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1、 第1页（共 16 页）武汉大学网络教育入学考试 高等数学模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是(B )A.xye B.1 sinyx C.lnyx D.tanyx 2、函数23()32xf xxx的间断点是(A )A.1,2,3xxx B.3x C.1,2xx D.无间断点 3、设()f x在0 xx处不连续，则()f x在0 xx处(B )A.一定可导 B.必不可导 C.可能可导 D.无极限 4、当x 0时，下列变量中为无穷大量的是（D ）A.sinxx B.2x C.sin xx D.1 sin xx 5、设函数()|f xx，则()f x在0 x 处的导数
2、(0)f(D )A.1 B.1 C.0 D.不存在.6、设0a，则2(2)daafaxx(B )A.0()daf xx B.0()daf xx C.02()daf xx D.02()daf xx 7、曲线23xxye的垂直渐近线方程是(D )A.2x B.3x C.2x 或3x D.不存在 8、设()f x为可导函数，且 000lim22hfxhfxh，则0()fx(C )A.1 B.2 C.4 D.0 9、微分方程 4 0yy的通解是(D )A.4xye B.4xye C.4xyCe D.412xyCC e 10、级数1(1)34nnnn的收敛性结论是（A ）A.发散 B.条件收敛 C.绝对
3、收敛 D.无法判定 11、函数()(1)f xxx的定义域是(D )A.1,)B.(,0 C.(,01,)D.0,1 12、函数()f x在xa处可导，则()f x在xa处()A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 13、极限1lim(1)sinnnen(A )A.0 B.1 C.不存在 D.第2页（共 16 页）14、下列变量中，当x 0时与ln(12)x等价的无穷小量是（B ）A.sin x B.sin2x C.2sin x D.2sin x 15、设函数()f x可导，则0(2)()limhf xhf xh(C )A.()fx B.1()2fx C.2()fx D.
4、0 16、函数32ln3xyx的水平渐近线方程是(C )A.2y B.1y C.3y D.0y 17、定积分0sind xx(D )A.0 B.1 C.D.2 18、已知xysin，则高阶导数(100)y在0 x 处的值为(A )A.0 B.1 C.1 D.100 19、设()yf x为连续的偶函数，则定积分()daaf xx等于(B )A.)(2xaf B.adxxf0)(2 C.0 D.)()(afaf 20、微分方程d1 sindyxx 满足初始条件(0)2y的特解是(D )A.cos1yxx B.cos2yxx C.cos2yxx D.cos3yxx 21、当x 时，下列函数中有极限的
5、是(C )A.sin x B.1xe C.211xx D.arctan x 22、设函数2()45f xxkx，若 381xxfxf，则常数k等于(A )A.1 B.1 C.2 D.2 23、若0lim()xxf x，0lim()xxg x，则下列极限成立的是(D )A.lim()()oxxf xg x B.0lim()()0 xxf xg x C.01lim()()xxf xg x D.0lim()()xxf x g x 24、当x 时，若21sinx与1kx是等价无穷小，则k=（A ）A.2 B.12 C.1 D.3 25、函数()3f xxx在区间0,3上满足罗尔定理的是(D )A.0
6、B.3 C.32 D.2 26、设函数()yfx,则 y(D )第3页（共 16 页）A.()fx B.()fx C.()fx D.()fx 27、定积分()dbaf xx是(A )A.一个常数 B.()f x的一个原函数 C.一个函数族 D.一个非负常数 28、已知naxyxe，则高阶导数()ny(D )A.naxa e B.!n C.!axne D.!naxna e 29、若()()f x dxF xc，则sin(cos)dxfxx等于(D )A.(sin)Fxc B.(sin)Fxc C.(cos)Fxc D.(cos)Fxc 30、微分方程3xyy的通解是(D )A.3cyx B.3y
7、cx C.3cyx D.3cyx 31、函数21,yx(,0 x 的反函数是(C )A.1,1,)yxx B.1,0,)yxx C.1,1,)yxx D.1,1,)yxx 32、当0 x 时，下列函数中为x的高阶无穷小的是(A )A.1 cos x B.2xx C.sin x D.x 33、若函数()f x在点0 x处可导，则|()|f x在点0 x处(C )A.可导 B.不可导 C.连续但未必可导 D.不连续 34、当0 xx时,和(0)都是无穷小.当0 xx时下列可能不是无穷小的是（D ）A.B.C.D.35、下列函数中不具有极值点的是(C )A.yx B.2yx C.3yx D.23yx
