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1、-.z 高中数学(平面向量)综合练习含解析 1在ABC中，ABc，ACb假设点D满足2BDDC，则AD A2133bcB5233cb C2133bc D1233bc 2 1,3OAOB，0OA OB，点 C 在AOB，且30AOC，,OCmOAnOB m nR，则mn等于 A3 B13 C33 D3 3假设向量,a b c满足a b，且ac，则2cab A4 B3 C2 D0 4向量(,2),(1,1)mana，且m n，则实数a A1 B2或1 C2 D2 5向量(1,2)a，向量(,2)bx，且()aab，则实数x等于 A4 B4 C0 D9 6|a|1，|b|2，且()aab，则向量a与
2、向量b的夹角为 A6 B4C3D23 7平面向量a，b满足3aab，且2a，1b，则向量a与b夹角的正弦值为 A12B32C12D32 8在平行四边形ABCD中，2AD，60BAD，E为CD的中点假设1AD BE，则AB的长为()A6 B4 C5 D6 9 O为 平 面 上 的 定 点，A，B，C是 平 面 上 不 共 线 的 三 点，假 设()(2)0OBOCOBOCOA，则ABC是 A以 AB 为底面的等腰三角形 B以 BC 为底面的等腰三角形 C以 AB 为斜边的直角三角形 D以 BC 为斜边的直角三角形 10 在ABC中，14MBAB，且对 AB 边上任意一点 N，恒有NB NCMB
3、MC，则有 .-.可修编-AABBC BABAC CABAC DACBC 11点 P 是ABC所在平面的一点，假设()CBPAPBR，则点 P 在 AABC部 BAC 边所在的直线上 CAB 边所在的直线上 DBC 边所在的直线上 12在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，6cb，2cba，且O为此三角形的心，则AO CB A4B5C6 D7 13在ABC中，3,3|,2|,bababACaBC则C 的大小为 A30 B60 C120 D150 14 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos3 coscosbCaBcB，2BA BC，则ABC的面积为 A2 B32
4、 C2 2 D4 2 15假设非零向量,a b满足|2|ababa，则向量b与ab的夹角为.16在平面直角坐标系中，设,M N T是圆C:22(1)4xy上不同三点，假设存在正实数,a b，使得CTaCMbCN，则3221aababba的取值围为 17向量(1,3)a，向量,a c的夹角是3，2a c，则|c等于 18正方形ABCD，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边CDAB,于点NM、，则22BNMN最小值为_ 19假设,a b均为非零向量，且2,2aba bab，则,a b的夹角为 20在等腰梯形 ABCD 中，AB/DC，ABC=60，BC=12AB=2，动点 E 和 F 分别在线
5、段 BC 和 DC 上，且BE=BC，DF=21DC，则AEBF的最小值为 21ABC是边长为1的正三角形，动点M在平面ABC，假设0AM AB，|1CM，则CM AB的取值围是 22向量(1,1)a，且a与ab的方向相反，则a b的取值围是-.z 23如图，在三棱锥中DABC中，2AB，3AC BD，设ADa，BCb，CDc，则21cab的最小值为 24A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(1,0)，且动点M到A点的距离是4，线段MB的 垂直平分线l交线段MA于点P 1求动点P的轨迹 C 方程 2假设 P 是曲线 C 上的点，求kPAPB的最大值和最小值 25ABC 中，角为 A，B，C，所
6、对的三边分别是 a，b，c，2 bac，3cos4B 1求11tantanAC；2设BA32BC,求ac 26 函数 11f xx，点O为坐标原点,点,(nAn f nnN*),向量0,1i，n是向量nOA与i的夹角，则201612122016coscoscossinsinsin的值为 27向量3(sin,),(cos,1).2axbx 1当/ab时，求22cossin 2xx的值；2求bbaxf)()(在,02上的值域 28如图，在平面直角坐标系中，方程为022FEyDXyx的圆M的接四边形ABCD的对角线BDAC和互相垂直，且BDAC和分别在x轴和y轴上 1 假设四边形ABCD的面积为 4
7、0，对角线AC的长为8，0 ADAB，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出DB,的坐标；2设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，ABOH，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点HGO、是否共线，并说明理由 29在直角坐标系xOy中，点(1,1),(2,3),(3,2)ABC，点(,)P x y在ABC中三边围成的区域含边界上，且(,)OPABACR 1假设23，求OP；2用,x y表示并求的最大值.-.可修编-30 椭圆2222:1(0)xyCabab,过左焦点1(1,0)F 的直线与椭圆C交于M、N两点，且2F MN的周长为8；过点(4,0)P且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B
