀、支座沉降和制荷载、温度变化和材料膨胀、支座沉降和制造误差造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。变动。这种位置的变动称为位移。n结构的位移通常有两种：截面的移动结构的位移通常有两种：截面的移动-线位移线位移；截面的转动；截面的转动-角位移角位移。线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，

3、角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移广义位移广义位移广义位移线位移线位移角位移角位移相对线位移相对线位移相对线位移相对线位移CDFP相对角位移相对角位移相对角位移相对角位移AP铁路工程技术铁路工程技术规范规定规范规定:(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移高度。最大层间位移 1/800 层高。层高。(2

4、)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要求为超静定结构的内力分析（如第为超静定结构的内力分析（如第6章力法等）打好基础（利用章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。位移条件建立补充方程）。abABCP=1ABCab已知已知求求虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态小结：小结：（1）形式是虚功方程，实质是）形式是虚功方程，实质是几何方程几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问

5、题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种本书称为第一种本书称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二，而将第二种应用称为种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的说法为，。更确切的说法为，两两种应用的依据是上述两原理的必要性命题种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述。上述两原理都是充分、必要性命题。两原理都是充分、必要性命题。虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对

6、任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立.虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。3.支座位移时静定结构的位移计算支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移点的竖向位移（2）杆）杆CD的转角的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移已知位移求求:所得正号表明位移方所得正号表明位移方向与假设的单位力方向向与假设的单位力方向一致。一致。求求解解步步骤骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得）解方程得定出方向。定出方向。（2）建立

7、虚功方程）建立虚功方程例例1：求：求CBAFP=1虚拟力状态虚拟力状态解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态实际位移状态实际位移状态CBAll解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态()RAyRAx例例 2：已知：已知 l=12 m,h=8 m,求求BABA1AB虚功方程：虚功方程：BABA1A 1.例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对转角产生相对转角d，试求，试求A点在点在ii方向的方向的位移位移 。例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d，试求试求A点在点在ii方向方向的位移的位移 。由刚体虚功原理来推导由

8、刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。2.局部变形时的位移计算公式局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsR dsdsRds（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsdsRds 1（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功

9、原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。或或适用范围与特点：适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式

10、。dsdsK 1dsdsdsdsdsdsds外虚功：外虚功：内虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：即：4.位移计算的一般步骤位移计算的一般步骤:K 1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位荷载；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位荷载；(2)求虚力状态的单位荷载作用下，根据平衡条件，求出所有求虚力状态的单位荷载作用下，根据平衡条件，求出所有的内力及反力的内力及反力(3

11、)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。力与变形方向用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。力与变形方向一致时乘积取正，否则为负。计算出的位移结果为正值时，则一致时乘积取正，否则为负。计算出的位移结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。单位荷载方向相反。5.5.广义位移的计算广义位移的计算 本章所讨论的位移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷

12、载应与广义位移相一致。如P162表5-1广义位移和广义单位荷载示例所示。作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力广义力F；与位移相应的因子，称为与位移相应的因子，称为广义位移广义位移。广义力与广义位移的广义力与广义位移的共轭关系共轭关系是：它们的乘积是虚功。即：是：它们的乘积是虚功。即：W=F1）广义力是单个力广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。力的方向上的分量。Pm2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面

13、的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBAW=PA+PB=P（A+B）=P这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示AB两点间距的改变，即两点间距的改变，即AB两点的两点的相对位移相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABW=m A+m B=m（A+B）=m这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示AB两截面的两截面的相对转角相对转角。广义位移的计算广义位移的计算 3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 1.1.计算步骤计算步骤2.2.各类结构的位

14、移公式各类结构的位移公式 3.3.截面平均切应变截面平均切应变 和系数和系数k k 研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数为截面形状系数(P167)1.2(3)荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式1 1、计算步骤、计算步骤（1）在荷载作用下建立在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。2 2、各类

15、结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架：）梁与刚架：由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为（2 2）桁架：）桁架：桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为（4 4）拱：）拱：对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即（3 3）组合结构：）组合结构：桁梁混合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为 根据荷载引起的剪力求出切应变，代入上式可进一步推导出截面形状系数k的公式，根据不同的截面形状，系数k可做如下取值：矩形 6/5圆形 10/9薄壁圆环形 2工字形或箱形 A/A(腹板)

