虚功原理与结构位移计算.pptx

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1、一、结构的变形与位移变形结构原有形状的改变。位移结构上各点的移动和杆件截面的转动。qADA线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等统称为广义位移。线位移角位移相对线位移CDFPAD相对角位移4.1 4.1 4.1 4.1 概概概概 述述述述第1页/共95页二、位移产生的原因 刚度校核的需要吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。施工的要求荷载作用、温度变化、支座移动等各种外部作用。三、结构位移计算的目的 4.1 4.1 4.1 4.1 概概概概 述述述述第2页/共95页四、本章位移计算的基本假设 线弹性 小变形线性变形体系位移

2、与荷载成比例的体系。叠加原理适用位移计算的理论基础虚功原理位移与荷载成比例 超静定结构分析以及结构动力分析、稳定分析等的基础。三、结构位移计算的目的 刚度校核的需要 施工的要求4.1 4.1 4.1 4.1 概概概概 述述述述第3页/共95页4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功一、实功与虚功 a功力与沿力的方向的位移的乘积。虚功广义力与广义位移无关时所作的功。实功广义力在自身所产生的位移上所作的功。实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。广义力功的表达式中，与广义位移相对应的项。实功计算和虚功计算具有不同的性质：第4页/

3、共95页二、结构的外力虚功静力状态（k状态）作功的力所处的状态。位移状态（m状态）作功的位移所处的状态。结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。FPk静力状态中结构在k处所方向所受的广义力。Dkm位移状态中结构与FPk相应的广义位移。4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第5页/共95页1）集中力的虚功2）集中力偶的虚功4.2 外力虚功与虚变形功第6页/共95页3）分布力的虚功q均匀分布4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚

4、功与虚变形功第7页/共95页4）等量反向共面二力偶的虚功4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第8页/共95页5）等量反向共线二集中力的虚功4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第9页/共95页三、结构的虚变形功 截面内力分解4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第10页/共95页三、结构的虚变形功 形变位移分解4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外

5、力虚功与虚变形功第11页/共95页三、结构的虚变形功 微段静力状态中截面内力在位移状态的形变位移上所作的虚功为：静力状态k位移状态m4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第12页/共95页三、结构的虚变形功 静力状态k位移状态m略去二阶微量得4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第13页/共95页三、结构的虚变形功 对第i杆件，该虚功为：对整个杆系结构，该虚功为：结构的虚变形功 静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移上所作的虚功之总和。4.2

6、4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第14页/共95页 结构的虚变形功静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移上所作的虚功之总和。结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。4.2 4.2 4.2 4.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功第15页/共95页一、虚功原理 位移协调系：在结构的边界和内部都必须是分段光滑连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。(位移状态m)静力平衡系：满足结构整体和局部平衡条件以及静力边界条件

7、，并遵循作用和反作用定律的力系。(静力状态k)虚功原理：设一变形体系，存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调系，让静力平衡系中的力在位移协调系中的位移上作功，则体系的总外力虚功恒等于体系的总虚变形功。W=U外力虚功虚变形功虚功方程4.3 4.3 4.3 4.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理第16页/共95页杆系结构的虚功方程一、虚功原理FPk、FNk、FQk、Mk静力平衡系中的外力和内力。Dkm、em、gm、位移协调系中的位移与变形。其中：可以单根直杆为例加以证明4.3 4.3 4.3 4.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理

8、第17页/共95页二、虚功原理的讨论(1)虚功原理实际上综合反映了静力平衡条件（平衡方程）和变形协调条件（几何方程）。(2)适用线性、非线性、小变形问题；只要求力系是平衡的，位移系是协调且微小的。(3)静力平衡系和位移协调系是彼此独立无关的。应用二：虚设力系，利用虚功原理解决真实位移系的几何问题（求未知位移）。应用一：虚设位移系，利用虚功原理解决真实力系的平衡问题（求未知力）。4.3 4.3 4.3 4.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理第18页/共95页杆系结构的虚功方程一、虚位移原理与单位位移法力系真实的位移系虚拟的 虚位移原理：变形体系在力系作用下成平衡