8、两点 1求椭圆C的方程；2求OA OB的取值围；3假设B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点-.z 参考答案 1C【解析】试题分析：如下图，在ABC中，ADABBD 又2BDDC，2222133333BDBCBCACABbcADABBCcbcbc 应选 C 考点：向量加法 2A【解析】试题分析：如下图，建立直角坐标系则1,0,0,3,OAOB 33,3,tan3033nmOCmOAnOBmnmn应选 B 考点：共线向量【名师点睛】此题主要考察了共线向量及向量的模等知识，属根底题解题时对一个向量根据平面向量根本定理进展分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向
9、上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果 3D【解析】试题分析：设ba，则由可得(2)(2)(2 b)210cabc acbc acc a 考点：向量的运算 4B【解析】试题分析：由m n，则2(1)21201,2aaaaaa 考点：共线向量 5D【解析】试题分析：1,4abx由()1,21,41809aabxxx 考点；向量垂直的充要条件 6B【解析】试题分析：由题意得22()01cos,2|a baaba baa bab，所以向量a与.-.可修编-向量b的夹角为4，选 考点：向量夹角 7D【解析】试题分析：212331cos,.23aabaa ba ba ba b 选 D
10、考点：向量夹角 8D【解析】试题分析：11+)+)22AD BEADBA ADDEADAB ADABADADAB（-（1142cos41232ABAB，因此6.AB 选 D 考点：向量数量积 9B【解析】试 题 分 析：设BC的 中 点 为 D，()()20OBOCOBOCOA，()220CBODOA，20CBAD，CBAD，故ABC 的 BC 边上的中线也是高线故ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，应选 B 考点：三角形的形状判断 10D【解析】试题分析：以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系，设(4,0),(,)BC a b，(,0)N x，则(3,0)M，(1,0)(3,)3MB MC
11、aba，(4,0)(,)(4)()NB NCxax bx ax，2(4)()(4)4x axxaxa224(4)()424aaxa，由题意2(4)434aaa或432a，解得2a，所以ACBC应选 D-.z 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点 A 的坐标都是*，y 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量*，y向量OA点 A*，y 要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是一样的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A1，2，B3，4，
12、则AB2，2 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度此题建立坐标系后，(4,0)(,)(4)()NB NCxax bx ax，问题转化为函数()(4)()f xx ax的最小值是3a或在3x 时取得最小值，由二次函数的性质结论易得 11B【解析】试题分析：由CBPAPB得CBPBPA，即CPPA，所以CP与PA共线，应选 B 考点：向量的线性运算，向量的共线 12C【解析】试题分析：如下列图所示，过O作ODAB于D，OEAC于E，()|AO CBAOABACAO ABAO ACADABAEAC，又O为ABC心，|ADABAEACADcAD
13、b，(|)|22abcBDBCCEcbaAD，()()()62cb cbaAO CBAOABACAO ABAO AC，应选 C 考点：1三角形心性质；2平面向量数量积【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考察，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势 13B【解析】试题分析：cos3a ba bC，解得21cosC，所以060C，应选 B 考点：平面向量数量积的应用
14、 14C.-.可修编-【解析】试 题 分 析：由cos3 coscosbCaBcB，根 据 正 弦 定 理 可 得sincos3sincossincosBCABCB，1sin3sincossin,cos3BCABAB；再根据2BA BC，得cos2c aB，6ac，所以ABC的面积为1sin2 22acB，故 C 为正确答案 考点：1、正弦定理；2、向量的数量积【思路点晴】此题主要考察的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题；由cos3 coscosbCaBcB，根据正弦定理求出cosB的值，进而求出sinB的值；再根据2BA BC，利用两个向量的数量积的定义求得a
15、c的值，最后根据面积公式1sin2acB求出ABC的面积即可 156【解析】试题分析：如下图，设AB,a ADb，两个非零向量满足|2|ababa，则四边形 ABCD 是矩形，且 1 236ABcosBACBACOABOADAC，而向量b与ab的夹角即为OAD，故向量b与ab的夹角为6 考点：向量的夹角的计算 16(2,)【解析】试题分析：由题意，2CTCMCN，设,CM CN夹角为，对CTaCMbCN两边平方，整理得2222224424112o11c saabCMCNcosababbaabb ，可得到 11,11ababab 或，以为a横坐标,b为纵坐标,表示出满足上面条件的平面区域如图阴影
16、局部所示，则3222222111211aababbbbabbabaaa，它表示点,a b到点0,1的距离的平方及点,a b与点0,1连线斜率的和，由可行域可 知 当 点,a b位 于 点1,0时 取 到 最 小 值 2，但 由 题 意,a b为 正 实 数，故-.z 3221aababba的取值围为(2,)【名师点睛】此题主要考察向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底 考点：172【解析】试题分析：cos,=2cos223a caca ccc 考点：向量的运算 1853【解析】试题