16、4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例1.1.梁的位移计算梁的位移计算2.2.曲杆的位移计算曲杆的位移计算AC段段CB段段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段CB段段设为矩形截面设为矩形截面 k=1.23）讨论：）讨论：比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比设材料的泊松比 ,由材料力学公式由材料力学公式 。设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有代入上式代入上式对于一般的梁可

17、以忽略剪切变形对位移的影响，但对于深梁则不可。对于一般的梁可以忽略剪切变形对位移的影响，但对于深梁则不可。PP=12.2.曲杆的位移计算：曲杆的位移计算：求图示曲杆（求图示曲杆（1/41/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载虚拟荷载虚拟荷载3）位移公式为）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MNARI2412=MQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不起的

18、位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2）实际荷载）实际荷载h101R如如Pl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁例：求图示等截面梁B端转角。端转角。m=1积分常可用图形相乘来代替2）MP 须分段写须分段写解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载一般公式一般公式荷载位移公式荷载位移公式5 图乘法图乘法 1.图乘法及其应用条件图乘法及其应用条件 2.几种常见图形的面积和形心位置几种常见图形的面积和形心位置 3.应用图乘法时的几个具体问题应用图乘法时的几个具体问题 kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=yEIC1A=DPEI

19、ydxEIMMCA=xtgEI01Aa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxyCx0Ayc=x0tg为避免微分运算，以下介绍一种计算方法为避免微分运算，以下介绍一种计算方法-图乘法图乘法。下图为某。下图为某直杆段直杆段 AB AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线的两个弯矩图，其中有一个图形为直线,如果抗弯刚度如果抗弯刚度 EIEI 为常数，则可进行以下计算：为常数，则可进行以下计算：面积面积A A与竖标与竖标y yC C在杆的同侧，在杆的同侧，A Ay yC C取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。注注：当图乘法

20、的适用条件不满足时的处理方法：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a)a)曲杆或曲杆或EI=EIEI=EI（x x）时，只能用积分法求位移；时，只能用积分法求位移；表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a a）EIEI=常数；等截面直杆；常数；等截面直杆；b b）两个弯矩图至少有一个是直线。两个弯矩图至少有一个是直线。c c）竖标竖标y yC C应取自直线图应取自直线图中，对应另一图形的形心处。中，对应另一图形的形心处。b)b)当当EIEI分段为常数或分段为常数或M M、MpMp均非直线时，应分段图乘再叠均非直线时，应分段图乘

21、再叠加。加。(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线A=hl/3二次抛物线二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点指曲线切线与杆轴重合或平行该处剪力为零。指曲线切线与杆轴重合或平行该处剪力为零。1.如果两个图形都是直线图形如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其则标距可任取自其中一个图形。中一个图形。3.3.如图形较复杂

22、，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.2,2,如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。应分段考虑。(1)曲曲-折组合折组合单位荷载弯矩图由若干直线段组成时，单位荷载弯矩图由若干直线段组成时，就应该分段图乘。就应该分段图乘。(2)梯梯-梯同侧组合梯同侧组合两个梯形相乘时，不必找出梯形的形心，两个梯形相乘时，不必找出梯形的形心，而将一个梯形分解为两个三角形，然后而将一个梯形分解为两个三角形，然后分别与另一梯形图乘。分别与另一梯形图乘。(3)梯梯-梯异侧组合梯异侧组合ABCDabcd图图图图两个图形都呈直线变化，但均含有不两个图形都呈直

23、线变化，但均含有不同符号的两部分，图乘时也将其中一同符号的两部分，图乘时也将其中一图形分解为三角形。图形分解为三角形。(4)阶梯形截面杆阶梯形截面杆I I1 1I I2 2I I3 3当当EIEI分段为常数时，应分段图乘再叠加分段为常数时，应分段图乘再叠加=+抛物线非标准图形的分解抛物线非标准图形的分解 MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+(5)均布荷载作用区均布荷载作用区段的弯矩图与直线段的弯矩图与直线段图乘。段图乘。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2？结结果果中中

