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1、Deformations in BendingChapter 6Mechanics of Materials 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题The Engineering Problems of Deformations in Bending工程实例工程实例Mechanics of MaterialsMechanics of Materials 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。Mechanics of MaterialsMechanics of Materi
2、als 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行则会使小车行走困难，出现爬坡现象。走困难，出现爬坡现象。Mechanics of Materials6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程The differential equation of deflection curveMechanics of Materials挠曲线：梁弯曲变形后，轴线所形成的光滑连续的曲线挠曲线：梁弯曲变形后，轴线所形成的光滑连续的曲线 w=f(x)。挠度挠度(deflection)：横坐标为：横坐标为x的横截面形心沿的横截面形心沿y方向的位移，称方向的位移，称为为 挠度挠度w转角转角(the
3、 angle of rotation)：横截面相对其原始位置转过的角度：横截面相对其原始位置转过的角度 称为转角称为转角xyPP挠曲线挠曲线deflection curvexwMechanics of Materials 挠度向上为正，反之为负，转角逆时针为挠度向上为正，反之为负，转角逆时针为 正，反之为负正，反之为负 挠曲线挠曲线(deflection curve)是弹性曲线是弹性曲线Mechanics of MaterialsxwPxyABMechanics of Materials此此方程是关于方程是关于 的常微分方程，适用于的常微分方程，适用于弯曲变形的任意情况。弯曲变形的任意情况。M
4、echanics of Materials6-3Calculation of deformation in bending by integrationMechanics of MaterialsC、D 积分常数积分常数Mechanics of Materials边界条件：边界条件：ABCPPABABCPMechanics of MaterialsABCP光滑连续条件：光滑连续条件：ABCP断开断开ABCP折点折点Mechanics of Materials分三分三段，段，AC，CD，DB，有有6个积分常数个积分常数边界条件：边界条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：CPABDMech
5、anics of MaterialsABCF例题例题L=a+b(1)Mechanics of MaterialsABCF(2)Mechanics of MaterialsABCFMechanics of MaterialsABCF(3)挠曲线光滑连续条件挠曲线光滑连续条件Mechanics of MaterialsABCFMechanics of MaterialsABCF边界条件：边界条件：Mechanics of Materials转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程（4）Mechanics of MaterialsMechanics of MaterialsReview:Review:1
6、.Deformation in bendingxyPP挠曲线挠曲线deflection curvexwMechanics of Materials挠度挠度(deflection)：横坐标为：横坐标为x的横截面形心沿的横截面形心沿y方向的位移，称方向的位移，称为为 挠度挠度w转角转角(the angle of rotation)：横截面相对其原始位置转过的角度：横截面相对其原始位置转过的角度 称为转角称为转角2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程Mechanics of Materials6-4Determine Deflection and Angles of Rotations by
7、superposition Mechanics of Materials叠加原理：当几个载荷共同作用于某一叠加原理：当几个载荷共同作用于某一杆件上，引起的某一参数（支反力，内杆件上，引起的某一参数（支反力，内力，应力，位移力，应力，位移）等于各个载荷单）等于各个载荷单独作用引起该参数的代数和。独作用引起该参数的代数和。前提条件：所引起参数与各载荷之间前提条件：所引起参数与各载荷之间保持线性齐次关系。保持线性齐次关系。Mechanics of MaterialsExample 1求求:B,(1)分分解解载载荷荷F=qlABxylEIqlF=qlABxEIyqABxylEI+Mechanics o
8、f Materials（2）查表叠加）查表叠加（P188）qABxylEIlF=qlABxEIyMechanics of MaterialsF=qlABxylEIqMechanics of MaterialsExample 2Mechanics of Materials2aaABC求：求：c c1 c2分分析：析：+PABCABCPP刚化刚化BC刚化刚化ABMechanics of Materials解解：（1）分离变形体，查表）分离变形体，查表ABC c1刚化刚化BCPPM查表查表（7）Mechanics of MaterialsABCP刚化刚化AB c2查表（查表（3）Mechanics
