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1、材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第6章弯曲变形 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 1、挠度、挠度一一、挠度和转角挠度和转角1)挠曲线挠曲线 梁的轴线变为图中虚线所示的平面曲线。梁的轴线变为图中虚线所示的平面曲线。2)挠度挠度 y 轴线上各点在轴线上各点在y轴方向的线位移轴方向的线位移3)挠曲线方程挠曲
2、线方程2、转角、转角 1)转角转角 横截面绕中性轴转过的角度横截面绕中性轴转过的角度2)转角方程转角方程 图示坐标系中，规定图示坐标系中，规定:向上的挠度和逆钟向的转角为正。向上的挠度和逆钟向的转角为正。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社横力弯曲时横力弯曲时纯弯曲时梁轴线的曲率纯弯曲时梁轴线的曲率平面曲线任一点的曲率平面曲线任一点的曲率 6.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程二二、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 小变形情况下小变形情况下 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社取正号取正号 当弯矩当弯矩M(x)0时，
3、梁的挠曲线向下凸，曲率时，梁的挠曲线向下凸，曲率 。上式称为上式称为挠曲线近似微分方程。挠曲线近似微分方程。6.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程正负号选取正负号选取 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形 2、挠度、挠度1、转角、转角 边界条件确定积分常数边界条件确定积分常数 C、D 1)简支梁和外伸梁，两个铰支座处的挠度等于零；简支梁和外伸梁，两个铰支座处的挠度等于零；2)悬臂梁，固定端处的挠度和转角都等于零。悬臂梁，固定端处的挠度和转角都等于零。3、常见边界条件、常见边界条件 材料力学电子教案材料力学电子教案 C
4、机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形例例61 图图6-3所示等截面悬臂梁所示等截面悬臂梁AB，承受均布载荷，承受均布载荷q作作用。梁的弯曲刚度为用。梁的弯曲刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度程，并确定最大挠度ymax和最大转角和最大转角max。解解(1)列出梁的弯矩方程列出梁的弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分建立挠曲线近似微分方程并积分方程并积分 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形(3)确定积分常数确定积分常数 在固定端在固定端(4)转角方程和挠曲线方程转角
5、方程和挠曲线方程(5)最大挠度和最大转角最大挠度和最大转角 梁的最大挠度和最大转角都发生在自由端处梁的最大挠度和最大转角都发生在自由端处 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形(1)弯矩连续函数，积分常数可由其边界条件来确定。弯矩连续函数，积分常数可由其边界条件来确定。(2)弯矩方程为分段函数时，除了使梁满足边界条件弯矩方程为分段函数时，除了使梁满足边界条件以外，还要满足连续性条件。以外，还要满足连续性条件。连续性条件连续性条件 相邻梁段在交界处具有相同的挠度和转角相邻梁段在交界处具有相同的挠度和转角材料力学电子教案材料力学电子教案
6、C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形例例62 图图6-4所示简支梁受集中载荷所示简支梁受集中载荷F作用，梁的抗弯刚作用，梁的抗弯刚度为度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并求截面，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并求截面C的挠度和截面的挠度和截面A的转角。的转角。解解(1)求支座约束力，分段求支座约束力，分段建立弯矩方程建立弯矩方程 AC段段 CB段段 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分分段建立挠曲线近似微分方程，并积分AC段段 CB段段 材料力学电子教案材料力
7、学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形(3)利用边界条件及连续条件确定积分常数利用边界条件及连续条件确定积分常数 边界条件边界条件 连续条件连续条件 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.2 积分法求变形积分法求变形(4)给出转角方程和挠曲线方程给出转角方程和挠曲线方程AC段段 CB段段(5)求指定截面的位移求指定截面的位移 截面截面A的转角的转角 截面截面C的挠度的挠度 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.3 叠加法求变形叠加法求变形 小变形和材料遵从胡克定律。小变形和材料遵从胡克定律。一
8、、叠加法的应用前提一、叠加法的应用前提 当梁上同时作用多个载荷时，可分别算出每一当梁上同时作用多个载荷时，可分别算出每一载荷单独作用所引起的位移，这些位移的总和载荷单独作用所引起的位移，这些位移的总和(代数和或矢量和代数和或矢量和)即为各载荷同时作用所引起即为各载荷同时作用所引起的位移，这就是计算弯曲变形的的位移，这就是计算弯曲变形的叠加法叠加法。二、叠加法二、叠加法材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.3 叠加法求变形叠加法求变形例例63 图图65所示简支梁的抗弯刚度为所示简支梁的抗弯刚度为EI，受均布载荷，受均布载荷q和集中力偶和集中力偶Me作用。试用叠加法