24、的的正正号号表表示示的的实实际际方方向向与与P的方向相同，即竖直向下。的方向相同，即竖直向下。Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？例例.设设 EI 为常数，求为常数，求 和和 。解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图BAq图图CABFP=1图图对吗？对吗？应分段！应分段！CAB图图1（）BAq图图结结果果中中的的负负号号表表示示B 的的实实际际方方向向与与的的方方向向相相反反，即即逆逆时时针针方方向。向。例例.已知已知 EI 为常数

25、，求刚架为常数，求刚架C、D两点距两点距离的改变离的改变 。解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图2A例例.已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A点的竖向位移点的竖向位移 ，并绘出刚架的变形曲线。，并绘出刚架的变形曲线。FP解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：图图EI2EI图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPlFP绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凸方向，注意反弯点的利用。如：图图FPl

26、/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例例.已知已知 EI 为常数，求为常数，求 。ABCq解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图A1图图解法一：解法一：AB结果正确否？结果正确否？?ABC图图A1图图解法二：解法二：ABC结果正确否？结果正确否？?解法三：解法三：A1图图A结果正确否？结果正确否？解法四：解法四：ABC图图A1图图结果正确否？结果正确否？例：试求图示伸臂梁例：试求图示伸臂梁A A端的角位移端的角位移 A A及及C C端的端的竖向位移竖向位移 CVCV。解：解：做出做出MMP P图和图和 图分图分别如图别如图b b、c c所示。所示。将图

27、将图b b与图与图c c相乘则得相乘则得结结果果中中的的负负号号表表示示A 的的实实际际方方向向与与的的方方向向相相反反，即即逆逆时针方向。时针方向。BC段段在在均均布布荷荷载载和和集集中中荷荷载载作作用用下下，其其弯弯矩矩图图不是标准的抛物线图形不是标准的抛物线图形。求cv作 图并相乘则得M=+=+均布荷载按简支梁进行叠加均布荷载按简支梁进行叠加。集中荷载、均布荷载分别做集中荷载、均布荷载分别做弯矩图，然后进行叠加弯矩图，然后进行叠加。例例.已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCFPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCFPaDABC1aD例

28、例.已知已知 CD、BD杆的杆的 和和AC杆的杆的 为常数，为常数，求求 。FPABCDaaa+11aFP+FPFP a解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图例例.已知已知 EI 为常数，求为常数，求 。解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图MPM分解分解6温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 一、关于温度变化的假定一、关于温度变化的假定第一，温度沿杆件长度均匀分布；第一，温度沿杆件长度均匀分布；第二，温度沿截面高度直线变化。第二，温度沿截面高度直线变化。二、静定结构温度变形的特征二、静定结构温度变形的特征 静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形静

29、定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），同样可采用单位荷载法。由于上述（但不产生内力），同样可采用单位荷载法。由于上述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段剪切变形（即微段d=0），同时注意到实际状态的支），同时注意到实际状态的支座位移为零。座位移为零。因此，位移公式可进一步简化为因此，位移公式可进一步简化为 式中，式中，dq q 和和du为实际温度状态下，因材料为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出向变形。只要能求出dq q

30、 和和du的表达式，即的表达式，即可利用上式求得结构的位移。可利用上式求得结构的位移。三、关于三、关于du的计算表达式的计算表达式截取一微段截取一微段ds,截截面变形之后仍保持面变形之后仍保持为平面。其上侧、为平面。其上侧、下侧形心轴处纤维下侧形心轴处纤维伸长分别为伸长分别为du1=at1dsdu2=at2dsdu=at0ds式中，式中，a为材料的温为材料的温度线膨胀系数。度线膨胀系数。图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温度升高，内侧温度升高按几何关系可得中性轴按几何关系可得中性轴温度的变化为温度的变化为当截面对称于形心轴，即当截面对称于形心轴，即 时，则时，则于是，温度

31、变化引起的于是，温度变化引起的微段轴向变形微段轴向变形四、关于四、关于dq q 的计算表达式的计算表达式若令上下边缘温差为若令上下边缘温差为t1t2dsduhh1h2a at1dsa at2dsa at0dsdq q形心轴形心轴则温度引起的微段弯曲变形可表达为则温度引起的微段弯曲变形可表达为 图面积图面积对等对等 截截 面面 直直 杆杆 图面积图面积将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式式中的正、负号：式中的正、负号：温度以升高为正，轴力以拉为正；温度以升高为正，轴力以拉为正；若若 和和

