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1、高中数学平面向量综合练习含解析 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高中数学高中数学(平面向量平面向量)综合练习含解析综合练习含解析1在ABC中，AB c，AC b若点D满足BD 2DC，则AD（）A21522112bc Bcb Cbc Dbc333333332已知OA 1,OB 3，OAOB 0，点 C在AOB内，且AOC 30，m等于（）n231A3 B C D333OC mOA nOBm,nR，则3若向量a,b,c满足ab，且a c，则c a 2b（）A4 B3 C2 D04
2、已知向量m (a,2),n (1,1 a)，且mn，则实数a（）A1 B2或1 C2 D25已知向量a (1,2)，向量b (x,2)，且a (a b)，则实数x等于A4 B4 C0 D96已知|a|1，|b|2，且a (a b)，则向量a与向量b的夹角为（）B C6432D3A7已知平面向量a，b满足a ab 3，且a 2，b 1，则向量a与b夹角的正弦值为（）3311A B C D22228在平行四边形ABCD中，AD 2，BAD 60，E为CD的中点若AD BE 1，则AB的长为()A6 B4 C5 D69O为平面上的定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，若(OB OC)(OB OC
3、2OA)0，则ABC是（）A以 AB 为底面的等腰三角形B以 BC 为底面的等腰三角形C以 AB 为斜边的直角三角形D以 BC 为斜边的直角三角形10在ABC中，MB 1AB，且对 AB 边上任意一点 N，恒有4NBNC MBMC，则有（）AAB BC BAB ACCAB AC DAC BC11点 P 是ABC所在平面内的一点，若CB PA PB(R)，则点 P 在（）AABC内部BAC 边所在的直线上CAB 边所在的直线上DBC 边所在的直线上12在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，cb 6，cba 2，且O为此三角形的内心，则AOCB（）A4 B5 C6 D713在ABC
4、中，BC a,AC b,|a|2,|b|3,ab3则C 的大小为（）A30 B60 C120 D15014在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC 3acosBccosB，BABC 2，则ABC的面积为（）A2 B3 C2 2 D4 2215若非零向量a,b满足|a b|a b|2|a|，则向量b与ab的夹角为 .16在平面直角坐标系中，设M,N,T是圆C:(x1)y 4上不同三点，若存在22a3ab22abb1正实数a,b，使得CT aCM bCN，则的取值范围a为17已知向量a (1,3)，向量a,c的夹角是，ac 2，则|c|等于318已知正方形ABCD，过正方形中心O
5、的直线MN分别交正方形的边MN2最小值为_AB,CD于点M、N，则2BN19若a,b均为非零向量，且a 2b a,b 2a b，则a,b的夹角为20在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB/DC，ABC=60，BC=F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE=BC，DF=小值为1AB=2，动点 E 和21DC，则AEBF的最221已知ABC是边长为 1 的正三角形，动点 M 在平面 ABC 内，若AM AB 0，|CM|1，则CM AB的取值范围是22向量a (1,1)，且a与ab的方向相反，则ab的取值范围是23如图，在三棱锥中D ABC中，已知 AB 2，ACBD 3，设c2的最小值为AD a
6、，BC b，CD c，则ab124已知 A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(1,0)，且动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P（1）求动点P的轨迹 C 方程（2）若 P 是曲线 C 上的点，求k PA PB的最大值和最小值25ABC 中，内角为 A，B，C，所对的三边分别是 a，b，c，已知b2 ac，cosB 34（1）求11；tan AtanC3,求ac2126已知函数fx，点O为坐标原点,点Ann,fn(nN*),向量x1（2）设BABC i i 0,1，n是向量OAn与i i的夹角，则32cos1cos2sin1sin2cos2016的值为sin201627已
7、知向量a (sin x,),b (cosx,1).2（1）当a/b时，求2cos xsin 2x的值；（2）求f(x)(a b)b在,0上的值域228如图，在平面直角坐标系中，方程为x2 y2 DX Ey F 0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上（1）若四边形ABCD的面积为 40，对角线AC的长为 8，AB AD 0，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出B,D的坐标；（2）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由29在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B
8、(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ABC中三边围成的区域（含边界）上，且OP AB AC(,R)（1）若2，求OP；3（2）用x,y表示并求的最大值x2y230已知椭圆C:221(a b 0),过左焦点F1(1,0)的直线与椭圆C交ab于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）求OAOB的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点参考答案参考答案1C【解析】试题分析：如图所示，在ABC中，AD AB BD又BD 2DC，2BC3故选 CBD 考点：向量加法2A【解析】BC