9、of Materials（1）例）例1解决的是复杂载荷问题，是利用载荷的解决的是复杂载荷问题，是利用载荷的分解，来实现变形的分解，利用载荷的叠加实现分解，来实现变形的分解，利用载荷的叠加实现变形的叠加，这种方法我们称为载荷叠加法。变形的叠加，这种方法我们称为载荷叠加法。小结：小结：（2）例）例2解决的是复杂梁的问题，是利用分离解决的是复杂梁的问题，是利用分离变形体的叠加，实现变形的叠加，在解决复合变形体的叠加，实现变形的叠加，在解决复合梁，连续梁，阶梯梁的变形中，有很好的作用，梁，连续梁，阶梯梁的变形中，有很好的作用，这种方法我们称为变形叠加法。这种方法我们称为变形叠加法。（3）叠加法是建立在
10、积分法基础之上的。）叠加法是建立在积分法基础之上的。Mechanics of Materials6-5Statically Indeterminate BeamsMechanics of MaterialsMechanics of MaterialsExamplell/2ABEIFl/2Cl/2lABEIFl/2C分析：分析：静定基静定基求求支支反反力力Mechanics of Materials解：解：ABFCABCMechanics of Materials6-6Mechanics of MaterialsMechanics of MaterialsMechanics of Materia
11、lsMechanics of MaterialsMechanics of MaterialsExample 1 A cantilever beam carries a load P at point B.Solution:(1)determine bending moment equation(2)Determine the equations of deflection and angle of rotation(a)Integrating in x,we obtain(b)(c)BAyxlPxMechanics of Materials(2)Determine the equations
12、of deflection and angle of rotation(a)Integrating in x,we obtain(b)(c)BAyxlPxBoundary condition:Mechanics of MaterialsBoundary condition:Substituting them into(b)and(c),we get(3)maximum deflection and maximum angle of rotation(x=l)C=D=0 BAyxlPxyBMechanics of MaterialsExample 2 A simply supported bea
13、m carries a uniformly distributed load q.Solution:(1)bending moment equation(2)The equation of the deflection curve(a)ABxylqRARBxIntegrating twice in x,we obtain(b)Mechanics of MaterialsBoundary conditions:Substituting them into(c),we haveABxylqRARBx(c)Mechanics of Materials(3)Maximum deflection and
14、 maximum angle of rotationABxylqRARBxCMechanics of Materials你还能举出提高梁弯你还能举出提高梁弯曲刚度措施的例子吗曲刚度措施的例子吗？Can you?Mechanics of MaterialsAssignments6-10(a)(c)6-10(a)(c)6-11(c)6-11(c)Mechanics of Materials静定梁变形问题计算机分析一、静定梁的力学模型及其数值化 静定梁有悬臂梁、简支梁和外伸梁三类。若把简支梁看作是外伸梁的特例，则静定梁可以概括为悬臂梁和外伸梁两类力学模型，如下图所示。于是，静定梁的力学模型可用TYP
15、E，L1，L，L2，E，NSECT，W1，W2，x1，x2，SHAPE共12个参数来描述Mechanics of MaterialsTYPE梁的类型，TYPE=1为悬臂梁，TYPE=2为外伸梁；L1梁的左外伸臂长（L1=0为右外伸梁）；L梁的跨度（L1=0，L2=0为简支梁）；L2梁的右外伸臂长（L2=0为左外伸梁），单位均为m；E弹性模量，单位为Pa；SHAPE梁横截面类型。SHAPE=1 圆形 （输入外径D和内径d）SHAPE=2 矩形 （输入轴高度h和宽度b）SHAPE=3 其它截面（输入轴惯矩和抗弯截面模量）NSECT阶梯梁的段数。各段的轴惯性矩，抗弯截面模量W1，W2以及各段的起始和
16、终了坐标x1，x2存入到数组SESTNSECT5中。梁的载荷包括集中力，集中力偶和沿长度线性分布的载荷，如下图所示，规定集中力和分布力方向沿Y轴正向为正，集中力偶沿逆时针方向为正，反之为负。载荷信息存放到数组中，存放格式Mechanics of Materials其中表示载荷顺序码，为集中力偶个数，集中力个数，为分布力个数。程序的输入函数为 。二、静定梁弯曲内力的通用方程二、静定梁弯曲内力的通用方程 在计算静定梁的内力时，使用二次叠加法。即在计算某个载在计算静定梁的内力时，使用二次叠加法。即在计算某个载荷单独作用引起的内力时，先求出支反力，然后把梁当作无荷单独作用引起的内力时，先求出支反力，然
17、后把梁当作无约束梁约束梁Mechanics of Materials把支反力和原来的载荷当作彼此独立的“载荷”，使用叠加原理求内力。求得梁在多个载荷共同作用下的内力。多个集中力偶在静定梁任意截面上引起的内力多个集中力偶在静定梁任意截面上引起的内力Mechanics of Materials(2)(2)多个集中力在静定梁任意截面上引起的内力多个集中力在静定梁任意截面上引起的内力Mechanics of Materials叠加梁在所有外载荷和支反力在梁上引起的内力，即可得到叠加梁在所有外载荷和支反力在梁上引起的内力，即可得到梁的弯曲内力梁的弯曲内力 三、计算梁节点处截面的弯曲内力并画内力图三、计算