32、使杆件的同一边产生拉伸使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。变形，其乘积为正。对梁和刚架：对梁和刚架：对对 桁桁 架：架：几种情况：几种情况：温度引起的轴向温度引起的轴向变形影响不能少。变形影响不能少。例：例：刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季，试求冬季外侧温度为外侧温度为-10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m实际状态实际状态解：解：构造构造虚拟虚拟状态状态虚拟状态虚拟状态单位荷载内力图为：单位荷载内力图为：图图图图虚拟状态虚拟状态六、静定结构由于制造误差引

33、起的位移计算六、静定结构由于制造误差引起的位移计算 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为误差为D Dl（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为为【例】如图所示结构杆【例】如图所示结构杆DE由于制造误差过长由于制造误差过长 l=2cm，试求铰，试求铰C左右两侧截面左右两侧截面C1、C2的相对转角的相对转角 。解：解：()

34、ABCDEFGABCDEFGC1C2D1E1F1G12m2m2m2m2m11温度温度支座支座多因素下的位移计算一般公式多因素下的位移计算一般公式例例 3：已知：已知Fp作用于作用于BC中点，原室温中点，原室温0，后内侧增，后内侧增温。求温。求实际位移状态实际位移状态CBAllFP=1解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态CBA虚拟力状态虚拟力状态FP=1同时考虑荷载、温度和支座位移的影响同时考虑荷载、温度和支座位移的影响刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力外力所

35、做的所做的虚功虚功总总和和等于零等于零。7 变形体的虚功原理变形体的虚功原理(自学自学)关于变形体虚功原理的表述关于变形体虚功原理的表述变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力外力在虚位移上所在虚位移上所做做虚功虚功总和总和等于等于各微段上各微段上内力内力在其在其变形虚位移变形虚位移上所做上所做虚功虚功总和。或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等总和。或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚变形能）。于虚变形能）。微段总的虚功微段总的虚功 dW总总=

36、dW刚刚+dW变变FPFR1FR2FR3Mqdsdsdsdsdsdsdsg g0g g0dddqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力状态力状态位移状态位移状态对微段的虚位移则区分为刚体虚位移和变形虚位移两类对微段的虚位移则区分为刚体虚位移和变形虚位移两类 变形体虚功原理的变形体虚功原理的的证明的证明dW总总=dW刚刚+dW变变由刚体虚功原理，可知由刚体虚功原理，可知 dW刚刚=0于是，微段上总的虚功于是，微段上总的虚功 dW总总=dW变变 对于全结构，有对于全结构，有 因此，有因此，有 W总总=W变变(b)由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量由于微段上弯矩

37、、轴力和剪力的增量dM、dFN和和dFQ以以及分布荷载及分布荷载q在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为 平衡力系平衡力系位移状态位移状态对于全结构，有对于全结构，有 关于原理的说明关于原理的说明1）虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何）虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。方程（即协调方程）。2）虚功方程是个）虚功方程是个“两用方程两用方程”，具体应用时可有两种形式。，具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果

38、力系是给定的，鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果力系是给定的，则可虚设位移，称为变形体系的则可虚设位移，称为变形体系的虚位移方程虚位移方程，它代表，它代表力系的平力系的平衡方程衡方程，常可用于求力系中的某未知力；如果位移是实有的，常可用于求力系中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系，称为变形体系的则可虚设力系，称为变形体系的虚力方程虚力方程，它代表，它代表几何协调方几何协调方程程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用。绍虚力方程及其应用。3）在推证时，没有涉及到材料性质。因此变形体系的虚功）在推证

39、时，没有涉及到材料性质。因此变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题弹性问题，也适用于，也适用于非弹非弹性问题性问题。4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体体）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功功W变变=0，于是，于是W=0 刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。8 互等定理互等定理 功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 本节讨论的四个普遍定理本节讨论的四个普遍定理

