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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.1.4 数乘向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1 掌握数乘向量的定义并理解其几何意义(重点)2 理解数乘向量的运算律(重点）3 了解向量线性运算的性质及其几何意义（难点)1 通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养学生的直观想象和逻辑推理素养 2借助向量线性运算及其应用，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.1数乘向量（1)定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a,且a的长度|a|a。若a0，当0 时，a的方向与a的方向相同;当0 时，a的方向与a的方向相反当0 或a0 时,0a0或0错误!0.（2）几何意义:把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小(3
2、)运算律:设,为实数,则(）aaa；学必求其心得，业必贵于专精 -2-（a）(）a；(ab)ab(分配律）2向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算 思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？提示（1）数乘向量与实数的乘法是有区别的,前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数特别要注意0 时，a0,此处最容易出现的错误是将实数0 与 0 混淆,错误地表述成a0。（2）要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如a，a是无法运算的 1下列各式中不表示向量的是（）A0a Ba3b C|3a|D错误!e(x，yR，且xy)C 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有
3、|3a|不是向量 2(2ab）（2ab)等于（）学必求其心得，业必贵于专精 -3-Aa2b B2b C0 Dba B 原式2a2abb2b。3若ae12e2，be12e2,则 2a3b_.e110e2 2a3b2(e12e2）3(e12e2)2e14e23e16e2e110e2。数乘向量的概念【例 1】(1）若两个非零向量a与（2x1）a方向相同，则x的取值范围为_(2）若平面内不共线的四点O，A，B，C满足错误!错误!错误!错误!错误!，则错误!_.（3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧）,且ABAC23。用BC表示错误!；用错误!表示错误!.思路探究 根据数乘向量的定义运算求解（1
4、)x错误!(2)2 （1）由定义可知，2x10，即x错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2)因为错误!错误!错误!错误!错误!，所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，即错误!错误!错误!，所以|错误!错误!|错误!|，同理可得错误!错误!|错误!|，得错误!2.(3）如图 a，因为点C在线段AB的延长线上,且ABAC23,所以AB2BC,AC3BC.如图 b，向量错误!与错误!方向相同，所以错误!2错误!；如图 c，向量错误!与错误!方向相反,所以错误!3错误!。对数乘运算的理解，关键是对系数的作用的认识：0 时,a与a同向，模是|a|的倍；0 时,a与a反向，模是a|的倍；
5、0 时，a0。注意:当0 或a0 时,a0。注意是 0，而不是 0.1设a是非零向量,是非零实数，判断下列说法是否正确（1）a与a的方向相反;学必求其心得，业必贵于专精 -5-(2）|a|a；（3）a与2a方向相同;（4）|2a2|a.解 由已知可得(1)若0，则a与a的方向相同，故(1)错误；(2)实数与向量不能比较大小,故（2）错误；（3)a与2a方向相同，故（3）正确；（4)|2a|2|a|正确。向量的线性运算【例 2】（1)化简：(2a3bc)(3a2bc）_.（2）已知向量a,b,x，且（xa）（bx）x(ab)，则x_.思路探究(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简;（2)可类
6、比解方程方法求解(1）a5b2c（2）0 （1)（2a3bc)（3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c。（2)因为（xa)（bx)x（ab），所以 2xabxab，即：x0。学必求其心得，业必贵于专精 -6-向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项“公因式”指向量,实数看作是向量的系数（2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 2化简：13错误!的结果是（)A2ab B2
7、ba Cba Dab B 原式错误!(a4b4a2b)错误!(6b3a)2ba.向量的线性运算在平面几何中的应用 探究问题 1怎样理解a的几何意义？提示 a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩学必求其心得，业必贵于专精 -7-大或缩小为原来的|倍 2如何用已知向量表示所求向量？提示 在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中,结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求【例 3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K,L，且错误!e1，错误!e2，试用e1，e2表示错误!,错误!.思路探究 解答本题可先将错误!，错误!视为未知量，再利用已
8、知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程（组)求出错误!，错误!.解 设错误!x，错误!y，则错误!错误!x,错误!错误!y.由错误!错误!错误!，错误!错误!错误!得错误!用2 乘以与相加得12x2xe12e2,解得x错误!(2e2e1)，即错误!错误!e2错误!e1 同理得y错误!(2e1e2)，即错误!错误!e2错误!e1.1由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律,还应重视平面几何定理的学必求其心得，业必贵于专精 -8-应用 2当用已知向量表示未知向量比较困难时,应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解 3已知任意四边形ABCD中，E，F分
9、别是AD，BC的中点求证：错误!错误!(错误!错误!)证明 取以点A为起点的向量，应 用 三 角 形法则求证，如图 E为AD的中点,错误!错误!错误!.F是BC的中点，错误!错误!（错误!错误!）又错误!错误!错误!，错误!错误!（错误!错误!错误!)错误!(错误!错误!)错误!错误!,错误!错误!错误!错误!(错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!)(教师用书独具)学必求其心得，业必贵于专精 -9-1对向量的数乘的三点说明（1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘,其结果是一个向量，方向与的正负有关（2）当0 时，a0.（3)向量的数乘运算要遵循向量数乘的运算律 2向量线性
10、运算的基本方法（1)类比方法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数（2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.1下列计算正确的个数是(）（3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b）（2ba)0.A0 B1 学必求其心得，业必贵于专精 -10-C2 D3 C 因为(3）2a6a，故正确;中左边2a2b2ba3a成立，故正确；中左边a2b2b
11、a00，故错误 2将错误!2(2a8b）4（4a2b）化简成最简式为（）A2ab B2ba Cab Dba B 原式错误!(2a8b)错误!(4a2b）错误!a错误!b错误!a错误!ba2b。3O为平行四边形ABCD的中心,错误!4e1,错误!6e2，则 3e22e1_。OD(或错误!)设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则 3e22e1错误!错误!错误!错误!。4化简下列各式：(1）2（3a2b)3(a5b）5(4ba）;（2）错误!2(2a8b)4(4a2b）解（1）原式6a4b3a15b20b5a14a9b；（2)原式错误!（4a16b16a8b)学必求其心得，业必贵于专精 -11-错误!（12a24b)2a4b。