9、的必要与充分条件是：对任意虚拟的位移协调系(即虚位移)，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第19页/共95页 单位位移法 求解步骤：(1)解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态；(2)沿所求约束力的方向给以一单位虚位移，得m状态；(3)由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。杆系结构的虚功方程一、虚位移原理与单位位移法力系真实的位移系虚拟的4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第20页/共95页解：1、求支座反力FR

10、D静力状态k虚位移状态m（1）解除支座D，代之以约束力FRD，得静力状态k。（2）沿FRD方向给一单位虚位移DDm=1，得虚位移状态k。（3）建立虚功方程FRD10FRD0U=0？例：用单位位移法求支座D的反力和截面E的弯矩。4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第21页/共95页解：2、求截面E的弯矩ME静力状态k虚位移状态m（1）将截面E换成铰，解除抗弯约束，代之以约束力ME，得静力状态k。（2）沿ME正方向给一单位虚位移（相对转角）qEm=1，得虚位移状态k。（3）建立虚功方程U=0()4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原

11、理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第22页/共95页杆系结构的虚功方程4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用二、虚力原理与单位荷载法 虚力原理：变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的必要与充分条件是：对任意虚拟的静力平衡系，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。位移系真实的力系虚拟的第23页/共95页 单位荷载法 求解步骤：(1)沿所要求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k；(2)根据虚拟静力状态k与实际位移状态m，由虚力原理建立虚功方程，计算所要求位移。杆系结构的虚功方程二、虚力原理与单位荷载法位

12、移系真实的力系虚拟的4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第24页/共95页解：虚力状态k位移状态m（1）虚设一竖向单位力FPC=1作用于铰C，得虚力状态k。（2）建立虚功方程U0例：用单位荷载法求图示两跨静定梁由于支座B向下移动 时，中间铰结点C的竖向位移 。4.4 4.4 4.4 4.4 虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用虚功原理的应用第25页/共95页KK4.5 4.5 4.5 4.5 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式虚功方程为：c2mKKKt2t1c1m位移状态m虚力状态k

13、第26页/共95页一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线弹性、非线弹性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。4.5 4.5 4.5 4.5 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式第27页/共95页4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算实际荷载作用下的形变位移对线弹性结构，有轴力项剪力项弯

14、矩项这里，l是切应力不均匀系数，对矩形截面l=6/5；圆形截面l=10/9第28页/共95页例1 求刚架A点的竖向位移。解：位移状态m 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：虚力状态k 构造虚力状态k4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第29页/共95页荷载内力图1xxlx1单位内力图qxxqlqlx轴力 以拉力为正；剪力 使微段顺时针转动者为正；弯矩 使杆件同侧纤维受拉时，正负号相同。4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结

15、构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第30页/共95页轴力项剪力项弯矩项引入符号将内力方程代入公式 ，有：讨论：记 ，4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第31页/共95页问题：的取值范围是什么？设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：取 ，有：4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第32页/共95页因此，对受弯细长杆件,通常略去FN,FQ的影响。取 ，则：即：4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算

16、荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第33页/共95页一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：2.对桁架：3.对组合结构：受弯杆拉压杆4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第34页/共95页例2 求图示四分之一圆弧曲梁自由端的角位移与线位移。解：1、角位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造虚力状态（3）计算位移4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第3

17、5页/共95页2、竖向线位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造虚力状态（3）计算位移4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第36页/共95页3、水平线位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造虚力状态（3）计算位移自由端总的线位移4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第37页/共95页例 3：求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移。设E=2100kN/cm2，右半部分杆旁数值为杆的横截面积A（

18、cm2）。解：位移状态m虚力状态k实际荷载作用下的状态为位移状态m；-55.628.520-60404040kN40kN00.707-0.7070.707-0.7070-1.0-1.00.50.50.50.5000.50.5FNP(kN)桁架位移计算公式计算桁架在实际荷载和虚单位力作用下的轴力FNP和 构造虚力状态k4.6 4.6 4.6 4.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算第38页/共95页第39页/共95页例:1)求A点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.讨论：虚力状态（单位力状

19、态）的确定2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角第40页/共95页试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)FPk=1FPk=1FPk=1BA(b)讨论：虚力状态（单位力状态）的确定第41页/共95页试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(c)第42页/共95页FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(d)第43页/共95页C(e)FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定第44页/共95页(f)ABFPk=1FPk=1