9、求梁跨中点作用。试用叠加法求梁跨中点C的挠度的挠度和截面和截面A、B的转角。的转角。解解 均布载荷单独作用下均布载荷单独作用下 集中力偶单独作用下集中力偶单独作用下 将以上两个结果叠加将以上两个结果叠加 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.3 叠加法求变形叠加法求变形例例64 抗弯刚度为抗弯刚度为EI的外伸梁承受载荷如图的外伸梁承受载荷如图6-6a所示。所示。求自由端截面求自由端截面C的挠度。的挠度。解解 悬臂梁悬臂梁BC简支梁简支梁AB 外伸梁上截面外伸梁上截面C的挠度的挠度 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.4 梁的刚度
10、条件梁的刚度条件 梁的刚度条件梁的刚度条件(2)强度条件往往起控制作用。强度条件往往起控制作用。(1)f 和和 分别为梁的许可挠度和转角。分别为梁的许可挠度和转角。(3)在设计梁时，通常先由强度条件选择梁的截面，在设计梁时，通常先由强度条件选择梁的截面，然后对刚度进行校核。然后对刚度进行校核。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.4 梁的刚度条件梁的刚度条件例例64 图图67所示工字钢简支梁，跨中受集中载荷所示工字钢简支梁，跨中受集中载荷F=25 kN作用。跨长作用。跨长l=4 m，许可挠度，材料的弹性模量，许可挠度，材料的弹性模量E=206 GPa，许用应力，
11、试选择工字钢的型号。，许用应力，试选择工字钢的型号。解解(1)按强度条件选择截面按强度条件选择截面 由附录由附录C可查得，可查得，No.18a工字钢的几何特性为工字钢的几何特性为 最大弯矩发生在跨中截面最大弯矩发生在跨中截面 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.4 梁的刚度条件梁的刚度条件梁的最大挠度在跨中截面梁的最大挠度在跨中截面 刚度符合要求。刚度符合要求。(2)按刚度条件校核按刚度条件校核 故可选用故可选用No.18a工字钢。工字钢。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.5 变形比较法解超静定梁变形比较法解超静定梁 一、一
12、、静定梁静定梁 二、二、超静定梁超静定梁未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目。未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目。未知约束力的数目多于独立静力平衡方程的数目，未知约束力的数目多于独立静力平衡方程的数目，仅靠平衡方程不能确定全部未知力仅靠平衡方程不能确定全部未知力。三、三、变形比较法变形比较法 1)构造原超静定梁的构造原超静定梁的“相当系统相当系统”。假想地将多余约。假想地将多余约束去掉，代之以相应的约束力。束去掉，代之以相应的约束力。2)相当系统与原结构变形谐调的条件，建立与多余约相当系统与原结构变形谐调的条件，建立与多余约束力数目相等的补充方程，进而解出全部未知力。束力数目相等
13、的补充方程，进而解出全部未知力。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.5 变形比较法解超静定梁变形比较法解超静定梁变形比较方法求解图示超静定梁。变形比较方法求解图示超静定梁。解解(1)视支座视支座B为多余约束为多余约束 建立相当系统建立相当系统(2)建立补充方程建立补充方程 附录附录B可查得可查得 解得解得 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.5 变形比较法解超静定梁变形比较法解超静定梁(4)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(3)求出其他的约束力求出其他的约束力 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.
14、5 变形比较法解超静定梁变形比较法解超静定梁解法二解法二(1)视支座视支座A的约束力偶为多余约束的约束力偶为多余约束 建立相当系统建立相当系统(2)建立补充方程建立补充方程 附录附录B可查得可查得 解得解得 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.5 变形比较法解超静定梁变形比较法解超静定梁解超静定梁的主要步骤解超静定梁的主要步骤:(1)去掉多余约束去掉多余约束,并施加与多余约束相对应的约束并施加与多余约束相对应的约束力力(2)根据多余约束处的变形情况，建立补充方程，根据多余约束处的变形情况，建立补充方程，求出多余约束力。求出多余约束力。(3)利用静力平衡方程求解
15、其他的约束力和内力。利用静力平衡方程求解其他的约束力和内力。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6.6 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施 1.改善加载方式改善加载方式 左侧的皮带轮和右侧的左侧的皮带轮和右侧的齿轮尽可能地靠近轴承齿轮尽可能地靠近轴承 皮带拉力经由轴承传给箱皮带拉力经由轴承传给箱体，传动轴几乎不产生弯体，传动轴几乎不产生弯曲变形。曲变形。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社使齿轮尽量靠近轴承外，同时使中间齿轮在下使齿轮尽量靠近轴承外，同时使中间齿轮在下方与另一齿轮啮合。方与另一齿轮啮合。6.6 提高梁抗弯刚度的措
16、施提高梁抗弯刚度的措施2.减小梁的跨度减小梁的跨度 梁的挠度与跨度的三次方梁的挠度与跨度的三次方(集中力时集中力时)或四次方或四次方(分布力时分布力时)成正比，在满足使用要求的情况下，成正比，在满足使用要求的情况下，应尽量减小梁的跨长。应尽量减小梁的跨长。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社3.增加约束增加约束 6.6 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施4.选择合理的截面形状选择合理的截面形状 增大惯性矩的数值可以减小弯曲变形。一般空增大惯性矩的数值可以减小弯曲变形。一般空心薄壁截面的惯性矩比同面积的实心截面为大。心薄壁截面的惯性矩比同面积的实心截面为大。5.预加反挠度预加反挠度