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1、1、变形与位移变形与位移变形：变形：在荷载等因素作在荷载等因素作用下，结构杆件形状用下，结构杆件形状发生改变称为变形。发生改变称为变形。位位移移：结结构构变变形形时时，结结构构上上某某点点位位置置的的移移动动或或某某个个截截面面产产生生移移动动或或转转动动称称为为结结构构的的位位移。移。位移的分类位移的分类线位移（水平、竖向）：线位移（水平、竖向）：指指结结构构上上某某点点沿沿直直线线方方向移动的距离；向移动的距离；相对位移：相对位移：结构中某点相对结构中另外结构中某点相对结构中另外一些点变形后与变形前位置一些点变形后与变形前位置改变量。改变量。绝对位移：绝对位移：指结构中某点相对于地球的指结
2、构中某点相对于地球的位置的位置的 改变改变;角位移：角位移：指结构上某截面指结构上某截面 转动的角度；转动的角度；2、位移计算的目的、位移计算的目的（1）验算结构的刚度）验算结构的刚度（2）为超静定结构计算打基础）为超静定结构计算打基础（3）为工程施工控制变形提供理论依据）为工程施工控制变形提供理论依据3、产生位移的原因、产生位移的原因（1）荷载作用）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差）支座沉降和制造误差4、计算位移的基本假设：、计算位移的基本假设：（1）结构的材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关）结构的材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系；系；
3、（2）结构变形微小，不致影响力的作用（建立平衡方程）结构变形微小，不致影响力的作用（建立平衡方程时可忽略结构的变形，而仍然应用结构变形前的几时可忽略结构的变形，而仍然应用结构变形前的几何尺寸，同时由于变形微小，应变与位移成线性关何尺寸，同时由于变形微小，应变与位移成线性关系）。系）。（3）结构各部分之间理想联结，不需考虑摩擦阻力；）结构各部分之间理想联结，不需考虑摩擦阻力；对线性变形体系的计算，可以应用叠加原理。对线性变形体系的计算，可以应用叠加原理。W=PW_功功P_广义力广义力_与与P相应的位移相应的位移称广义位移称广义位移一、功一、功一个不变的力所一个不变的力所作的功等于该力的大小作的功
4、等于该力的大小与其作用点沿力方向相与其作用点沿力方向相应位移的乘积。应位移的乘积。广义力与相应的广义位移广义力与相应的广义位移二、虚功二、虚功当作功的力与其相应的位移彼此独立无关时当作功的力与其相应的位移彼此独立无关时就把这种功称做虚功。就把这种功称做虚功。即：经历的位移不是P所产生的。那么，虚功中的两个因素可看成是分别属于同一结构的两种状态（即力状态和位移状态）力状态力状态力状态力状态位移状态位移状态位移状态位移状态注意：注意：1、属同一体系；、属同一体系；2、均为可能状态。即、均为可能状态。即位移应满足变形协位移应满足变形协调条件；力状态应调条件；力状态应满足平衡条件；满足平衡条件；3、位
5、移状态与力状态、位移状态与力状态完全完全无关基本概念基本概念1、刚体体系：、刚体体系：当体系在位移过程中，当体系在位移过程中，不考虑材料的应变，各杆只发生刚体运不考虑材料的应变，各杆只发生刚体运动时，体系属刚体体系。动时，体系属刚体体系。指作用在结构指作用在结构上的外力（包括上的外力（包括荷载、支承反力）荷载、支承反力）所作的虚功所作的虚功,用用We表示。表示。力状态力状态力状态力状态位移状态位移状态位移状态位移状态2、外力虚功、外力虚功一、刚体体系的虚功原理一、刚体体系的虚功原理力状态力状态力状态力状态位移状态位移状态位移状态位移状态刚体体系在任意平衡力刚体体系在任意平衡力系作用下处于平衡（
6、力系作用下处于平衡（力状态），而该刚体体系状态），而该刚体体系又由于又由于别的原因别的原因产生符产生符合约束条件的微小的连合约束条件的微小的连续变形（位移状态）续变形（位移状态）则则力状态的外力在位移状力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功态的位移上所作的虚功总和恒等于零总和恒等于零。二、刚体体系虚功原理的两种应用二、刚体体系虚功原理的两种应用第一种应用：求静定结构的未知约束力第一种应用：求静定结构的未知约束力在在给定的力状态给定的力状态与与虚设的可能位移状态虚设的可能位移状态之间应之间应用刚体体系的虚功原理求未知力这种形式的应用称用刚体体系的虚功原理求未知力这种形式的应用称虚位移原理。虚位
7、移原理。即虚设位移状态，求未知力即虚设位移状态，求未知力第二种应用：求静定结构的位移第二种应用：求静定结构的位移在在给定的位移状态给定的位移状态与与虚设的力状态虚设的力状态之间应用刚之间应用刚体体系的虚功原理求位移这种形式的应用称虚力原体体系的虚功原理求位移这种形式的应用称虚力原理。理。即虚设力状态，求位移即虚设力状态，求位移（一）（一）虚位移原理的应用虚位移原理的应用（即虚设位移，求力）（即虚设位移，求力）虚功方程注：所得结注：所得结果为正，表果为正，表明力与虚设明力与虚设位移方向相位移方向相同同称单位位移法称单位位移法应用虚功原理求静定结构的应用虚功原理求静定结构的Q Q力力(单位位移法单
8、位位移法)1 1、撤除与、撤除与X X相应的约束，以约相应的约束，以约束反力代之；束反力代之；2 2、使之产生虚位移，建立、使之产生虚位移，建立虚功方程；虚功方程；为了计算方便，沿为了计算方便，沿X X方方向的位移可虚设计单位向的位移可虚设计单位位移，则虚功方程为：位移，则虚功方程为：例例9-1：试求图：试求图示静定多跨梁示静定多跨梁截面截面G处弯矩处弯矩MG解：求截面解：求截面G G的的弯矩弯矩M MG G1 1、变形体体系、变形体体系 当体系在变形过程中，不但各杆当体系在变形过程中，不但各杆发生刚体运动，内部材料同时也产生发生刚体运动，内部材料同时也产生应变。应变。2 2、内力虚功、内力虚
9、功 指力状态的内力因位移状态的相对指力状态的内力因位移状态的相对变形而作的虚功用变形而作的虚功用W Wi i表示。表示。内力虚功的表达式内力虚功的表达式微段变形上所作的内力虚功对于梁对于梁ABAB对于杆件体系对于杆件体系略去高阶微量得：略去高阶微量得：3、变形体体系虚功原理、变形体体系虚功原理体系在任意平衡力系作用下给体系以几何体系在任意平衡力系作用下给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所作的虚功总和变形上所作的虚功总和。即：即：体系的外力虚功体系的外力虚功体系
10、的内力虚功体系的内力虚功虚功方程虚功方程因为：所以：在一给定的变形在一给定的变形状态下，要求其状态下，要求其某点的位移，在某点的位移，在拟求位移的方向拟求位移的方向虚设一个相应的虚设一个相应的单位荷载单位荷载P=1P=1，在这个虚设的力在这个虚设的力状态与给定的位状态与给定的位移状态之间应用移状态之间应用变形体体系的虚变形体体系的虚功原理求位移。功原理求位移。如果结构除各微段变形外，如果结构除各微段变形外，在支座处还有给定位移在支座处还有给定位移Ck位移计算位移计算的一般公式的一般公式变形体体系虚变形体体系虚功原理的应用：功原理的应用：单位荷载法单位荷载法结构位移计算的一般步骤结构位移计算的一
