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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2。2.1 平面向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1 了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示（重点）2理解直线的向量参数方程式,尤 其 是 线 段 中 点 的 向 量 表 达式(难点)1通过平面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象核心素养 2借助平面向量基本定理的应用，提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养.1平面向量基本定理（1）平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1,a2，使aa1e1a2e2。(2)基底:把不共线向量e1,
2、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式 2直线的向量参数方程式 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(1）向量参数方程式:已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示）,对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式错误!(1t)错误!t错误!;反之,对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应 向量等式错误!（1t)错误!t错误!叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数（2)线段中点的向量表达式：在向量等式错误!(1t）错误!t错误!中，令t错误!，点M是AB的中点，则错误!错误!(
3、错误!错误!）这是线段AB的中点的向量表达式 思考：平面向量的基底选取有什么要求?它是唯一的吗？提示 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底,并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的 1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（）A.AB，错误!B。错误!，错误!C。错误!，错误!D。错误!，错误!学必求其心得，业必贵于专精 -3-D 由于错误!，错误!不共线，所以是一组基底 2已知AD为ABC的边BC上的中线，则错误!等于()A。错误!错误!B。错误!错误!C。错误!错误!错误!错误!D。错误!错误!错
4、误!错误!D 根据线段BC的中点向量表达式可知错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!，故选 D。3下列关于基底的说法正确的是_(填序号）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 正确；对于，由于零向量与任意向量平行,所以基底中不能有零向量 用基底表示向量【例 1】设M，N，P是ABC三边上的点，且错误!13错误!，错误!错误!错误!，错误!错误!错误!，若错误!a，错误!b,试 用学必求其心得，业必贵于专精 -4-a,b将错误!，错误!，错误!表示出来 思路探究 把a，b看成基底
5、，先将三角形三边上的有关向量表示出来,然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将错误!，错误!，错误!用基底来表示 解 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b。错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!b错误!（ab）错误!a错误!b.错误!错误!（错误!错误!)错误!(ab)平面向量基本定理的作用以及注意点：1根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量。用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.2要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未
6、知向量.学必求其心得，业必贵于专精 -5-1.如图,设点P,Q是线段AB的三等分点，若错误!a，错误!b，则错误!_，错误!_.(用a，b表示）错误!a错误!b 错误!a错误!b 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b。错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!(错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b。直线的向量参数方程式的应用【例 2】已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有错误!3错误!(13）错误!(R，点O为直线AB外一点),则点C的轨迹是什么图形？并说明理由 思路探究 将所给向量式与直线
7、的向量参数方程式比较易得答案,也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点 解 将已知向量等式两边同时减去OA，得OC，OA(31)错误!（13)错误!（13）(错误!错误!)(13）错误!,即错误!（13)错误!，R，又错误!，错误!共始点，A，B，C三点共线,学必求其心得，业必贵于专精 -6-即点C的轨迹是直线AB.理解直线的向量参数方程式时要注意错误!1t错误!t错误!中三向量共始点,左边向量的系数是 1，右边两向量的系数之和为 1,也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解。2。如图,设一直线上三点A，B，P满足 错误!错误!（1），O是平面上任意一点，则(）A.错误!错误!(1）B。错误!
8、错误!C。错误!错误!（1）D。错误!错误!A 一条直线上三点A、B、P满足错误!错误!(1），错误!错误!(错误!O错误!)，化为错误!错误!（1)平面向量基本定理的综合应用 探究问题 1在向量等式错误!x错误!y错误!中，若xy1，则三点P,A，B具有什么样的位置关系？提示 三点P，A，B在同一直线上在向量等式错误!x错误!学必求其心得，业必贵于专精 -7-y错误!中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1。2平面向量基本定理的实质是什么？提示 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解【例 3】如图所示,在OAB中，错误!a,错误!b，点M是AB的靠近B的
9、一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点 若OM与BN相交于点P，求错误!.思路探究 可利用错误!t错误!及错误!错误!错误!错误!s错误!两种形式来表示错误!，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得错误!.解 错误!错误!A错误!错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!)错误!a错误!b.因为错误!与错误!共线，故可设错误!t错误!错误!a错误!b。又错误!与错误!共线，可设错误!s错误!,错误!错误!s错误!错误!错误!s（错误!错误!)错误!（1s)asb，学必求其心得，业必贵于专精 -8-所以错误!解得错误!所以错误!错误!a错误!b
10、。1任意一向量基底表示的唯一性的理解:条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2 条件二 a1e11e2且a2e12e2 结论 错误!2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：（1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解 3 如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且错误!错误!错误!，BN与CM相交于点E，设ABa，错误!b,试用基底a,b表示向量错误!。学必求其心得，业必贵
11、于专精 -9-解 易得错误!错误!错误!错误!b,错误!错误!错误!错误!a,由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足错误!m错误!（1m）错误!错误!mb(1m)a。由C,E，M三点共线,设存在实数n满足：错误!n错误!(1n）错误!错误!na（1n）b.所以错误!mb（1m）a错误!na(1n)b，由于a，b为基底，所以错误!解得错误!所以错误!错误!a错误!b。(教师用书独具)1基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基
12、底e1，e2线性表示,且在基底确定后，这样的表示学必求其心得，业必贵于专精 -10-是唯一的 2用基底表示向量的两种方法（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1已知向量ae12e2,b2e1e2，其中e1,e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是（）A不共线 B共线 C相等 D不确定 B ab3e1e2，c2（ab),ab与c共线 2如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么,下列命题正确的是（）A若实数1，2,使1e12e20,则120 B 平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中
13、1，2R C1e12e2不一定在平面内,1，2R D对于平面内任意一向量a，使a1e12e2的实数1、2学必求其心得，业必贵于专精 -11-有无数对 A 考查平面向量基本定理 因为e1，e2不共线，所以1e12e20，只能120。B 选项1,2R 不对，应该是唯一数对；C 选项1e12e2一定在平面内；D 选项应该是唯一一对 3已知A,B,D三点共线，且对任意一点C，有错误!错误!错误!错误!，则_.错误!A，B,D三点共线,存在实数t，使错误!t错误!，则错误!错误!t（错误!错误!)，即错误!错误!t（错误!错误!)（1t)错误!t错误!，错误!即错误!。4已知e1,e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.解 a，b不共线，可设cxayb，则xaybx（3e12e2)y(2e1e2)（3x2y）e1（2xy）e27e14e2.又e1，e2不共线，3x2y7，2xy4解得错误!学必求其心得，业必贵于专精 -12-ca2b。