17、分析：以正方形中心O为坐标原点建立如下图直角坐标系，设正方形边长为 2 个单位，则(1,1),(,1),(,1),1,1BM mNmm，因此222244(1)4MNmyBNm，由2228(41)0(1)4mmym 得5252()mm 或舍，因此函数在(52,1)单调增，在(1,52)单调减，即52m 时，函数取最小值53 考点：利用导数求函数最值【思路点睛】函数最值存在的两条定论 1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点 2开区间上的单峰函数一定存在最大小值单峰利用导数探求 193 y*CNDA MBO
18、.-.可修编-【解析】试题分析：222,220,202aba bababababab ab，因此1cos,.23|a ba b 考点：向量夹角 204 6l3【解析】试题分析：由题意得4,2ABCD 211114 2()24(1)22(1)22222 44136132 6 4 6l3，当且仅6=3当时取等号，即AEBF的最小值为4 6l3 考点：向量数量积，根本不等式求最值 211 1,)2 【解析】试题分析：如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则13(1,0),(,)22BC，设(,)M x y，(,)(1,0)0AMABx yx，由1CM 得2213()()122xy，所以102x
19、，所以131(,)(1,0)222CM ABxyx1 1,)2 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个根本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多 2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点 A 的坐标都是*，y 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量*，y向量OA点 A*，y 要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是一样的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向
20、量的坐标是终点的坐标，如 A1，2，B3，4，则AB2，2 -.z 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度 22(,2)【解析】试题分析：因为a与ab的方向相反，所以a与b共线，且方向相反设(,)bkak k0k ，又(1,1)abkk与a方 向 相 反，所 以10k，1k，所 以22a bkkk 考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算 232【解析】试题分析：设ADa，CBb，DCc，2AB，2222|4abcabc 2()4a bb cc a ，又3AC BD，2()()33acbca bb cc ac ，22222222(3)
21、=42abcccab，22222211abababab，当且仅当ab时，等号成立，即21cab的最小值是2 考点：1空间向量的数量积；2不等式求最值【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考察，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势 24 122143xy；2max4k，min3k【解析】试题分析：1 根据题意知|42PAPBPAPM，所以P的轨迹是以,A B为焦点的椭圆，且24,22ac，所以轨迹的方程为22143xy；2设点0
22、0(,)P xy则2200143xy，根据两点之间的距离公式得：22220000(1)(1)kxyxy，化简.-.可修编-得：20144kx，又有椭圆的围知022x，求函数的最值 试题解析：1|4PAPBPAPM；又|2AB，P的轨迹是以,A B为焦点的椭圆，24,22ac，2223bac，所求轨迹方程为22143xy 2解：设点00(,)P xy则2200143xy 考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值【方法点晴】此题主要考察的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题求点的轨迹时，可以根据*些曲
23、线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值围，否则容易产生错误 25 1477；23【解析】试题分析：1根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：sin BsinAsinC，又3cos4B，所以74sin ACsinB（），所以7 4sin ACsinAsinC（）=，展开两边同除以sinAsinC即可；2因为BA32BC，3cos4B，所以3342ac cosBac，则2bac，由余弦定理得222cos2acbBac 2222()223444acacac，所以9ac（），3ac 试题解析：1 bacsin BsinAsinC 11coscos47t
