圆的相似综合题.pdf

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1、相似与圆综合题目练习 2.(2013?湛江)如图，已知 AB 是O O 的直径，P 为O O 外一点，且 OP/BC,/P=Z BAC.(1)求证：PA 为O O 的切线；如图，点 C 是以 AB 为直径的O O 上的一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D.平分/BAD;AC=.不，求O O 的半径长.4.(2013?西宁)如图，O O 是厶 ABC 的外接圆，BC 为O O 直径，作/CAD=/B，且点 D 在BC的延长线上，CE 丄 AD 于占 J 八、(1)(1)求证：AC 与O O 相切.(2)若 BC=6,AB=12，求O O 的面积.E.求证：AD 是O O 的切线;

2、BD 为直径作O O 交 AC 于点 E,连结 DE(2)若 OB=5,OP=_，求 AC 的长.3.(2013?营口)(1)求证：AC(2)若 CD=1,B 7.(2013?黄冈)如图，AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平 分/DAB.(1)求证：DC 为O O 的切线；(2)若O O 的半径为 3,AD=4，求 AC 的长.9.(2013?朝阳)如图，直线 AB 与O O 相切于点 A，直径 DC 的延长线交 AB 于点 B,AB=8,OB=10(1)求O O 的半径.(2)点 E 在O O 上，连接 AE,AC,EC,并

3、且 AE=AC,判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论.(3)求弦 EC 的长.11.(2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且/AFE=/B(1)求证：ADF DEC;(2)若 AB=8,AD=6 7,AF=4，求 AE 的长.12.(2012?岳阳)如图所示，在O O 中，丄八：弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于点 F,连接 BC.2(1)求证：AC=AB?AF;(2)若O O 的半径长为 2cm,/B=60 求图中阴影部分面积.A 14.(2012?陕西

4、)如图，正三角形 ABC 的边长为 3+(1)如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以点 A 为 位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 且使正方形 E F P N 的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形 E FP N 的边长；(3)如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在 边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.3 图 15.(2012?河南)类比、转化、从特殊到一般等思

5、想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补 充完整.原题：如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G若匚3,求5 的值.(1)在图 尝试探究 1 中，过点 E 作 EH/AB 交 BG 于点 H,的值是-.(2)类比延伸 则 AB 和 EH 的数量关系是,CG 和 EH 的数量关系是 如图 2,在原题的条件下,若=m(m0),EF (用含有 m 的代数式表示)，试写出解答 过程.(3)拓展迁移 如图 3，梯形 ABCD 中,DC/AB，点 E 是 BC 的延长线上的一点，AE 和 BD 相交于

6、点 F.若丄=a，乂=b,(a0,CD BE b 0)，则值是(用含 a、b 的代数式表示).图 B G G B E 图1 REC D 3 初中数学组卷 一.解答题(共 15 小题)2.(2013?湛江)如图，已知 AB 是O O 的直径，P 为O O 外一点，且 0P/BC,/P=Z BAC.(1)求证：PA 为O 0 的切线；(2)若 0B=5,0P=1，求 AC 的长.考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.分析：(1)欲证明 PA 为O O 的切线，只需证明 OA丄 AP;(2)通过相似三角形 ABC s PAO 的对应边成比例来求线段 AC 的长度.解答：(1)证明：T

7、AB 是O O 的直径，/ACB=90 /BAC+/B=90 又 OP/BC,/AOP=/B,/BAC+/AOP=90 /P=Z BAC./P+Z AOP=90 由三角形内角和定理知/PAO=90 即 OA 丄 AP.又T OA 是的O O 的半径，PA 为O O 的切线；(2)解：由(1)知，Z PAO=90 /OB=5,OA=OB=5.又 OP,3 在直角 APO 中，根据勾股定理知 PA=Jp02 二。严里,3 由(1)知，Z ACB=Z PAO=90 TZ BAC=Z P,ABC POA,解得 AC=8.即 AC 的长度为 8.点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定