9、 AC AB bc AD AB 2221BC c b c b c3333试题分析：如图所示，建立直角坐标系则OA1,0,OB 0,3,OC mOA nOB m,3n,tan30 3n3m 3故选 Bm3n考点：共线向量【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果3D【解析】试题分析：设a b，则由已知可得c(a2b)ca c(2b)ca c(2b)21ca 0考点：向量的运算4B【解析】试题分析：由已知mn，则a(1a)
10、21 a2a2 0 a 1,a 2考点：共线向量5D【解析】试题分析：ab 1 x,4由a (ab)1,21 x,41 x8 0 x 9考点；向量垂直的充要条件6B【解析】试题分析：由题意得a(a b)0 ab a 1 cos a,b 2ab2，所以向|a|b|2量a与向量b的夹角为4，选考点：向量夹角7D【解析】试题分析：a ab 3 a ab 3 ab 1 cos a,b 212 a,b.23选 D考点：向量夹角8D【解析】试题分析：ADBE AD（BA+AD DE)AD（-AB+AD 11AB)AD（AD AB)2211 42 ABcos 4AB 1232，因此AB 6.选 D考点：向量
11、数量积9B【解析】试题分析：设 BC 的中点为 D，(OB OC)(OB OC 2OA)0，CB(2OD 2OA)0，CB2AD 0，CB AD，故ABC 的 BC 边上的中线也是高线故ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，故选 B考点：三角形的形状判断10D【解析】试题分析：以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系，设B(4,0),C(a,b)，N(x,0)，则M(3,0)，MBMC (1,0)(a 3,b)a 3，NBNC (4 x,0)(a x,b)(4 x)(a x)，a42(a4)2(4 x)(a x)x(a 4)x 4a(x)4a，242(a4)2a4 a3（或由题意4a 3），解
12、得a 2，所以AC BC故选42D考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点 A 的坐标都是（x，y）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x，y）向量OA点 A（x，y）要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A（1，2），B（3，4），则AB（2，2）3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度本题建立坐标系后，NBNC (4 x,0)(a x
13、,b)(4 x)(a x)，问题转化为函数f(x)(4 x)(a x)的最小值是a3或在x 3时取得最小值，由二次函数的性质结论易得11B【解析】试题分析：由CB PA PB得CBPB PA，即CP PA，所以CP与PA共线，故选 B考点：向量的线性运算，向量的共线12C【解析】试题分析：如下图所示，过O作OD AB于D，OE AC于E，AOCB AO(AB AC)AO AB AO AC|AD|AB|AE|AC|，又O为ABC内心，|AD|AB|AE|AC|AD|c|AD|b，abc(|BD|BC|CE|)cba，22(cb)(cba)AOCB AO(AB AC)AO AB AO AC 6，故
14、选 C2|AD|考点：1三角形内心性质；2平面向量数量积【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势13B【解析】试题分析：a b a b cosC 3，解得cosC 考点：平面向量数量积的应用14C【解析】试题分析：由bcosC 3acosBccosB，根据正弦定理可得01，所以C 60，故选 B2sinBcosC 3sin
15、 AcosBsinCcosB，1sinBC 3sin AcosB sin A,cosB；再根据BABC 2，得31cacosB 2，ac 6，所以ABC的面积为acsin B 2 2，故 C 为正确答2案考点：1、正弦定理；2、向量的数量积【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题；由bcosC 3acosBccosB，根据正弦定理求出cosB的值，进而求出sinB的值；再根据BABC 2，利用两个向量的数量积1的定义求得ac的值，最后根据面积公式acsin B求出ABC的面积即可26【解析】15试题分析：如图所示，设AB a,AD b，两个非
16、零向量满足|a b|a b|2|a|，则四边形 ABCD是矩形，且AB1而向量b与ab的夹角即 cosBAC，BAC OAB，OAD AC236为OAD，故向量b与ab的夹角为6考点：向量的夹角的计算16(2,)【解析】试题分析：由题意，CT CM CN 2，设CM,CN夹角为，对CT aCM bCN两边平方，整理得4 4a2 2abCM CN 4b21 a2 2abcosb2，可得到1 cos1a b1a b221 ab 1,ab 1或ab 1，以为a横坐标,b为纵坐标,表示出满足上面条件的平面区域如图阴影部分所示，则a3ab22abb1b1b12 a2b22b a2b11，aaa它表示点a