24、antansinsin7ACACAC 2BA32BC ，cosB 34ac cosB34ac 32，则2bac 2222222()223cos2444acbacacacBac 9ac（），3ac -.z 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式 2620162017【解析】试题分析：由题意可得90n是直线nOA的倾斜角，901119090()()11nnnnnf ncossintansincosnn nnn（），201612122016coscoscos11111120161.1sinsinsin2232016201720172017 考点：三角函数中的恒等变换应用
25、；平面向量数量积的运算 27 122cossin 2xx2013；221,22)(的值域为xf【解析】试题分析：1利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简222cos xsin x即可 2先表示出bbaxf)()(2 224sin x，再根据x的围求出函数f x（）的最大值及最小值 试题解析：1|a b，3cossin02xx，3tan2x 222222cos2sincos22tan202cossin2sincos1tan13xxxxxxxxx 21(sincos,)2abxx 02x，32444x，21sin(2)42x 21()22f x函数 21,22)(
26、的值域为xf 考点：正弦函数的性质 28 125322 yx，)2,0(,8,0DB2共线【解析】试题分析：1利用四边形ABCD面积得直径10BD，因而半径为 5，利用弦 AC=8 可.-.可修编-求得圆心 M 到直线 AC 距离为 3，即圆心3,0M，方程为25322 yx，可得圆在 y轴上的交点)2,0(,8,0DB2判断三点HGO、是否共线，一般利用斜率进展判定，即判断OGOHkk是否成立，而OHAB，因此只需判断1OGABkk 是否成立，设0,0,00,dDcCbBaA，则转化为判断bdac是否成立：对于圆M的一般方程022FEyDXyx，a，c 为02FDXx两根，b，d 为02FE
27、yy两根，从而由韦达定理得acFbd，因此三点共线 试题解析：解：1不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积2BDACS，因为8,40ACS可得10BD 又因为0AB AD，所以A为直角，而因为四边形是圆M的接四边形，故5,102rrBD，连接MA，求得3MO，所以3,0M，故圆M的方程为25322 yx，令28,0或yx，求得)2,0(,8,0DB 证：设四边形四个顶点的坐标分别为0,0,00,dDcCbBaA，则可得点G的坐标为2,2dc，即2,2dcOG 又,ABa b，且OHAB，故使HOG、共线，只需证0AB OG即可 而2bdacAB OG，且对于圆M的一般方程022FEyDX
28、yx，当0y时，可得02FDXx，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有FacxxCA 同理，当0 x时，可得02FEyy，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有FbdyyDB，所以，02bdacAB OG，即OGAB，故HOG、必定三点共线 -.z 考点：圆的方程，直线与圆位置关系 29 12 2OP；2的最大值为 1【解析】试题分析：1 直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；2 由向量相等的定义可得,，试题解析：1 由(1,2),(2,1)ABAC，所以22(2,2)33OPABAC，2 2OP，2由得(1,2)(2,1)(2,2)OP，22xy，1(2)31(2)3yxx
29、y，yx由简单线性规划的思想可得的最大值为 1 考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划 30 122143yx；213 4)4，；3证明见解析【解析】试题分析：1由题意得可得1c，由椭圆的定义可求得2a，再由,a b c的关系，可得到椭圆的标准方程；2设直线PB的方程为(4)yk x，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求围；3求得E的坐标，以及直线AE的方程，令0y，运用韦达定理，即可得到所求定点 试题解析：1椭圆的方程为22143yx 2由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为(4)yk x 由22(4)143y
30、k xyx得：由2222(32)4(43)(6412)0kkk 得：214k 设 A*1，y1，B*2，y2，则221212223264124343kkxxx xkk，22212121212(4)(4)4()16y yk xk xk x xkxxk 22222121222264123287(1)41625434343kkOA OBx xy ykkkkkk 2104k，28787873443k，13 4)4OA OB ，.-.可修编-OA OB的取值围是13 4)4，3证：B、E 两点关于*轴对称，E*2，y2 直线 AE 的方程为121112()yyyyxxxx，令 y=0 得：112112(
31、)y xxxxyy 又1122(4)(4)yk xyk x，12121224()8x xxxxxx 由将代入得：*=1，直线 AE 与*轴交于定点1，0 考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题【方法点晴】此题主要考察了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考察了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，此题的解答中，把直线方程(4)yk x代入椭圆的方程，得二次方程2222(43)3264120kxk xk，把向量OA OB的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点