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1、2023/2/177 7-1-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第1页/共36页2023/2/177 7-1-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第2页/共36页2023/2/177 7-1-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第3页/共36页梁弯曲变形的概念梁弯曲变形的概念挠度-梁的横截面形心在垂直于轴线方向的位移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。正负规定：逆时针为正，反之为负2023/2/17第4页/共36页2023/2/17挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲
2、线，其表示式为w=w(x)转角与挠度w的关系即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。挠曲线轴挠曲线的方程式挠曲线的方程式刚度条件刚度条件:第5页/共36页7 7-2 -2 挠曲线的近似微分方挠曲线的近似微分方程程挠曲线公式简单推导由前可知由前可知：而在数学中有而在数学中有：略去高阶无穷小，得到略去高阶无穷小，得到:2023/2/17挠曲线近似微分方程第6页/共36页积分后：积分后：式中的积分常数式中的积分常数C C、D D由梁的由梁的边界条件边界条件和和连续条连续条件件确确定。定。7-3 积分法求梁的变形2023/2/17 转角方程 挠曲线方程第7页/共36页2023/2/17 积分常
3、数积分常数C C、D D 由梁的位移由梁的位移边界条件边界条件和和光光滑连续条件滑连续条件确定。确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形第8页/共36页例例7-17-1 图示悬臂梁图示悬臂梁 ，设弯曲刚度，设弯曲刚度EIEI为常数。为常数。2023/2/17试建立梁的挠度与转角方程。解：1）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分积分得积分得第9页/共36页2023/2/172）确定积分常数在固定端处，即 处，在固定端处，即 处，3）建立转角与挠度方程4）计算最大转角与挠度第10页/共36页解：1）求A,B支座反力2）写出梁的弯矩方程积分后得到:例7-2 试计算在均布载
4、荷作用下,求 。3）建立梁的近似微分方程2023/2/17第11页/共36页2023/2/17边界条件：边界条件：得转角和挠曲线方程得转角和挠曲线方程第12页/共36页2023/2/17 例例7-37-3 图示简支梁图示简支梁 。设弯曲刚度。设弯曲刚度EIEI为常数。为常数。试计算梁的最大挠度。解：1）计算支反力2）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分 段（）第13页/共36页2023/2/17经积分得：段（）经积分得：第14页/共36页2023/2/173）确定积分常数位移边界条件，即 处，即 处，位移连续条件，即 处，得：得：第15页/共36页2023/2/174）建立挠度方程并求最大挠度令
5、，得代入上式得梁的最大挠度l当 时，第16页/共36页2023/2/17 补充实例补充实例 图示简支梁图示简支梁 。设弯曲刚度设弯曲刚度EIEI为常为常数。数。试计算梁的最大挠度。解：1）计算支反力2）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分经积分得：（a）（b）第17页/共36页2023/2/173）建立转角与挠度方程在两端铰支座处，即 处，即 处，将积分常数值代人(a),(b)式得4）计算最大挠度令 ，得第18页/共36页2023/2/17 （1 1）对对各各段段梁梁，都都是是由由坐坐标标原原点点到到所所研研究究截截面面之之间间的的梁梁段段上上的的外外力力来来写写弯弯矩矩方方程程的的。所所以以后后
6、一一段段梁梁的的弯弯矩矩方方程程包包含含前前一一段段梁梁的的弯弯矩矩方方程程，只增加了只增加了(x-ax-a)的项的项。（2 2）对对(x-ax-a)的的项项作作积积分分时时,应应该该将将(x-ax-a)项项作作为为积积分分变变量量。从从而而简简化化了了确确定定积积分分常常数数的的工工作作。l积分法的原则积分法的原则第19页/共36页7-47-4 用叠加法求弯曲应力用叠加法求弯曲应力 v叠加法 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立作用时变形的叠加。v常见简单载荷作用下梁的变形l教材P1622023/2/17v结构形式叠加（逐段刚化法）第20页/共36页解：均布载荷单独作用时，集中力F单独作
7、用时，例例7.47.4 用叠加法求用叠加法求C C截面的挠度截面的挠度2023/2/17第21页/共36页 例例7-57-5有车床主轴简化的等截面外伸梁有车床主轴简化的等截面外伸梁,求图中截求图中截面面B B的转角和端点的转角和端点C C的挠度。的挠度。解:设想沿截面B将外伸梁分成两部分,AB受力如图。F2单独作用引起截面B的转角为：弯矩M引起截面B的转角为：2023/2/17第22页/共36页端点C的挠度为：BC段（悬臂梁），F1作用下截面C的挠度为：M和F2共同作用时的转角2023/2/17C C点的总挠度点的总挠度第23页/共36页2023/2/17 补充例题补充例题 试利用叠加法，试利
8、用叠加法，求图示简支梁挠度求图示简支梁挠度 w wC C 和和转角转角 A A ,B B 。解解:可视为正对称荷载可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的与反对称荷载两种情况的叠加。叠加。ABCql ll/2CABq/2q/2ABCq/2第24页/共36页2023/2/17（1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下（2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 在跨中在跨中C C 截面处截面处,挠度挠度 w wC C等于零等于零,但转角不等于但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零。零且该截面的弯矩也等于零。可将可将ACAC 段和段和BCBC 段分别视为受均布载荷作用且长段分别视为受均布载荷作用且长
9、度为度为l l/2/2 的简支梁。的简支梁。CABq/2q/2ABCq/2第25页/共36页2023/2/17可得到可得到：将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得()()()CABq/2q/2第26页/共36页2023/2/17实例：车床加工零件：卡盘夹紧工件、尾座顶针实例：车床加工零件：卡盘夹紧工件、尾座顶针。第27页/共36页2023/2/177.6 7.6 简单超静定梁简单超静定梁AB 两个平衡方程，三个未两个平衡方程，三个未知力，这是一次超静定梁。知力，这是一次超静定梁。2 2、建立变形协调方程、建立变形协调方程1 1、建立静力平衡方程、建立静力平衡方程AB第28页/共36
10、页2023/2/17解出得解出得3 3、求弯矩进行强度、刚度计算、求弯矩进行强度、刚度计算计算结果表明，在计算结果表明，在B B点加支座，点加支座，强度、刚度都有很大的提高。强度、刚度都有很大的提高。用叠加法求解超静定梁的方法变形比较法第29页/共36页2023/2/17 例例7-77-7车床床头箱（传动轴）车床床头箱（传动轴）等截面三支座梁，等截面三支座梁，试用叠加法求解。试用叠加法求解。ABCDABCD解：解出解：解出C C处约束，用未知力处约束，用未知力 表示。表示。第30页/共36页2023/2/17ABCDABCDl在在F F力单独作用下力单独作用下，查表得：，查表得：转角转角挠度挠
11、度第31页/共36页2023/2/17ABCl在在F FRCRC力单独作用下力单独作用下，查表得，查表得（仿照例（仿照例7-57-5）得）得l把把BCBC部分看作是整体转动了一个部分看作是整体转动了一个 角的悬臂梁。角的悬臂梁。第32页/共36页2023/2/17ABCDABCDABC变形协调方程变形协调方程：解出：解出：，计算支反力、强度和变形。，计算支反力、强度和变形。第33页/共36页1改善结构形式以减小弯矩2选择合理的截面形状2023/2/1777 提高梁弯曲刚度的措施第34页/共36页2023/2/17小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会用变形比较法解简单超静定问题、学会用变形比较法解简单超静定问题第35页/共36页2023/2/17感谢您的观看！第36页/共36页