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1、1工程中的弯曲变形现象第1页/共52页2工程中的弯曲变形现象第2页/共52页3工程中的弯曲变形现象第3页/共52页4工程中的弯曲变形现象第4页/共52页5弯曲变形现象N第5页/共52页6 弯曲问题的分析过程：弯曲内力 弯曲应力 弯曲变弯曲变形形 解决刚度问题第6页/共52页7工程上梁的变形问题弊(disadvantage)：影响使用,降低精度；引发破坏；产生不安全感。利(advantage)：减少冲击、振动；变形开关，变形储能弹簧等拉压伸长扭转转角弯曲挠度(Deflection)转角(Angle of rotation)第7页/共52页8梁变形的基本概念Basic concepts of de
2、formation in bending beam 挠度：y 梁截面转角：（顺时针转动为正，反之为负）变形后梁轴线挠曲线(Deflection curve)变形后梁截面：仍为平面xyPPPC1变形前梁截面：平面Cy第8页/共52页9转角与挠曲线的关系：小变形xPyCC1yy=y(x)dxdy第9页/共52页10推导弯曲正应力公式时有:挠曲线的近似微分方程Approximate differential equation of deflection curveApproximate differential equation of deflection curve又:第10页/共52页11yxM
3、0yxM0yxM0则：第12页/共52页131.微分方程的积分 Integration of differential equationdifferential equation)积分法求梁位移(Calculate beam deflection using integration method)利用边界条件-支承条件与连续条件来确定积分常数第13页/共52页14支点位移条件连续条件光滑条件固定支座PD2.边界条件(Boundary conditions)铰支座PABC或写成或写成第14页/共52页15 积分法求梁变形 适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面
4、梁的变形计算 积分常数由挠曲线变形的支承条件、连续条件确定 优点使用范围广，精确；缺点计算较繁铰链连接PDC注意:第15页/共52页16 积分法求梁变形的基本步骤：求支座反力，列弯矩方程求支座反力，列弯矩方程；若弯矩不能用一个函 数给出要分段写出 列挠曲线近似微分方程，积分求出转角、挠度函数 利用支承条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数第16页/共52页17例1 求梁的转角方程和挠度方程、最大挠度及最大转角建立坐标系,写弯矩方程写微分方程，并积分解:用边界条件,求积分常数PxxLy第17页/共52页18写出转角方程和挠度方程最大挠度及最大转角xLy第
5、18页/共52页19解：建坐标系、写弯矩方程写出微分方程，并积分例2 求梁的转角方程和挠度方程、最大挠度及最大转角aPLxfA B C第19页/共52页20应用位移边界条件和连续条件,求积分常数aPLxyA B C第20页/共52页21写出挠度方程和转角方程,并画出曲线最大挠度及最大转角分段求弯矩，分段积分利用边界条件求常数aPLxfA B C第21页/共52页22 挠曲线的的大致形状由梁的支座形式和弯矩图的正负来判断。由支座形式，决定支座处的挠度及转角，确定挠曲线的大致位置，弯矩值为正，表示挠曲线凹口朝上，弯矩值为负，表示挠曲线凹口朝下，弯矩值为0时，表示为拐点。在弹性范围内，梁的挠曲线是一
6、条连续光滑的曲线。第22页/共52页23支承条件、连续条件应用举例a2maq=10kN/mADBEaP20kN EADB10kNm 20kNm(-)(+)弯矩图三段，共6个 积分常数需6个支承条件和 连续条件第23页/共52页24支承条件、连续条件应用举例ABCD弯矩图分三段，共 6个积分常数 需6个支承条件和 连续条件铰连接PACDB第24页/共52页25 积分法求梁变形总结利用支承条件和连续条件来确定积分常数建立坐标系,写弯矩方程写微分方程，并积分用支承条件和连续条件求积分常数写出挠度方程和转角方程最大挠度及最大转角第25页/共52页26叠加原理：承受复杂载荷时，可分解成几种简单载荷，利用
7、简单载荷作用下的变形计算结果，叠加后得到在复杂载荷作用下的挠度和转角（P153-154）条件：材料服从虎克定律,小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系叠加法求梁的变形(Beam deflections calculation by superposition method)第26页/共52页27 例1：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩m等于多少？第27页/共52页28解：P153-154第28页/共52页29例2 按叠加原理求A点转角和C点挠度.解：载荷分解如图查梁的简单载荷变形表，得到变形AqPBCaa=+PABqAB第29页/共52页30叠加AqPBCaa=+PABqAB第30页/共52页
8、31 例3：图示梁处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度yC。第31页/共52页32解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为第32页/共52页33梁的刚度校核(Rigidity check of the beam)弯曲构件的刚度条件(Rigidity conditions):第33页/共52页34例4 起重量50kN的单梁桥式吊车,已知电弧炉重5kN,吊车梁跨度l9.2m,采用45a号工字钢,许用挠度 ,试校核吊车的刚度.GPa200=E材料的弹性模量解:将吊车梁简化为如右图 所示的简支梁载荷：P=50+5=55 kN，（1）计算变
9、形 AqPBCl/2l/2ycp+ycq由型钢表查得 第34页/共52页35因P和q引起的最大挠度均位于梁的中点C，由P154表查得：根据叠加法，得梁的最大挠度为：由型钢表查得 AqPBCl/2l/2ycp+ycq第35页/共52页36（2）校核刚度将梁的最大挠度与其比较知：刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：第36页/共52页37提高弯曲刚度的一些措施1、减小梁的跨度2、选择合理截面形状3、改善梁的受力和支座位置4、预加反弯度5、增加支座第37页/共52页38Lq0MABAq0LRBABxq0LABf或用变形比较法解简单超静定梁*处理方法：3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，求全部未知力解
10、：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 静定基等价第38页/共52页39几何方程变形协调方程q0LRBAB=+RBABq0AB物理方程补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）第39页/共52页40 几何方程 变形协调方程解：建立静定基例 求B点反力=LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB第40页/共52页41+物理方程 变形与力的关系补充方程LBCxfq0LRBABC=RBABq0AB求解其它问题（反力、应力、变形等）第41页/共52页4242工程实例(Engineering examples)第42页/共52页43本章小结：1、微分方程的导出2、微
11、分方程的解法 积分法求变形3、叠加法求变形第43页/共52页44问问 题题1、用积分法求梁的位移时，对于阶梯梁，应在截面变化处分段积分；对截面连续变化的梁，抗弯刚度能不能提到积分号外？第44页/共52页45问问 题题2、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（）处。A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大第45页/共52页46问问 题题3、中点承受集中力的等截面简支梁，为减小梁的变形，宜采取的措施是（）。A 用变截面梁代替等截面梁B 将集中力变为合力相等的分布力C 使用高强度合金钢D 采用等强度梁第46页/共52页47问问 题题4、桥式起重机的主钢梁，设计成外伸梁较简支梁有利，这是因为（）。A 减小了梁的最大弯矩值B 减小了梁的最大剪力值C 增加了梁的抗弯刚度值第47页/共52页48问问 题题5、将平板加工成波纹板，能提高抗弯变形能力的原因是：Iz 提高第48页/共52页49问问 题题6、材料相同、横截面积相等的钢杆和钢丝绳相比，为何钢丝绳要柔软得多？考虑中性轴，一个与多个，则惯性矩不同第49页/共52页50问问 题题7、P170题7-15 梁的位移边界条件第50页/共52页517-16,7-17(b),(d)7-18作业第51页/共52页52感谢您的观看！第52页/共52页