8、 36、已知()f x在3x 处的导数值为(3)2f,则0(3)(3)lim2hfhfh(D )A.32 B.32 C.1 D.1 37、设()f x是可导函数，则()f x dx 为(A )A.()f x B.()f xc C.()fx D.()fxc 38、若函数()f x和()g x在区间(,)a b内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内(C )A.()()f xg xx B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数 二、填空题 1、极限200cosdlimxxt tx=1 第4页（共 16 页）2、已知 102lim()2axxxe，则常数 a 2 .3、不定积分2dxx ex=Cxx
9、ex222 .4、设()yf x的一个原函数为x，则微分d()cos)f xx xdxsin 5、设2()df xxxCx，则()f x 22x .6、导数12dcosddxttx x2cos .7、曲线3(1)yx的拐点是 0,1 .8、由曲线2yx,24yx及直线1y 所围成的图形的面积是 34 .9、已知曲线()yf x上任一点切线的斜率为2x 并且曲线经过点(1,2)则此曲线的方程为 32 xy .10、已知22(,)f xy xyxyxy，则ffxy 12 y .11、设(1)cosf xxx，则(1)f 1 .12、已知 112lim(1)xxaex，则常数 a 2 .13、不定积
10、分2lndxxx Cxxx1ln .14、设()yf x的一个原函数为sin2x，则微分dy xdx2sin4 15、极限0202arcsin dlimxxt tx=1 .16、导数2dsin ddxattx 2sin2xx .17、设0dxte te，则x 1lne .18、在区间0,2上 由曲线cosyx与直线2x,1y 所围成的图形的面是 12 19、曲线sinyx在点23x处的切线方程为 023363yx 20、已知22(,)f xy xyxy，则ffxy xy .第5页（共 16 页）21、极限01limln(1)sinxxx=0 22、已知 21lim()1axxxex，则常数 a
11、 1 .23、不定积分dxex Cxex12 .24、设()yf x的一个原函数为tan x，则微分dy xdxxtansec22 25、若()f x在,a b上连续，且()d0baf xx,则()1dbaf xx ab .26、导数2dsin ddxxttx xxsin2sin 27、函数224(1)24xyxx的水平渐近线方程是 4y .28、由曲线1yx与直线yx2x 所围成的图形的面积是 2ln23 29、已知(31)xfxe，则()f x=Cex313 .30、已知两向量,2,3a,2,4,b平行，则数量积a b 28 .31、极限20lim(1sin)xxx 2e 32、已知973
12、250(1)(1)lim8(1)xxaxx，则常数a 2 .33、不定积分sin dxx x Cxxxsincos .34、设函数sin2xye,则微分dy xex2sin212sin d(sin 2)x.35、设函数()f x在实数域内连续,则 xxdttfdxxf00 0 .36、导数2dddxtatetx xxe2 .第6页（共 16 页）37、曲线22345(3)xxyx的铅直渐近线的方程为 3x .38、曲线2yx与22yx所围成的图形的面积是 38 .三、计算题 1、求极限：22lim(11)xxxxx.解：111111lim11lim22222222xxxxxxxxxxxxxxx
13、xxx 11121111112lim112lim2222xxxxxxxxxxx 2、计算不定积分：2sin2d1 sinxxx 解：Cxxdxdxxx2222sin1lnsin1sin11sin12sin 3、计算二重积分sind dDxx yx D 是由直线yx及抛物线2yx围成的区域 解：1-112xyO xyxxD210 dxxxxxdxyxxdxdyxxdxdyxxxxxxD 1021010sinsinsinsin22 第7页（共 16 页）101010101010coscoscoscossincossinxdxxxxxxdxdxdxxxx 1sin1sin1cos11cos10 x
14、4、设2lnzuv 而xuy 32vxy.求zx zy 解：yxyxyxyxvuyvuxvvzxuuzxz23323ln2311ln22222 yxyxyxyxvuyxvuyvvzyuuzyz23223ln221ln2223222 5、求由方程221xyxy确定的隐函数的导数ddyx.解：22,yxyxF xyFyxFyx2,2 yxyxxyyxFFdxdyyx2222 6、计算定积分:20|sin|dxx.解：422cos2cos0coscoscoscossinsinsin202020 xxxdxxdxdxx 7、求极限：xxxex20)(lim.解：22lim12lim12limln2li
