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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2。1.3 向量的减法 学 习 目 标 核 心 素 养 1 掌握向量减法的运算,并理解其几何意义(重点）2理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义（难点)3 能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点)1通过向量减法的学习，培养学生直观想象核心素养 2借助向量减法的应用，提升学生直观想象和逻辑推理核心素养。1向量的减法(1）向量减法的定义:已知向量a,b(如图),作错误!a，作错误!b，则b错误!a，向量错误!叫做向量a与b的差，并记作ab，即错误!ab错误!错误!.(2)向量减法的两个重要结论：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以
2、减学必求其心得，业必贵于专精 -2-向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量 一个向量错误!等于它的终点相对于点O的位置向量错误!减去它的始点相对于点O的位置向量错误!,或简记“终点向量减始点向量”2相反向量（1)相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a.(2)相反向量的性质：a(a)（a)a0；（a）a；零向量的相反向量仍是 0,即 00.（3）向量减法的理解:在向量减法的定义式b错误!a的两边同时加(b），由b(b)0 得错误!a(b），这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 思考：“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？提
3、示 对利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为学必求其心得，业必贵于专精 -3-向量加法 1在平行四边形ABCD中,错误!a，错误!b，则错误!的相反向量是(）Aab Bba Cab Dab A 错误!错误!错误!ba,所以错误!的相反向量为ab.2下列等式中，正确的个数为()0错误!a；（a)a；a(a）0;a0错误!a；aba（b);a（a)0.A3 B4 C5 D6 C 只有不正确，故选 C。3在ABC中,D为BC的中点，设错误!c，错误!b,错误!a,错误!d,则da_。c dad(a）错误!错误!错误!c。向量减法及其几何意义【例 1】（1）错误!可以写成:错误!错误!;错误!错误!
4、；错误!学必求其心得，业必贵于专精 -4-错误!;错误!错误!。其中正确的是(）A B C D（2)化简：错误!错误!错误!_；错误!错误!错误!错误!_.（3）已知菱形ABCD的边长为 2，则向量错误!错误!错误!的模为_，错误!的范围是_ 思路探究 运用向量减法的三角形法则及相反向量求解(1)D（2）0 错误!(3）2(0，4）（1)因为错误!错误!错误!，错误!错误!错误!，所以选 D。(2）错误!错误!错误!错误!（错误!错误!)错误!错误!0；错误!错误!错误!错误!(错误!错误!)(错误!错误!）错误!.（3)因为错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，又错误!|2，所以错误!
5、错误!错误!|错误!2。又因为错误!错误!错误!，且在菱形ABCD中，|错误!|2，所以|错误!|错误!|错误!|错误!错误!|错误!|错误!，学必求其心得，业必贵于专精 -5-即 0错误!4.1向量加法与减法的几何意义的联系:(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若错误!a，错误!b，则错误!ab，错误!ab.（2）类比a|b|ab|a|b|可知|a|baba|b|。2求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如ab,可以先作b，然后用加法a（b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 3向量加减法化简的两种形式：
6、（1）首尾相连且为和(2）起点相同且为差 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用 1下列各式中不能化简为错误!的是（）学必求其心得，业必贵于专精 -6-A(AB，错误!)错误!B错误!（错误!错误!)C(错误!错误!)(错误!错误!）D错误!错误!错误!D 选项 A 中（错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!；选项 B 中错误!(错误!错误!）错误!0错误!错误!；选项 C 中(错误!错误!)（错误!错误!）错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!错误!）错误!错误!.利用已知向量表示其他向量【例 2】如图所示,已知错误!a，错误!b
7、，错误!c，错误!d，错误!e，错误!f，试用a,b,c，d，e，f表示:（1）错误!错误!；(2)错误!错误!；（3)错误!错误!.思路探究 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b,c，d，e，f的和与差来表示 解(1)OBb，错误!d，错误!错误!错误!错误!错误!db。学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2)错误!a,错误!b，错误!c，错误!f,错误!错误!(错误!错误!)（错误!错误!)bfac。(3)错误!d，错误!f，错误!错误!错误!错误!错误!fd。1解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表
8、示向量的转化渠道 2通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时,运算过程中,将“改为“”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“错误!”改为“错误!2.如图,在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形,且错误!a,错误!b，错误!c，试用a，b，c表示向量错误!，错误!，错误!,错误!及错误!.解 四边形ACDE为平行四边形，错误!错误!c，错误!错误!错误!ba，学必求其心得，业必贵于专精 -8-错误!错误!错误!ca，错误!错误!错误!cb，错误!错误!错误!bac。向量减法的三角不等式及其取等条件 探究问题 1若|错误!|8，错误!|5,则错误!|的取值范围是什么
9、？提示 由错误!错误!错误!及三角不等式，得错误!错误!|BA错误!|错误!错误!|，又因为|错误!|错误!|8，所以3|错误!|错误!错误!13,即错误!|3,13 2已知向量a,b，那么ab|与ab|及ab|三者具有什么样的大小关系？提示 它们之间的关系为|a|b|ab|a|b。（1）当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立（2）当a，b不共线时，作错误!a，错误!b,则ab错误!，如图（1）所示，根据三角形的性质，有|a|b|aba|b|.同理可证|a|b|abb|,作法同上，如图(3)所示，此时ab|ab。综上所述，得不等式|ab|ab|a|b。【例 3】设a和b的长度均为 6，夹角为
10、错误!,则|ab|等于_ 思路探究 画出平行四边形数形结合求解 6错误!如图,作错误!a，错误!b，则|ab|错误!，在 RtBCO中，BOC错误!,|错误!6,|错误!3错误!，ab|错误!|2|错误!|6错误!。利用“三角形法则、平行四边形法则把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化学必求其心得，业必贵于专精 -10-运算，达到巧解的目的.3已知|a|6，|b8，且|ab|ab，求ab|。解 如图，作错误!a，错误!b，再以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，则有错误!ab，错误!ab，即|
11、ab与|ab|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|ab|ab，所以该四边形为矩形，从而|ab|错误!10。(教师用书独具)1向量减法运算的常用方法 2向量加减法化简的两种形式 首尾相连且为和;起点相同且为差 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用 3求作两个向量的差向量的两种思路 学必求其心得，业必贵于专精 -11-（1）可以转化为向量的加法来进行,如ab，可以先作b,然后作a(b)即可(2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 1如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A。错误!错误!
12、B。错误!错误!错误!C。AB，错误!错误!D.错误!错误!0 C A 项显然正确,由平行四边形法则知 B 项正确。错误!错误!错误!，故 C 项错误D 项中错误!错误!错误!错误!0。2若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A。错误!错误!错误!B.错误!错误!错误!C.错误!错误!错误!D。错误!错误!错误!B 因为O，E，F三点不共线，所以在OEF中，由向量减学必求其心得，业必贵于专精 -12-法的几何意义，得错误!错误!错误!,故选 B.3已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 _。若a|b|ab|，则a与b方向相同;若a|b|ab|,则a与b方向相反；若ab|ab|，则a与b有相等的模；若|a|b|ab|，则a与b方向相同 当a，b方向相同时有a|b|ab|，|ab|ab，当a，b方向相反时有|ab|ab|,|a|b|ab|.因此为真命题 4化简：（错误!错误!)(错误!错误!）解 法一：(错误!错误!)(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!）（错误!错误!)错误!错误!0。法二：(错误!错误!)（错误!错误!）错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -13-(错误!错误!）（错误!错误!)错误!错误!0.