40、互等定理，是采用互等定理，是采用小变形小变形和和线线弹性弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最基本的是虚最基本的是虚功互等定理功互等定理（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的理论虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的理论推导和简化计算中，都有重要作用。推导和简化计算中，都有重要作用。一、功的互等定理一、功的互等定理(虚功互等定理虚功互等定理)表述表述

41、:一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（的位移上所做的外力虚功（W12），等于第二状态的），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（W21）。）。即即:外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态位移状态。证明证明:设有两组外力设有两组外力FP1和和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。第一状态的力在第

42、二状态的位移上做虚功，则根据虚功方第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，则根据虚功方程程W外外=W变变，可得，可得（a）FP1FP2 12 211122第一状态第一状态第二状态第二状态位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得(b)以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有 或写为或写为证毕证毕FP1FP2 12 211122第一状态第一状态第二状态第二状态二、位移互等定理

43、二、位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。是虚功互等定理的一个特殊情况。这就是这就是位移互等定理位移互等定理。它表明：。它表明：第二个单位力引起的第一个单位第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（力的作用点沿其方向的位移（d d12），等于第一个单位力引起的第），等于第一个单位力引起的第二个单位力的作用点沿其方向的位移（二个单位力的作用点沿其方向的位移（d d21）。）。如果图的如果图的FP1和和FP2都是单位力（量纲为都是单位力（量纲为1），相应的位移由），相应的位移由 改为改为d d 表示，则有表示，则有 1122FP1=1FP2=1d d21d d12 须指出的是，这里

44、的单位力及其相应的位移，可以须指出的是，这里的单位力及其相应的位移，可以是是广义力广义力和相应的和相应的广义位移广义位移。即位移互等可以是两个。即位移互等可以是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以是线位移与角位移之间的互等。是线位移与角位移之间的互等。位移互等定理将在位移互等定理将在力法力法计算超静定结构中得到应用。计算超静定结构中得到应用。在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有q q21=d d12。即即FP1=1M=11122d d12q q21l/2l/2三、反力互等定理三、反力互等定理

45、是虚功互等定理的一个特殊情况。是虚功互等定理的一个特殊情况。在图示的两个状态中在图示的两个状态中,根据虚功互等定理，有根据虚功互等定理，有 现在现在 1=2=1，故得故得 1=1 1=1 2=11122R12R21反力互等定理反力互等定理：约束：约束1发生单位位移所引起的约束发生单位位移所引起的约束2的反力的反力（r21），等于约束），等于约束2发生单位位移所引起的约束发生单位位移所引起的约束1的反力的反力（r12）。）。这个定理对结构上任何两个支座都适用，但须注意反力与位移在做这个定理对结构上任何两个支座都适用，但须注意反力与位移在做功的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应角位移。图中，功

46、的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应角位移。图中，r21为反力，为反力，r12为反力偶，虽然含义不同，但此二者在数值上是相等为反力偶，虽然含义不同，但此二者在数值上是相等的，量纲也相同。的，量纲也相同。反力互等定理将在反力互等定理将在位移法位移法计算超静定结构中得到应用。计算超静定结构中得到应用。1=1 1=1 2=11122r12r21四、反力与位移互等定理四、反力与位移互等定理是虚功互等定理的又一特殊情况是虚功互等定理的又一特殊情况对上述两个状态应用虚功互等定理，其中对上述两个状态应用虚功互等定理，其中而而 因此，由虚功互等定理因此，由虚功互等定理W12=W21，恒有，恒有 2=1 2

47、=1d d121122R21FP=1现在现在 2=1，FP1=1，故，故 反力与位移互等定理反力与位移互等定理：单位力所引起结构某支座反力单位力所引起结构某支座反力（R21），等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的），等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的作用点引起方向的位移（作用点引起方向的位移（d d12），但符号相反。），但符号相反。反力与位移互等定理将在反力与位移互等定理将在混合法混合法计算超静定结构中得到应计算超静定结构中得到应用。用。小小 结结一、结构位移及变形的概念：位移是指结构某点（某截面）位置相对于原始位置的改变。变形两截面间的相对位移；二、弹性变形体的虚功原理：外力虚功内力虚功；五、弹性体的几个互等定理：功的互等定理：位移互等定理：反力互等定理：三、单位荷载法求结构位移：单位荷载的设置；四、结构位移计算的一般公式：作作 业业5-205-23