15、mln20200000limlimeeeeeeexxxxxxxxxxxxxeeeeexexexexxxxxx 8、计算不定积分：212d1xxexx.解：Cededexdxexxxxxxxx2222221111121211211 9、计算二重积分22()Dxyd 其中D是由yx,yxa,ya 3ya(0a)所围成的区域 第8页（共 16 页）解：12341234xyO ayxyyD31 Dyaydxyxdyx312222 31331223133132231233123231231yayayadyayaayxyxyayyay 32324352aaa 10、设2uvze,其中3sin,ux vx，
16、求dxdz.解：22sin222226cos6cos32cos3xxexxexexedxdvvzdxduuzdxdzxxvuvuvu 11、求由方程lnyxy所确定的隐函数的导数ddyx.解：yxyyxFln,yyyFFyx111,1 111yyyyFFdxdyyx 12、设2,01,(),12.xxf xxx.求0()()dxxf tt在0,2上的表达式.解：3030203131,101xtdttdttfxxxxx时 61212131,212211031102101xtttdtdttdttfdttfxxxxx时 21,612110,3123xxxxx 第9页（共 16 页）13、求极限：22
17、0lim11xxx.解：2111lim11lim111111lim11lim20222022220220 xxxxxxxxxxxxxx 14、计算不定积分：dlnlnlnxxxx.解：Cxxxdxxxdxxxdxlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln 15、计算二重积分(4)dDxy D是圆域222xyy 解：1-1123xyO 222220yyxyyyD 20222222220222222222221444yyyyyyyyyyyyyyyyDyxxxdxyxdyx 20220202222222622028dyyyydyyydyyyyyy 3032121112162262022
18、20222022yydyydyyyyy 16、设2xyzxy，其中23yx，求dxdz.解：3332323222xxxxxxxz 222223332333223333323332xxxxxxxxxxxxdxdz 2222131233123xxxxxx 第10页（共 16 页）17、求由方程1yyxe 所确定的隐函数的导数ddyx.解：yxeyyxF1,yyyxxeFeF1,yyyyyxxeexeeFFdxdy11 18、设1sin,0,2()0,xxf x其它.求0()()dxxf tt在,内的表达式.解：xdttfx，x0001时 xttdtdttfxxxxxcos121cos21sin21
19、,02000时 1cos210sin2130000ttdtdttfdttfdttfx，xxx时 1;110;cos1210;0 xxxxx 19、求极限：4213lim22xxx.解：321222lim22121221lim22312lim444xxxxxxxxx 20、计算不定积分：arctan1d1xxxx 解：Cxdxdxxdxxxxxx2arctan2arctan212arctan21arctan211arctan Cx2arctan 21、计算二重积分2Dxy d D是由抛物线22ypx和直线2px(0p)围成的区域 第11页（共 16 页）解：123-112xyOpxypxpxD2
20、220 dxpxxdxyxdxdyxydxypppxpxppxpxD3202022320222222331 212723241251324324527201252520ppppxppdxxpppp 22、设yzx 而txe,21tye 求dzdt.解：ttttttttteeeeeeeexexydtdyyzdtdxxzdtdz222222121121 四、综合题与证明题 1、函数21sin,0,()0,0 x xf xxx在点0 x 处是否连续？是否可导？解：01sinlim01sinlim00lim00200 xxxxxxfxffxxx 因此 x=0 处可导，由于可导必连续，所以在 x=0 处
21、也连续 2、求函数32(1)yxx的极值.解：3313232353253135,xxxxyxxy 分界点为：52,0 xx x 0,0 52,0 52,52 y+-+y 0,0极大时 yx 32545452极小时，yx 第12页（共 16 页）3、证明：当0 x 时 221)1ln(1xxxx.解：设：2211ln1xxxxxf 2222211211111ln1xxxxxxxxxxf 222221ln12121111lnxxxxxxxxxxx 0,1ln1ln,02xfxxx 单调增加xf 因此，0,0fxfx有 011ln122xxxx 221)1ln(1xxxx 4、要造一圆柱形油罐 体积