18、梁节点处截面的弯曲内力并画内力图计算梁节点处截面的内力的函数仍为计算梁节点处截面的内力的函数仍为 。计算得到节点。计算得到节点处的剪力和弯矩存放在数组处的剪力和弯矩存放在数组 和和 中。通过用中。通过用 和和 实参调用求函数最值的函数实参调用求函数最值的函数 求求出剪力和弯矩的最值并打印在屏幕上。同样地再调用出剪力和弯矩的最值并打印在屏幕上。同样地再调用 画函数图象的函数画出剪力图和弯矩图。画函数图象的函数画出剪力图和弯矩图。Mechanics of Materials四、计算弯曲应力并画应力图四、计算弯曲应力并画应力图 弯曲时，梁横截面上最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力发生在弯曲时，梁横截面上
19、最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力发生在离中性轴最远的上、下边缘处。其弯曲应力按如下公式计算离中性轴最远的上、下边缘处。其弯曲应力按如下公式计算在弯曲应力计算程度在弯曲应力计算程度nod-st()函数中，节点处弯矩函数中，节点处弯矩M(x)已存放已存放在数组在数组m(n+1)里，节点处抗弯截面模量里，节点处抗弯截面模量 和和 在主程序里计算，在主程序里计算，存放在数组存放在数组 和和 里，计算得到的弯曲正应力存放在数里，计算得到的弯曲正应力存放在数组组 中，通过用实参调用求函数最值的函数中，通过用实参调用求函数最值的函数 求出应力最值并打印在屏幕上，同样调用求出应力最值并打印在屏幕上，同样调用画函
20、数图象的函数画函数图象的函数 画出应力图。画出应力图。五、数值积分法求弯曲变形五、数值积分法求弯曲变形Mechanics of Materials数值积分法计算积分项的递推公式为数值积分法计算积分项的递推公式为Mechanics of Materials 例例5 试作图示梁的剪力图和弯矩图。试作图示梁的剪力图和弯矩图。解：解：CD TCBEAM_1Input adta please!回车！回车！TYPE L1 L L2 E2 0 12 3 1 (Tab键移动光标键移动光标)回车！回车！nsect n100sect x1 x2 shape=or1 D d 0 or2 h b 0 or3 W1 W
21、21 0 15 3 1 1 1 回车！回车！nme np nqMechanics of Materials1 2 1 回车！回车！No me x1 10e3 8 回车！回车！No P x1 -2e3 4 回车！回车！1 -2e3 15 回车！回车！No q1 q2 x1 x21 -1e3 -1e3 0 8 回车！回车！what do you compute?1inter force2inter force and stresses3inter force and stresses and defomationSW=?3 回车！回车！Mechanics of Materials6.1（a）（）（
22、b）6.4（a）（）（d）6-10（a）（）（c）6.156.38Mechanics of Materials5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing Strength弯曲强度条件弯曲强度条件(strength condition in bending):Mechanics of Materials一、合理安排梁的受力情况一、合理安排梁的受力情况 arrange loads reasonably 合理布置梁的支座合理布置梁的支座5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechani
23、cs of Materials5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials 合理布置载荷合理布置载荷5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials二、梁的合理截面二、梁的合理截面 select the reasonable section
24、of beams5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials比值较大，形状就较为经济合理。比值较大，形状就较为经济合理。The bigger,the more reasonable.5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials材料特性的考
25、虑材料特性的考虑-脆性材料脆性材料5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials三、等强度梁的概念三、等强度梁的概念 equal strength beams 定义5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials等强度梁的结构等强度梁的结构形式与受载有关形式与受载有关5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics
26、of Materials5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials 大强度，小刚度的例子5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials 鱼腹形梁及其应用鱼腹形梁及其应用5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials 机械上的等强度轴机械上的等强度轴5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施Measures of Increasing StrengthMechanics of Materials