8、与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键.3.（2013?营口）如图，点 C 是以 AB 为直径的O O 上的一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D.（1）求证：AC 平分Z BAD;(2)若 CD=1,AC=，求O O 的半径长.ACPAAC203 一一 一一 ABFO10-253 考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：(1)连接 0C.先由 OA=OC，可得/ACO=/CAO,再由切线的性质得出 0C 丄 CD，根据垂直于同一直线 的两直线平行得到 AD/CO,由平行线的性质得/DAC=/ACO，

9、等量代换后可得/DAC=/CAO，即卩 AC 平分/BAD;(2)解法一：如图 2，过点 O 作 OE 丄 AC 于 E.先在 Rt ADC 中，由勾股定理求出 AD=3，由垂径定 理求出 AE=虫卫，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 AEO ADC，由相似三角形对应边成比例 2 得到塑豐，求出 A0=，即O O 的半径为 5;解法二：如图 2，连接 BC.先在 Rt ADC 中，由勾股 AD_AC 3 3 定理求出 AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 ABC ACD，由相似三角形对应边成比例 得到莖型，求出 AB=25，则O O 的半径为工 ADAC 3 3 解答：(1)证明

10、：连接 OC./OA=OC,/ACO=/CAO./CD 切O O 于 C,OCXCD,又 AD 丄 CD,AD/CO,/DAC=/ACO,/DAC=/CAO,即 AC 平分/BAD;(2)解法一：如图 2，过点 O 作 OE 丄 AC 于 E.在 Rt ADC 中，AD=社疋_严吋(届)2_严 3,/OEX AC,AE=2AC=.2 2/CAO=/DAC，/AEO=/ADC=90 AEO ADC,T I 即 _ _Ll_ 5 5 AO=,即 O O 的半径为.3 3 解法二：如图 2，连接 BC.在 Rt ADC 中，AD=二 一 iQ=m L 广=3./AB 是 O O 直径，/ACB=90

11、 /CAB=/DAC，/ACB=/ADC=90 ABC ACD,飞氓，即二 3 Vio AB=:3 -=；/点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.4.(2013?西宁)如图，O O 是厶 ABC 的外接圆，BC 为O O 直径，作/CAD=/B，且点 D 在 BC 的延长线上，CE 丄 AD 于点 E.(1)求证：AD 是O O 的切线；(2)若O O 的半径为 8,CE=2，求 CD 的长.即O O 的半径为 1 考点：切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质.分析：（1

12、）首先连接 OA,由 BC 为 O O 直径，CE 丄 AD,/CAD=/B,易求得/CAD+/OAC=90 即/OAD=90 则可证得 AD 是O O 的切线;(2)易证得 CED OAD，然后设 CD=x，则 OD=x+8,由相似三角形的对应边成比例，可得方程：丄一二 x+8 3 继而求得答案.解答：(1)证明：连接 OA,-BC 为O O 的直径,/BAC=90 /B+/ACB=90 -OA=OC,/OAC=/OCA,/CAD+/OAC=90,即/OAD=90,OA 丄 AD,点 A 在圆上,AD 是O O 的切线；(2)解：T CE 丄 AD,/CED=/OAD=90 CE/OA,当三

13、CE=2，设 CD=x，贝 U OD=x+8,解得x=；,经检验x=是原分式方程的解,所以 CD=.点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助 线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.5.(2013?绍兴)在 ABC 中，/CAB=90 AD 丄 BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G,点 F 在 BC 上.(1)如图 1,AC:AB=1:2,EF 丄 CB,求证：EF=CD.(2)如图 2,AC:AB=1:二，EF 丄 CE,求 EF:EG 的值.:相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.:

14、压轴题.(1)根据同角的余角相等得出/CAD=/B，根据 AC:AB=1:2 及点 E 为 AB 的中点，得出 AC=BE，再 利用 AAS 证明 ACD BEF，即可得出 EF=CD;(2)作 EH 丄 AD 于 H,EQ 丄 BC 于 Q,先证明四边形 EQDH 是矩形，得出/QEH=90 则/FEQ=/GEH 再由两角对应相等的两三角形相似证明 EFQEGH，得出 EF:EG=EQ:EH，然后在 BEQ 中，根据 正弦函数的定义得出EQ=BE，在 AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=；AE，又BE=AE，进而求出 EF:EG 的值.(1)证明：如图 1,在厶 ABC 中，/CAB=90

15、 AD 丄 BC 于点 D,/CAD=/B=90-Z ACB./AC:AB=1:2,AB=2AC,点 E 为 AB 的中点，AB=2BE,AC=BE.在厶 ACD 与厶 BEF 中，ZCAD-ZB ZADOZB盹=90*,iAC=BE ACD BEF,CD=EF，即 EF=CD;(2)解：如图 2，作 EH 丄 AD 于 H,EQ 丄 BC 于 Q,/EH 丄 AD,EQ 丄 BC,AD 丄 BC,四边形 EQDH 是矩形，/QEH=90 /FEQ=/GEH=90。-/QEG,又/EQF=/EHG=90 EFQEGH,EF:EG=EQ:EH./AC:AB=1:,/CAB=90 /B=30 在厶

16、 BEQ 中，I/BQE=90 sin/B=,BE 2 EQ=BE.2 在厶 AEH 中，V/AHE=90 /AEH=/B=30 /cos/AEH=：白=AE 2 EH=AE.2 点 E 为 AB 的中点，BE=AE,EF:EG=EQ:EH=BE:_AE=1:7.2 2 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综 合性较强，有一定难度解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形 EQDH 是矩形.6.(2013?宁夏)在 RtA ABC 中，/ACB=90 D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径作O O 交 AC 于点 E,连

17、结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F.且 BD=BF.(1)求证：AC 与O O 相切.(2)若 BC=6,AB=12，求O O 的面积.E R C F 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：(1)连接 OE，求出/ODE=/F=/DEO，推出 OE/BC,得出 OE 丄 AC,根据切线的判定推出即可;(2)证厶 AEO ACB，得出关于 r 的方程，求出 r 即可.解答：证明：(1)连接 OE,/OD=OE,/ODE=/OED,/BD=BF,/ODE=/F,/OED=/F,OE/BF,/AEO=/ACB=90 AC 与O O 相切；(2)解：由(1)知/AEO=/ACB，

18、又/A=/A,AOE ABC,OE AO 设O O 的半径为 r，则,6 12 解得：r=4,O O 的面积n 42=16 兀 点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主 要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想.7.(2013?黄冈)如图，AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平 分/DAB.(1)求证：DC 为O O 的切线；(2)若O O 的半径为 3,AD=4，求 AC 的长.考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：(1)连接 OC,由 OA=OC 可以得到/

19、OAC=/OCA，然后利用角平分线的性质可以证明/DAC=/OCA,接着利用平行线的判定即可得到 OC/AD，然后就得到 OC 丄 CD，由此即可证明直线 CD 与O O 相切于 C 占 八、，(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到/ACB=90 又/DAC=/OAC,由此可以得到 ADC ACB,解答：(1)证明：连接 OC OA=OC/OAC=/OCA/AC 平分/DAB/DAC=/OAC/DAC=/OCA OC/AD/AD 丄 CD OC 丄 CD 直线 CD 与O O 相切于点 C;(2)解：连接 BC,则/ACB=90 /DAC=/OAC，/ADC=/ACB=90 ADC ACB,