22、为V 问底半径r和高h等于多少时 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：22,rVhhrV 表面积：rVrrVrrrhrS2222222222 0242rVrS 32Vr 3222VrVh 此时直径与高之比为：122:22:233VVhr 5、设ln(1),10,()11,01xxf xxxx 讨论()f x在0 x 处的连续性与可导性 解：01ln0f 第13页（共 16 页）1111lim1ln1lnlim00lim0000 xxxxfxffxxx 111121121lim1ln11lim00lim0000 xxxxxxfxffxxx 10 f 因此 x=0 处可导，由于可导必连
23、续，所以在 x=0 处也连续 6、求函数32(1)xyx的极值.解：定义域：1x 324322423231311213111xxxxxxxxxxxxxy 分界点：3,1,0 xxx x 0,0 1,0 3,1 3,3 y+-+y 427133323极大时，yx 7、证明:当20 x时 sintan2xxx.证：设：xxxxf2tansin 2cos1cos2xxxf xxxx2coscos,1cos0,20 02cos1cos22cos1cos2cos1cos22222xxxxxxxf 单调增加xf 因此，0,0fxfx有 02tansinxxx 2tansinxx 8、某地区防空洞的截面拟建
24、成矩形加半圆(如图)截面的面积为 5m2 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省？解：xxhxhxxr85,5221,22半径 第14页（共 16 页）周长：xxxxxxxxhxL104852222221 011042xL 440,4402xx 9、讨论21,0,21,01,()2,12,2xxxf xxxxx在0 x,1x,2x 处的连续性与可导性 解：10,01fx处 ;11limlim00 xxxf ;112limlim00 xxfxx 0limlim00fxfxfxx 处连续0 x 另外：011lim00lim000 xxfxffxx 2112lim00lim
25、000 xxxfxffxx 处不可导0;00 xff 31121,12fx处 ;312limlim11xxfxx ;32limlim211xxfxx 1limlim11fxfxfxx 处连续1x 另外：21312lim11lim111xxxfxffxx 21lim132lim11lim11210 xxxxfxffxxx 处不可导1;11xff 6222,232fx处 ;62limlim222xxfxx ;2limlim22xxfxx 第15页（共 16 页）xfxfxx22limlim 处不连续2x 由于不连续必定不可导；因此2x不可导 10、确定函数23(2)()yxa ax(其中0a)的单
26、调区间.解：,定义域 32312xaaxy 1322223131313232xaaxxaaxy 323132313132322323222322232axaxxaaxaxaxxaaxaxaxxay 分界点：axaxax,32,2 x 2,a 2a 32,2aa 32a aa,32 a,a y+-+y 单调增加,32axa 单调减少aax,32 11、证明：当20 x时 331tanxxx.证：设 22222223tancoscos11cos1,31tanxxxxxxxxfxxxxf 设 xxxg tan 0tancoscos11cos12222xxxxxg xxgxgxtan,0;0 22ta
27、nxx 0 xf 单调增加xf 0;0fxfx 031tan3xxx 331tanxxx 12、一房地产公司有 50 套公寓要出租 当月租金定为 1000 元时 公寓会全部租出去 当月租金每增加 50 元时 就会多一套公寓租不出去 而租出去的公寓每月需花费 100 元的维修费 试问房租定为多少可获最大收入？解：设房租定为：x，相应的租出公寓数为 y x 1000 1050 1100 1150。y 50 49 48 47。第16页（共 16 页）5070,100010501000504950 xyxy 7000725015070100100100:2xxxxyxyxyR收入 1800,072251xxR 13、函数21,01,()31,1xxf xxx在点x1 处是否可导？为什么？解：21112f 2121lim11lim1211xxxfxffxx 31213lim11lim110 xxxfxffxx 处不可导1;11xff 14、确定函数xxxy6941023的单调区间.解：xxxxxxyxxxy69469410;6941023223123 2232223694112606181269410 xxxxxxxxxxy 分界点为：1,21,0 xxx x 0,21,0 21 1,21 1,1 y-+-y 单调减少,121,00,x 单调增加1,21x