17、,b到点0,1的距离的平方及点a,b与点0,1连线斜率的和，由可行域可知当点a,b位于点1,0时取到最小值 2，但由题意a,b为正实数，故a3ab22abb1的取值范围为(2,)a【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底考点：172【解析】试题分析：ac a c cos a,c=2 c cos考点：向量的运算3 2 c 21835【解析】试题分析：以正方形中心O为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边MN24m2 4y 22B(1,1),M(m,1),N(
18、m,1),m1,1BN(1 m)4，长为 2 个单位，则，因此8(m2 4m 1)y 022(1 m)4由得m 5 2或m 5 2(舍)，因此函数在(5 2,1)单调增，在(1,5 2)单调减，即m 5 2时，函数取最小值35yAMBOxDNC考点：利用导数求函数最值【思路点睛】函数最值存在的两条定论1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点2开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值“单峰”利用导数探求193【解析】试题分析：a2b a,b2aba2ba 0,b2ab 0 a 2ba b，22因此cos
19、ab1,.3|a|b|2考点：向量夹角204 6 l3【解析】试题分析：由题意得AB 4,CD 2AE BF (AB BE)(BC CF)ABBC BE BC ABCF BE CF|AB|BC|cos120|BE|BC|AB|CF|BE|CF|cos 601111 42()224(1)22(1)22222 1364 132 644 6 l3，当且仅=63当时取等号，即AEBF的最小值为4 6 l3考点：向量数量积，基本不等式求最值121 1,)2【解析】试题分析：如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则13B(1,0),C(,)，设M(x,y)，AMAB(x,y)(1,0)x0，由CM1
20、得221321(x)2(y)1，所以x0，所以2221311CMAB(x,y)(1,0)x 1,)2222yMCABx考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点 A 的坐标都是（x，y）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x，y）向量OA点A（x，y）要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的
21、向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A（1，2），B（3，4），则AB（2，2）3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度22(,2)【解析】试题分析：因为a与ab的方向相反，所以a与b共线，且方向相反设b ka (k,k)（k 0），又a b (1 k,1 k)与a方向相反，所以1k 0，k 1，所以ab k k 2k 2考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算232【解析】试题分析：设AD a，CB b，DC c，AB 2，|a bc|2 4 a2b2c22(abbc ca)4，又ACB
22、D 3，(a c)(bc)3 abbc ca c2 3，a2b222ab2 2，当且a b c 2(3c)=4 c a b 2，ab1ab12222222c2仅当a b时，等号成立，即的最小值是2ab1考点：1空间向量的数量积；2不等式求最值【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势x2y224（1）1；（2）kmax 4，kmin 343【解析】试题分析：（1）根据题意知|PA|PB|P
23、A|PM|4 2，所以P的轨迹是x2y2以A,B为焦点的椭圆，且2a 4,2c 2，所以轨迹的方程为1；（2）43x02y02设点P(x0,y0)则1，根据两点之间的距离公式得：431k(x01)2 y02(x01)2 y02，化简得：k 4x02，又有椭圆的范围知42 x0 2，求函数的最值试题解析：（1）|PA|PB|PA|PM|4；又|AB|2，P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，2a 4,2c 2，b2 a2c2 3，x2y2所求轨迹方程为143x02y02（2）解：设点P(x0,y0)则143k(x01)2 y02(x01)2 y02(2 x0 2)1212111x02x04x02x04
24、(2x0)(2x0)4x0244224当x0 0 时，kmax 4当x0 2 时，kmin3考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误25（1）【解析】试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：47；（2）37sinB sinAsinC，又cosB 73（AC）sinB，所以sin，所以4
25、47sin（AC）=sinAsinC，展开两边同除以sinAsinC即可；（2）因为4BABC 3333，cosB，所以accosB ac，则b ac 2，由余弦定理4422a2c2b2得cosB 2aca2c22(ac)22ac23，所以（ac）9，ac 3444试题解析：（1）b acsinB sinAsinC37cosB 且B为三角形内角?sin（AC）sinB 4411cos AcosC47tan AtanCsin AsinC73333（2）BABC，cosBaccosBac，2442则b ac 2a2 c2b2a2 c2 2(a c)2 2ac 23cosB 2ac444（ac）9，