20、试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定第45页/共95页4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移1、均质等截面直杆；2、位移状态内力图（荷载内力图）与静力状态内力图（单位内力图）中，至少有一个图形是直线变化。若以上两个条件满足，则可将位移计算公式中的积分计算换成用内力图的一些相关量相乘来计算。图乘法第46页/共95页SyMPMP图dWAB4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第47页/共95页荷载作用下位移计算公式必须

21、注意适用条件1、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是直线变化。4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第48页/共95页几种常见图形的面积与形心位置（熟记）几种常见图形的面积与形心位置（熟记）4.7 图乘法计算结构的位移第49页/共95页几种常见图形的面积与形心位置（熟记）几种常见图形的面积与形心位置（熟记）切点切点指曲线在该点的切线与基线重合或平行4.7 图乘法计算结构的位移“标准抛物线标准抛物线”第50页/共95页几种常见图形的面积与形心位置（熟记）几种常见图形的面积与形心位置（熟记）切点CC

22、切点4.7 图乘法计算结构的位移第51页/共95页简单图形相乘结果（熟记）简单图形相乘结果（熟记）ycycyc4.7 图乘法计算结构的位移第52页/共95页简单图形相乘结果（熟记）简单图形相乘结果（熟记）ycycyc4.7 图乘法计算结构的位移第53页/共95页图乘法应用中注意点图乘法应用中注意点注意应用条件；面积W为曲线图形的面积，坐标yc取自直线图形，而且是W的形心所对应的竖标；当W与yc在杆轴同侧时，相乘结果为正，异侧相乘结果为负。（对剪力图和轴力图则是同号为正、异号为负）两图形相乘后要除以杆段的相应刚度。若直线图形是由若干个直线段组成，则相乘时应分段图乘。复杂图形可分为几个简单图形的叠

23、加。4.7 图乘法计算结构的位移第54页/共95页W1y1W2y2W3y3MP4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第55页/共95页W1y1W2y2MPW1y1W2y24.7 图乘法计算结构的位移第56页/共95页图解：1、求DCyCABFP=1图对吗？对吗？例 1.设 EI 为常数，求 和 。（1）建立静力状态（2）作荷载内力图和单位荷载内力图（3）图乘BAqC应分段！应分段！应分段！应分段！4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第57页/共9

24、5页BAq图（）图1CAB12、求qB（1）建立静力状态（2）作荷载内力图和单位荷载内力图（3）图乘4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第58页/共95页例2 已知AB和BC的截面惯性矩分别为I和1.2I，求图示刚架在荷载作用下C点的水平位移DCP。解：1、建立虚力状态 2、作MP图、图4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第59页/共95页 2、作MP图、图4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的

25、位移图乘法计算结构的位移第60页/共95页 2、作MP图、图3、图乘4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第61页/共95页W4W3W1W2y3=4my4=3my1=4my2=3m4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第62页/共95页例 3.已知 EI、EA为常数，求 。1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1解：1、建立虚力状态2.02.08.08.968.96-4.0-4.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0

26、-1.0 2、作MP、FNP 图及 、图 3、图乘4.7 图乘法计算结构的位移第63页/共95页1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1 3、图乘2.02.08.08.968.96-4.0-4.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0-1.04.7 图乘法计算结构的位移第64页/共95页例 4.已知 EI 为常数，求 。ABCqABC图A1图解：1、建立虚力状态 2、作MP图、图 3、图乘4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第65页/共95页A1图一种算法一种算法ABC结果正确否？?4.7

27、 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第66页/共95页解法一qABC图qABC图4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第67页/共95页解法二A1图AABC图4.7 4.7 4.7 4.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移第68页/共95页 静定结构中支座移动不产生内力和变形，只有刚体位移。4.8 4.8 4.8 4.8 支座移动时静定结构位移计算支座移动时静定结构位移计算支座移动时静定结构位移计算支座移