20、匾 AC ALAB，-2 二 AC=AD?AB,vO O 的半径为 3,AD=4,AB=6,AC=2 7.点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件 证明三角形相似即可解决问题.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，(1)求出三角形全等的条件/1=/E 是 解题的关键，(2)(i)根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的关键，(ii)判断出路径为三角形的中位线 是解题的关键.9.(2013?朝阳)如图，直线 AB 与O O 相切于点 A，直径 DC 的延长线交 AB 于点 B,AB=8,OB=10(1)求O

21、 O 的半径.(2)点 E 在O O 上，连接 AE,AC,EC,并且 AE=AC,判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论.考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.分析：(1)连接 OA，交 EC 于 F，根据切线性质得出/OAB=90 根据勾股定理求出即可；(2)根据 AE=AC 推出弧 AE=弧 AC,根据垂径定理求出 OA 丄 EC,根据平行线判定推出即可;(3)证厶 OFCOAB，求出 FC,根据垂径定理得出 EC=2FC,代入求出即可.解答：(1)解：连接 AO,交 EC 于 F,/AB 切O O 于 A,OA 丄 AB,/OAB=90 在 Rt OA

22、B 中，由勾股定理得：OA=&.丄上一.：=6,答：O O 的半径是 6.(2)直线 EC 与 AB 的位置关系是 EC/AB.证明：v AE=AC,弧 AE=弧 AC,v OA 过 O,OA 丄 EC,v OA 丄 AB,EC/AB.(3)解：v EC/AB,OFCOAB,聖=匹 AB-爲，8 10 FC，5/OA 丄 EC,OA 过 O,EC=2FC=t 点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学 生综合运用性质进行推理的能力.10.(2013?百色)如图，在等腰梯形 ABCD 中，DC/AB,E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，

23、交 BC 于点 F.(1)求证：ABF ECF;(2)如果 AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm，求 CE 的长.考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质.分析：(1)由 两直线平行，内错角相等”推知/B=/ECF，/BAF=/E.则由 两角法”证得结论；(2)利用(1)中的相似三角形的对应边成比例得到=，即-呂二所以 CE=(cm).CE CF CE 2 3 解答：(1)证明：T DC/AB,/B=/ECF，/BAF=/E,ABF ECF.(2)解：在等腰梯形 ABCD 中，AD=BC,AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,BF=3cm.由(1)知，ABF ECF,E 肩=BF

24、即一 g=卫 CE.CE 八(cm).点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质等腰梯形的两腰相等.11.(2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且/AFE=/B(1)求证：ADF DEC;_(2)若 AB=8,AD=6:,AF=4；，求 AE 的长.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.专题：压轴题.分析：(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似 ADF s DEC;(2)利用 ADF DEC，可以求出线段 DE 的长度；然后在在 Rt ADE 中，利用勾股定理求出线

25、段 AE 的长度.解答：(1)证明：T?ABCD,AB/CD,AD/BC,/C+Z B=180 /ADF=/DEC./AFD+Z AFE=180 Z AFE=Z B,Z AFD=Z C.在厶 ADF 与厶 DEC 中，rZAFD=ZC ZADF=ZDEC ADF DEC.(2)解：T?ABCD,CD=AB=8.由(1)知 ADF DEC,型型 DE=如CD=師乂=12 DE=CD，AF 43 在 Rt ADE 中，由勾股定理得：AE=D严-AD 珂1护-(6 伍)=6.点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注 意仔细分析题意，认真计算，避

26、免出错.12.(2012?岳阳)如图所示，在O O 中，丄八弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于点 F,连接 BC.(1)求证：AC2=AB?AF;(2)若O O 的半径长为 2cm,Z B=60 求图中阴影部分面积.考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.专题：几何综合题.分析：r 的两三角形相似可得出 ACF 与厶 ABC 相似，根据相似得比例可得证；(2)连接 OA,0C,禾 U 用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，由Z B 为 60求出Z AOC 为 120过 O 作 0E 垂直于 AC,垂足为点 E,由 OA=OC，利