26、ac 3考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式2620162017【解析】试题分析：由题意可得90n是直线OAn的倾斜角，fncosnsin(90n)111，tan（90n）sinncos(90n)nnn1nn1cos1cos2sin1sin2cos201611111120161.1sin20162232016201720172017考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算202 127（1）2cos xsin 2x；（2）f(x)的值域为,22132【解析】试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2co
27、s2xsin2x即可（2）先表示出f(x)(a b)b2 sin2x，再根据x的范围求出函数（的f x）24最大值及最小值试题解析：（1）233a|b，cos xsin x 0，tan x 222cos2x2sin xcosx22tan x202cos xsin2x 222sin xcos x1 tan x13（2）1ab (sin xcosx,)22sin(2x)24f(x)(a b)b 2 x 0，32 2x，1 sin(2x)444422 121,f(x)函数f(x)的值域为22222考点：正弦函数的性质2x28（1）y 3 25，B0,8,D(0,2)（2）共线【解析】试题分析：（1）
28、利用四边形ABCD面积得直径BD10，因而半径为 5，利用弦 AC=8 可求得圆心 M 到直线 AC 距离为 3，即圆心M0,3，方程为x2y 3 25，可得圆在 y 轴上的交点B0,8,D(0,2)（2）判断三点2O、G、H是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断kOG kOH是否成立，而ABOH，因此只需判断kOGkAB 1是否成立，设Aa,0，B0,b，Cc,0，Dd,0则转化为判断bd ac是否成立：对于圆M的一22x y DX Ey F 0，a，c 为x2 DX F 0两根，b，d 为般方程y2 Ey F 0两根，从而由韦达定理得ac F bd，因此三点共线试题解析：解：（1）不难发现
29、，对角线互相垂直的四边形ABCD面积S AC BD2，因为S 40,AC 8可得BD 10又因为AB AD 0，所以A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，故BD 2r 10,r 5，连接MA，求得MO3，所以M0,3，故圆M的方程为x2y 3 25，2令x 0,y 8或2，求得B0,8,D(0,2)证：设四边形四个顶点的坐标分别为Aa,0，B0,b，Cc,0，Dd,0 c d c d OG ,2 2则可得点G的坐标为2 2，即又AB a,b，且ABOH，故使G、O、H共线，只需证ABOG 0即可22bd acx y DX Ey F 0，而ABOG，且对于圆M的一般方程22当y 0时，可得x
30、 DX F 0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC ac F2yx 0同理，当时，可得 Ey F 0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，bd ac于是有yByD bd F，所以，ABOG 0，即ABOG，2故G、O、H必定三点共线考点：圆的方程，直线与圆位置关系29（1）OP 2 2；（2）的最大值为 1【解析】试题分析：（1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；（2）由向量相等的定义可得,，试题解析：（1）由已知AB (1,2),AC (2,1)，所以OP 22AB AC (2,2)，33OP 2 2，x 2（2）由已知得OP(1,2)(2,1)(2,2)，y 2
31、1(2y x)3，1(2x y)3 y x由简单线性规划的思想可得的最大值为 1考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划y2x2131；（2）4，)；（3）证明见解析30（1）434【解析】试题分析：（1）由题意得可得c 1，由椭圆的定义可求得a 2，再由a,b,c的关系，可得到椭圆的标准方程；（2）设直线PB的方程为y k(x 4)，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E的坐标，以及直线AE的方程，令y 0，运用韦达定理，即可得到所求定点y2x2试题解析：（1）椭圆的方程为143（2）由题意知直线 AB 的斜率存
32、在，设直线 PB 的方程为y k(x 4)y k(x 4)由 x2y2得：13 4(4k2 3)x232k2x 64k212 0由 (32k2)2 4(4k2 3)(64k212)0得：k21432k264k212设 A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x22，x1x224k 34k 3y1y2 k(x1 4)k(x2 4)k2x1x2 4k2(x1 x2)16k264k21232k28722OA OB x1x2 y1y2(1 k)4k 16k 254k2 34k2 34k2 31878787130k2，2，OA OB 4，)44344k 32OA OB的取值范围是4，)（3）证：B、
33、E 两点关于 x 轴对称，E（x2，y2）直线 AE 的方程为y y1y1 y2y(x x2)(x x1)，令 y=0 得：x x111x1 x2y1 y22x1x2 4(x1 x2)x1 x2 8134又y1 k(x1 4)，y2 k(x2 4)，x 由将代入得：x=1，直线 AE 与 x 轴交于定点（1，0）考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程y k(x 4)代入椭圆的方程，得二次方程(4k23)x232k2x64k2120，把向量OAOB的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点