11、般步骤（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求 出结构内力出结构内力 、和支座反力和支座反力（3）根据公式（）根据公式（9-7）求位移）求位移（1）沿拟求位移）沿拟求位移的方向虚设单位荷载的方向虚设单位荷载P=19.4.1荷载作用下位移计算公式及计算位移的步骤 例9-3 试求图9-10a所示悬梁臂梁A端的竖向位移 ，并比较弯曲变形与剪力变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。任意截面x内力为：实际荷载虚设单位荷载求图示桁架C点的竖向位移解：（1）在C点加P=1；（2）求 如图（b）;（3）求 如图（C）；（4）求）求在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方
12、便不方便.下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?A面积矩例例.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:MPMi1 1、应用条件、应用条件、应用条件、应用条件：杆段应是等截面直杆段，两个图形中至少应有一个直线图形，标距yc应取自直线图中。2 2、正负规定、正负规定、正负规定、正负规定：面积A与标距yc在杆的同一边时，乘积A yc应 取正；A与标距yc在杆的不同边时取负号。图图（）图图BAq例例:求图示
13、梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:例例.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:MPCh二次抛物线二次抛物线A求求MP求求MP当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取哪取哪个图形的面积均可个图形的面积均可.MP求求取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.能用能用 图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?求求MP1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.
14、若若与与在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.求求MP求求C截面竖向位移截面竖向位移MP例例1.图示梁图示梁EI为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MPl/2ql/2MP例例2.图示梁图示梁EI为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MP例例1.已知已知EI为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP求求B点水平位移。点水平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯
15、矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有也可由几何关系求得）。有例例1：求：求CBAFP=1虚拟力状态虚拟力状态解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态实际位移状态实际位移状态CBAll解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态()FAyFAx例例2：已知：已知l=12m,h=8m,求求当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤设支座设支座K有给定位移有给定位移CK
16、，且，且K=1,2,n。（1）沿拟求位移）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力载，并求出单位荷载作用下的支座反力（2 2）由虚功方程解出拟求位移）由虚功方程解出拟求位移互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件：互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件：（1）材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；）材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；（2）结构变形很小，不影响力的作用。）结构变形很小，不影响力的作用。由虚功原理由虚功原理2第第II状态状态第第I状态状态1.功的互等定理功的互等定理:在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中
17、，I I I I 状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上状态位移上状态位移上状态位移上所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所状态位移上所状态位移上所状态位移上所做虚功。做虚功。做虚功。做虚功。功的互等定理功的互等定理2.位移互等定理位移互等定理:2第第II状态状态第第I状态状态2第第II状态状态第第I状态状态单位广义力单位广义力单位广义力单位广义力1 1引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力2 2作用处
18、沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力2 2方方方方向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力2 2引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力1 1作作作作用处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力1 1方向的位移方向的位移方向的位移方向的位移。-位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理2第第II状态状态第第I状态状态单位广义力是量纲唯一的量单位广义力是量纲唯一的量；互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同。如图示长如图示长l，EI为常数的简支梁为常数的简支
19、梁第第II状态状态ACB第第I状态状态ACB跨中跨中数值、量纲都相等数值、量纲都相等3.反力互等定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：支座支座支座支座 1 1 1 1 发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座2 2 2 2中的反中的反中的反中的反力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座 2 2 2 2 发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支座座座座1 1 1 1中的反力。中的反力。中的反力。中的反力。-反力互等定理反力互等定理4.反力位移互等定理反力位移互等定理:单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。-反力位移互等定理反力位移互等定理作业作业9.19.99.229.239.249.259.30