虚功原理和结构的位移计算精.ppt

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1、虚功原理和结构的位移计算第1页，本讲稿共63页9-1 位移计算概述一、静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用ABCABC第2页，本讲稿共63页2.广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。A、B截面竖向位移之和 A、B截面相对竖向位移AB(a)支座B下沉ABCC温度变化ABCC第3页，本讲稿共63页qABAB(b)(c)A、B截面相对竖向位移 A、B截面相对水平位移第4页，本讲稿共63页(e)(d)AlB 为AB杆转角A 为

2、A左、右截面相对转角第5页，本讲稿共63页一、虚功 力P在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上 ，则两截面1、2之位移分别为 、。然后加 ，则1、2截面产生新的位移 。P1P2129-2 虚功和虚功原理第6页，本讲稿共63页实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。P1P212第7页，本讲稿共63页二、变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。第8页，本讲稿共63页下面讨论W及Wi 的具体表达式。条件 (1）存在两种状态：第

3、一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。(2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。(3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。第9页，本讲稿共63页第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）第10页，本讲稿共63页外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：第11页，本讲稿共63页根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：第12页，本讲稿共63页小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非

4、杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)第13页，本讲稿共63页 变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。所以 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为：9-3 单位荷载法计算位移和位移计算一般公式第14页，本讲稿共63页 下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移、变形虚设平衡力系ABC1.欲求 ，则在C截面加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。ABC

5、第15页，本讲稿共63页2.位移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移给定的位移和变形。力和位移无关。3.小结 单位载荷 在结构中产生的内力和支座反力，、第16页，本讲稿共63页一、荷载作用在下位移的计算公式及计算位移的步骤一、荷载作用在下位移的计算公式及计算位移的步骤 虚设平衡力系CABDP=1给定位移、变形 求下图示结构在荷载作用下的位移 。PCABqD,0,DH,DV,D(MP,QP,NP)D9-4 荷载作用下的位移计算第17页，本讲稿共63页 若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。在荷载作用下，应变 与内力 的关系式

6、如下：（式中k为剪应力不均匀系数）第18页，本讲稿共63页正负号规则：1）不规定 和 的正负号，只规定乘积的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MP正MP负MP第19页，本讲稿共63页2）和 以拉力为正，压力为负；3）和 的正负号见下图。求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；利用位移计算一般公式求位移。第20页，本讲稿共63页二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的

7、影响不容忽略。对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。第21页，本讲稿共63页2.桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构用于弯曲杆用于二力杆第22页，本讲稿共63页例9-1 求简支梁中点竖向位移 ，并讨论剪切变形对位移的影响。qxAMPQPql/2xA0.5ABCl/2l/2P=1ABqCl/2l/2第23页，本讲稿共63页解：第24页，本讲稿共63页 若杆截面为矩形，则k=1.2；又=1/3，则E/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则 h/l=1/2，则可见，剪切变形的影响不能忽略。第25

8、页，本讲稿共63页9-5 图乘法 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分 改写成。第26页，本讲稿共63页Mi图yxMk图d=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgxx0ABy0第27页，本讲稿共63页说明：(1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。(2）y0与的取值：y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。(3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0

9、取负号。第28页，本讲稿共63页二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线hl二次抛物线h二次抛物线3l/4l/4h5l/83l/8二次抛物线h第29页，本讲稿共63页三、图乘法举例 运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/3第30页，本讲稿共63页 分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。ABCDABCDMP第31页，本讲稿共63页分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。ABABMP1MP2第32页，本讲稿共63页例9-2 求 。解：作 图 图，如上图所示。分段：，分为AC、CB两段。分

10、块：图的CB段分为两块。MPACBEI1EI21231PCBy1y2y3EI1EI2A第33页，本讲稿共63页 此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC段即可。CBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-PACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11第34页，本讲稿共63页例9-3 求 ,EI等于常数。解：作 图 图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MP2y2y1第35页，本讲稿共63页 如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。16A4

11、C84图例9-4 求 ,EI等于常数。作 图 图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC第36页，本讲稿共63页1/21y12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)第37页，本讲稿共63页例9-5 求 ,EI等于常数。解：作 图及 图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)第38页，本讲稿共63页1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)

12、第39页，本讲稿共63页例9-6 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。第40页，本讲稿共63页42y3=4121MP图(kN.m)2m2y22y1图13A BC4第41页，本讲稿共63页 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值9-6 温度作用时的位移计算第42页，本讲稿共63页 2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，。hb杆轴线处温度改变值 ：h1h2ht1t2dsh1h

13、2ht1t2t2-t1dt第43页，本讲稿共63页3.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式第44页，本讲稿共63页小结：(1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。(2）第45页，本讲稿共63页例9-7 求图示刚架C截面水平位移 。已知杆件线 膨胀系数为 ，杆件矩形横截面高为h。解：CABdd1CAB ddCAB图图第46页，本讲稿共63页第47页，本讲稿共63页9-7 支座移动时的位移计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去 掉。2）若 与 方向相同，则乘积 为正，反之为负。

14、若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变 均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：第48页，本讲稿共63页例9-8 已知刚架支座B向右移动a,求 。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D第49页，本讲稿共63页CADB10.50.5h/dh/d求DHd/2d/22）求CADB1/h1/h00求Cd/2d/2113）求CABhd/2d/2aD第50页，本讲稿共63页9-8 线性变形体的互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、一、功的互等定理功的互等定理功的互

15、等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I第51页，本讲稿共63页令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I第52页，本讲稿共63页 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即第53页，本讲稿共63页定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、二、位移互等定理位移互等定理定理 在任一线性变形体系中，由荷载P1引起的与荷载P2相应的位移影响系数 等于由荷载P2引起的与荷载P1相应的位移影响系数 。即即

16、第54页，本讲稿共63页由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力Pj的比值是一个常数，记作 ，即：或于是所以状态II12状态I12第55页，本讲稿共63页1212说明：(1)也称为柔度系数，即单位力产生的位移。i 产生位移的方位；j 产生位移的原因。(2)P1和P2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的 和 就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。第56页，本讲稿共63页例9-9 验证位移互等定理。解：a/2a/21EIP1=F212a/2a/21EIP2=M122FFa/

17、4M11a/41/2M/2第57页，本讲稿共63页所以例9-10 验证位移互等定理。4m1m1EIP1=5kN.m2124m1m1EIP2=3kN212第58页，本讲稿共63页解：所以153111第59页，本讲稿共63页三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1R21R11状态I12C2R22R12状态II根据功的互等定理有：第60页，本讲稿共63页 在线性变形体系中，反力Rij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。i 产生支座反力的方位；j 产生支座移动的支座。第61页，本讲稿共63页例9-11 验证反力互等定理。可见：r12=r21定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。12EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2第62页，本讲稿共63页本章小结本章小结(1)虚功原理是力学中的基本原理。(2)位移计算的基本方法是单位荷载法。(3)荷载作用下的位移计算。(4)图乘法。(5)互等定理是力学分析中的基本定理。第63页，本讲稿共63页