28、动时静定结构位移计算即：所以其中，为虚力状态的支座反力，以与cim方向相同为正。第69页/共95页例：图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一间距a，试求铰C左、右两截面的相对转角j。解：（2）求虚力状态的支座反力（3）计算位移位移状态m虚力状态k()（1）建立虚力状态4.8 4.8 4.8 4.8 支座移动时静定结构位移计算支座移动时静定结构位移计算支座移动时静定结构位移计算支座移动时静定结构位移计算第70页/共95页4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算 静定结构中温度改变不产生内力，

29、但材料的自由膨胀或收缩将引起变形和位移。已知杆件上、下边缘的温度变化为t1、t2，设温度沿杆件截面高度按线性分布，则上、下边缘的温差为：杆轴温度为：矩形横截面第71页/共95页温度变化时，微段的形变位移为：线膨胀系数由于温度变化时不引起切应变，故：代入公式，可得4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算第72页/共95页 图面积 图面积等截面直杆沿杆长温度变化相同4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算第7

30、3页/共95页正、负号规定：1、温度变化t1、t2以升高为正；对梁和刚架：对 桁 架：几种情况：2、轴力 以拉为正；3、弯矩 以使t2侧受拉为正。温度引起的轴向变形影响不能少。4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算第74页/共95页例：图示结构，外侧温度升高t1=+10，内侧温度升高t2=+20 ，线膨胀系数a=12010-7/，矩形截面高度h=20cm，求C点的竖向位移。解：（1）建立虚力状态（2）作 、图4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改

31、变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算第75页/共95页解：（1）建立虚力状态（3）计算位移（2）作 、图t0=15，Dt=10（）4.9 4.9 4.9 4.9 温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算温度改变时静定结构位移计算第76页/共95页4.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理2第 II 状态第 状态状态：内力FN1、FQ1、M1，变形状态：内力FN2、FQ2、M2，变形以 状态为静力状态，状态为位移状态，由虚功原理1、虚功互等定理第77页/共95页以

32、 状态为静力状态，状态 为位移状态对线性变形体，有W12=W214.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第78页/共95页W12=W21 在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I I I 状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上状态位移上状态位移上状态位移上所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所做虚状态位移

33、上所做虚状态位移上所做虚状态位移上所做虚功。功。功。功。虚功互等定理虚功互等定理2第 II 状态第 状态4.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第79页/共95页2第 II 状态状态、状态都只受一个单位力作用由虚功互等定理，得2、位移互等定理第 状态 在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二

34、个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位移互等定理位移互等定理4.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第80页/共95页状态：支座1发生单位位移由虚功互等定理，得3、反力互等定理 在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座1 1 1 1由于支座由于支座由于支座由于支座2 2 2 2发生单位位移所发生单位位移所发生单

35、位位移所发生单位位移所引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座2 2 2 2由于支座由于支座由于支座由于支座1 1 1 1发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起的反力。的反力。的反力。的反力。反力互等定理反力互等定理k21k12状态：支座2发生单位位移4.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第81页/共95页状态：只受单位力FP2=1作用，设在支座1引起约束反力k12由虚功互等定理，得4、反力位移互等定理 在线性变形体系中，由

36、于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。反力位移互等定理反力位移互等定理状态：支座1发生与k12相应的单位位移，设产生与FP2相应的位移d21FP2=1k124.10 4.10 4.10

37、4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第82页/共95页1ECB0.30.40.3DAFDECBAF80kN50kN60kNl2llll(a)(b)利用虚功互等定理，有()再利用平衡条件，可得FRFFHAFRDFVA4.10 4.10 4.10 4.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理第83页/共95页第84页/共95页第85页/共95页第86页/共95页第87页/共95页FP1在D11上所作的功为实功FDFP1D11k1FP1在D12上所作的功为虚功第88页/共95页静力状态k 位移状态m 虚功方程第89页/共95页考察静力平衡系 静力边界条件为：取微段dx，受力如图略去二阶以上微量后，得静力平衡方程第90页/共95页考察位移协调系 位移边界条件为：取微段dx，变形如图位移协调方程（几何方程）为第91页/共95页由静力平衡方程得 第92页/共95页静力边界条件位移边界条件WU第93页/共95页若从变形协调条件(几何方程)出发也可导出虚功方程 再利用边界条件和静力平衡方程即可导出虚功方程。自行推导！第94页/共95页2023/3/13扬州大学水利科学与工程学院95感谢您的观看！第95页/共95页