27、用三线合一得到 OE 为角平分线，可得出Z AOE 为 60在 Rt AOE中，由 0A 及 cos60的值，禾 U 用锐角三角函数定义求出 0E 的长，在 Rt AOE 中，利用勾股定理 求出 AE 的长，进而求出 AC 的长，由扇形 AOC 的面积-AOC 的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形 的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积.解答:Z ACD=Z ABC，又 Z BAC=Z CAF,ACF ABC,=-，即 AC?=AB?AF；AB AC(2)解：连接 OA,OC,过 O 作 OE 丄 AC,垂足为点 E,如图所示：(1)由二 L=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相

28、等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等 TZ ABC=60 /AOC=120 又 OA=OC,/AOE=/COE=1 X120 60 2 在 Rt AOE 中，0A=2cm,OE=OAcos60 1cm,AE=,一：=cm，AC=2AE=2;cm,腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.14.(2012?陕西)如图，正三角形 ABC 的边长为 3+:.(1)如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以点 A 为 位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 且使正方

29、形 E F P N 的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形 E F P N 的边长；(3)如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在 边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.图 位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质.几何综合题；压轴题.(1)利用位似图形的性质，作出正方形 EFPN 的位似正方形 E F PN，如答图所示；(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 E F+AE+BF=AB，列方程求得 正方形 E F P N 的边

30、长；一 q 1(3)设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n(m 务),求得面积和的表达式为：S+(m-n)2 2 2，可见 S 的大小只与 m、n 的差有关：当 m=n 时，S 取得最小值；当 m 最大而 n 最小时，S 取得最大值.m 最大 n 最小的情形见第(1)(2)问.解：(1)如图，正方形 E F P N 即为所求.(2)设正方形 E F P N 的边长为 x,ABC 为正三角形，考点：专解答:则 S 阴影=S 扇形OAC SAOC=1”2-2 23 xi=（聖E cm2-点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关

31、系，等 AE=BF=x.3/E F+AE+BF=AB,x+二 x+_x=3+:,3 3 X=芒二，即 x=3 7-3,23+3(没有分母有理化也对，xP.20 也正确)(3)如图，连接 NE、EP、PN，则/NEP=90 设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n(mi),它们的面积和为 S,则 NEf：Q 厂，PE=_n.2 2 2 22,22、PN=NE+PE=2m+2n=2(m+n).c 2 2 1 2 S=m+nPN,2 延长 PH 交 ND 于点 G,贝 U PG 丄 ND.2 2 2 2 2 在 Rt PGN 中，PN=PG+GN=(m+n)+(m n).n=，化简

32、得 m+n=3.3/AD+DE+EF+BF=AB，即二 m+m+n+3 291(m n)=+_ 2 2 2 1 2 S=3+2 当（m-e 9 S最小=；:当（m 2(m n)=0 时，即 m=n 时，S 最小.2最大时，S 最大.n 最小时，S 最大.即当 m 最大且/m+n=3,由（2）知，m最大=3 二-3.1 2 S最大=9+（m最大一 n最小）:=,9+（3 3 6+3 0 2=99 54；.（S最大-5.47 也正确）2 图 综上所述，S最大=99 54 可 3,S最小=一 圏 点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定

33、的难度本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系第（3）问的要点是求出面积和 S 的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求 S 最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论.15.（2012?河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补 充完整.原题：如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 AR m G.若=3，求一的值.EF CG 3,梯形ABCD中，DC AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和 BD 相交于点 F.若=b，（a0，b 0），则的值是 ab（用含 a、b 的代数式表示）（1）尝试探究 1 中，过点 CD E 作 EH/AB 交 BG 于点 H,3 CG=2EH，士的值是,_.丄 类比延伸 则 AB 和 EH 的数量关系是 AB=3EH,CG 和 EH 的数量关系是(2)如图 2,在原题的条件下，若=m（m0）,则 i 勺值是一（用含有m的代数式表示），试写出解答过程.(3)拓展迁移 如图 D 3