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1、6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。第1页/共80页车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：第2页/共80页如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：第3页/共80页车间桁吊大梁的变形第4页/共80页车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；案例3：第5页/共80页桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶案例4：第6页/共80页、工程有
2、时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：第7页/共80页安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：第8页/共80页案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？第9页/共80页案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，第10页/共80页二、弯曲变形的物理量扭转：F FF F拉伸弯曲变形的物理量如何？
3、弯曲变形的物理量如何？第11页/共80页1 1、挠曲线、挠曲线2 2、挠度、挠度 向上为正向上为正3 3、转角、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度挠度 弯曲变形的物理量转角+第12页/共80页6-2 6-2 挠曲线的微分方程2 2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面 就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：第13页/共80页3 3、挠度、转角物理意义：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；挠曲线在该点处的纵坐标；：转角的物理意义过挠曲线上点
4、作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从从x x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。第14页/共80页4 4、挠曲线微分方程中性层处曲率:对于曲线 y=f(x)在任一点处曲率（瑞士科学家（瑞士科学家Jacobi.Jacobi.贝努利得到）贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)：从数学上讲 是一条普通的平面曲线，从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。第
5、15页/共80页瑞士科学家瑞士科学家Jacbi.Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，非线性的，第16页/共80页5 5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：第17页/共80页符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一致。适用
6、范围：xxMM小变形。第18页/共80页挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。6-3 6-3 积分法求弯曲变形第19页/共80页悬臂梁：x梁的边界条件L第20页/共80页简支梁：xL梁的边界条件第21页/共80页连续性条件：CPABaLx边界条件连续性条件第22页/共80页连续性条件：ABLaCMx特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。第23页/共80页例1 1：写出梁的边界条件、连续性条件：xkCPABaL边界条件连续性条件第24页/共80页例2 2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件连续性条件
7、第25页/共80页讨论：挠曲线分段讨论：挠曲线分段（1 1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2 2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3 3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM第26页/共80页（4 4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段讨论：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件边界条件连续性条件连续性条件第27页/共80页例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。xx取参考坐标系取参考坐标系1、
8、列写弯矩方程、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分一次：积分二次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL第28页/共80页3、确定常数、确定常数C、D.边界条件：边界条件：AqBL第29页/共80页AqBL4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角A截面处第30页/共80页CFABaLx例例2 一简支梁受力如一简支梁受力如图所示。试求图所示。试求 和和 。1、求支座反力、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程bBC段段AC段段xx第31页/共80页3、代入各自的挠曲线近似微分方程中、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分、各
9、自积分第32页/共80页5、确定积分常数、确定积分常数边界条件：边界条件：连续条件：连续条件：FaLx第33页/共80页BC段段AC段段7、求转角、求转角6、挠曲线方程、挠曲线方程第34页/共80页6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加原理一、叠加原理在小变形，是线性的；材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置计算弯矩时，使用变形前的位置第37页/共80页设弯矩 挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算
10、出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形叠加原理。总的近似微分方程：证明第38页/共80页 二、二、叠加原理的限制条件叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;第39页/共80页几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。第40页/共80页例1 1 已知已
11、知：q、l、EI，求：yC,B 载荷叠加法载荷叠加法（查表法）（查表法）应用于多个载荷作用的情形应用于多个载荷作用的情形第41页/共80页C,B1、载荷分解第42页/共80页2查表：单独载荷作用下第43页/共80页3、变形叠加第44页/共80页例2 2 用用叠加法确定 C和yC?w第45页/共80页wwww第46页/共80页ww第47页/共80页w第48页/共80页 第二类叠加法第二类叠加法将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法逐段刚化法首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究
12、的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。第49页/共80页例3 3：用用叠加法确定叠加法确定 C C?ABalFC1）考虑）考虑AB段变形引起的截面的挠度段变形引起的截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的段上简化ABalCFFaF F：作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。FaFa：使使ABAB梁产生变形。梁产生变形。第50页/共80页ABalCFFaFa引起梁的变形形状为段上凸；第51页/共80页2）考虑）考虑BC段变形引起段变形引起C截面的挠度截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度第52页/共80页讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？
13、第53页/共80页弯曲变形的刚度条件：许用挠度，许用转角工程中，工程中，常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：第54页/共80页1、求自由端的挠度与转角PqL第55页/共80页P2P1qLL2、求自由端的挠度与转角、求自由端的挠度与转角第56页/共80页3 3、求简支梁中点的挠度qL/2C第57页/共80页4 4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E E，求自由端C C端的挠度。PI1 L1I2 L2A
14、BC第58页/共80页6-6 6-6 提高梁刚度的措施一、改善结构、减少弯矩、合理安排支座；、合理安排受力；、集中力分散；、一般与跨度有关，、增加约束：成正比，与故可减小跨度；第59页/共80页尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。、增加约束：采用超静定结构第60页/共80页采用超静定结构第61页/共80页改变支座形式FF第62页/共80页改变载荷类型q=F/LF第63页/共80页二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；第64页/共80页四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材大致相
15、同。第65页/共80页1、y=M(x)/EI在 条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最大。A：挠度 B：转角；C：弯矩；第66页/共80页3、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。A：减小集中力P；B：增加梁的跨度；C：采用优质钢；D：提高截面的惯性矩L/2P第67页/共80页4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：=My/IZ,y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？A：正确、正确；B：正确、错误；C：错误、正确；D：错误、错误；第68页/共80页5 5、使梁变形后
16、与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R第69页/共80页6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：。A：热处理；B：选用优质合金钢；C；增大直径；D：提高表面光洁度；7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，。A：仅提高强度；B：仅提高刚度；C：强度、刚度均有提高；第70页/共80页PxabyP8 8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？9 9、写出边界条件与连续性条件。第71页/共80页xyqEI ,LEA,a1010、写出边界条件。第72页/共80页11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?
17、M2M1AL/3第73页/共80页1212、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨度为1 1：2 2。则二梁的最大挠度之比 。PLP2L第74页/共80页1313、ABAB梁长为L L，抗弯刚度EIEI为常量，固定的刚性曲面的方程为y=-ax3。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷？绘梁的剪力图与弯矩图。y=-ax3xy第75页/共80页14、图示中的悬臂梁，载荷P可沿梁自由移动。若使载荷移动时梁总保持相同的高度，问：事先应将梁弯成怎样的曲线？xyPy=f(x)第76页/共80页15、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI，q为均布载荷的集度。求：最大弯矩及最大剪力。梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。第77页/共80页小结1 1 1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2 2 2、掌握计算梁、掌握计算梁变形的积分法和叠加法变形的积分法和叠加法3 3 3 3、掌握提高粱的弯曲刚度的措施、掌握提高粱的弯曲刚度的措施第78页/共80页谢谢！谢谢！2009年2月第79页/共80页感谢您的观看！第80页/共80页