第二章系统数学模型.pptx

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1、本章内容提纲2.0 基本概念2.1 系统的微分方程2.2 Laplace 变换与反变换2.3 系统的传递函数2.4 系统的传递函数方框图及其简化2.5 反馈控制系统的传递函数2.6 相似原理2.7 系统的状态空间模型2.8 数学模型的Matlab描述第1页/共76页2.0 2.0 基本概念1)1)建立数学模型的意义(1)1)可定性地了解系统的工作原理及其特性;(2)(2)更能定量地描述系统的动态性能;(3)(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。2)2)系统数学模型的形式（1 1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系统(或元件)动态特性；（2 2）传递函数形式，它极有利于对系统在

2、复数域及频域进行深入的研究、分析与综合。第2页/共76页3)3)数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅就分析法进行讨论。(1)(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。(2)(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。第3页/共76页 4)4)线性系统与非线性系统定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程 如果系数 均为常数，则式(2-1)(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。若 是

3、时间t t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。第4页/共76页若 中有系数依赖于 或它们的导函数，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统，下面模型是非线性的。线性及非线性是系统本身的固有特性。线性系统最重要的特性是满足叠加原理。第5页/共76页2.1 2.1 系统的微分方程一用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法(1)(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)(

4、2)进行适当的简化，忽略次要因素；(3)(3)从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；注意：负载效应，非线性项的线性化。(4)(4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)(5)标准化。整理所得微分方程，输出量降幂排列输入量降幂排列一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。第6页/共76页例2.1 2.1 图示为RCRC电路串联滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。解：列写系统微分方程输入:电压 输出:电压 中间变量简化根据基尔霍

5、夫定律，可写出下列原始方程式：第7页/共76页(4)(4)消去中间变量 式（）就是系统的微分方程。第8页/共76页注意虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。本例如果不考虑负载效应时，有：第一级：第二级：消去中间变量得到：显然与前面得到的结果不同。第9页/共76页 例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下

6、，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中为 电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。第10页/共76页 (1)输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变量 ;(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，与转速 成正比，即 式中，为反电势常数。这样（）式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为第11页/共76页 式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数（3）消除中间变量将（）式代入（）式得上式略去了与转

7、速成正比的阻尼力矩。应用（）式和（）式消去中间变量ia，可得令 ，则上式为 式（）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。()()第12页/共76页二微分方程的增量化表示 前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为：则有 这就是系统的稳态。（）（）第13页/共76页 （2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：则式（）可记为：考虑到 ，上式可变为 2.14

8、为在某一平衡状态附近的增量化表示。与式2.11不同的是将变量的原点设在平衡点上，把初始条件变为零，求解及分析时方便了许多。第14页/共76页三非线性微分方程的线性化 某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。下图是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。第15页/共76页 (1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系 第16页/共76页（3）线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中 则(2.18)可以

9、写成 当系统在预定工作条件 ，下工作 即分别为q,x,p,故（）可以写为()()第17页/共76页 （4）消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：第18页/共76页 图三者线性关系图三者线性关系第19页/共76页 小偏差线性化时要注意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零 （2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在

10、不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化这类非线性称为本质非线性。（4 4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。第20页/共76页2.2 拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 时域 f(t)称为原函数，复频域 F(s)称为象函数拉氏变换基本定理线性定理线性定理 终值定理终值定理终值定理终值定理初值定理初值定理初值定理初值定理第21页/共76页微分定理微分定理微分定理微分定理 积分定理积分定理积分定理积分定理 第22页/共76页常用拉普拉斯变换第23页/共76页 拉氏反变换拉氏反变换定义：定义

11、：求法：求法：F(s)化成下列因式分解形式：F(s)中具有不同的极点时，可展开为原函数为：第24页/共76页用拉氏变换解线性常微分方程步骤：1.将 系 统 的 微 分 方 程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程；2.解 变 换 方 程，求 出系统输出变量的象函数的表达式；3.将 输 出 变 量 的 象 函数表达式展开成部分分式；4.对 部 分 分 式 进 行 拉氏反变换，得到微分方程的全解。例：已知系统的微分方程第25页/共76页 传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传递函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计算工作量。

12、2.传递函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计.一.定义 输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出 的Laplace变换 与输入 的Laplace变换 之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S)。2.3 系统的传递函数第26页/共76页 数学说明：线性定常系统微分方程如下：输入、输出的初始条件均为零时，作LaplaceLaplace变换可得：由定义可得：将式（）画成方框图，如图所示。图系统框图 则：()()第27页/共76页二.传递函数的特点传递函数是关于副变量s的复变函数；传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映系统与外界的联系；当输入

13、确定时，系统的输出完全取决于系统的传递函数 （零初始条件）物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数（相似系统）。第28页/共76页三.零点、极点和放大系数 G(s)G(s)因式分解：K为常数当 时，均能使G（s）=0,故称 为G(s)G(s)的零点。当 时，均能使G（s）取极值：故称 为G(s)G(s)的极点 1.G(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一致的，极点即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。第29页/共76页 放大系数是系统稳态时输出与输入之比。当输入为单位阶跃函数 由终值定理可

14、求得系统稳态输出为：G(0)G(0)分别由定义及分解式得：放大系数为G(0)G(0)，它由微分方程的常数项决定。系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。第30页/共76页例 求系统的传递函数 解：列写系统微分方程输入:电压 输出:电压 列写微分方程零初始条件下，拉氏变换消中间变量，并整理第31页/共76页四典型环节的传递函数典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。下面介绍这些环节的传递函数及其推导：第32页/共76页1 1比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节）输出不失

15、真也不延迟而按比例反映输入的环节称为比例环节，其动力学方程为：K K为环节的放大系数或增益。其传递函数为：（）运算放大器齿轮传动副例如第33页/共76页 2.2.惯性环节（或一阶惯性环节）动力学方程为一阶微分方程 的环节为惯性环节，其传递函数为：式中，K K为放大系数；T T为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图所示。特点：存在储能与耗能元件；在阶跃输入下，系统不能立即达到稳态值例如：无源滤波电路；弹簧-阻尼系统；（）图惯性环节第34页/共76页3 3微分环节 具有输出正比于输入的微分，即具有 的环节称为微分环节，显然，其传递函数为：式中，T T为微分环节的时间常数，微分环节的方框图如图所示

16、（）图微分环节其控制作用：使输出提前；增加系统阻尼；强化噪声的作用。第35页/共76页4.4.积分环节 具有输出正比于输入对时间的积分，即具有 的环节称为积分环节，显然，其传递函数为：式中，T T为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图所示。特点：输出累加特性；输出的滞后作用；记忆功能。图积分环节（）第36页/共76页5.5.振荡环节（或称二阶振荡环节）振荡环节是二阶环节，其传递函数为：或写成 为无阻尼固有频率；T T为振荡环节的时间常数，为阻尼比。方框图见图。阶跃输入时，输出有两种情况：（1 1）当0101时，输出为一振荡过程，即为振荡环节；（2 2）当11时，输出为一指数上升曲线而不振荡

17、，最后达到常值输出。此时，二阶环节不是振荡环节，而是两个一阶惯性环节的组合。当T T很小，较大时，由式（），可知 可忽略不计，故分母变为一阶，二阶环节近似为惯性环节。图第37页/共76页6.6.延时环节（或称迟延环节）延时环节是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节。一般与其他环节同时共存，不单独存在。延时环节的输入与输出之间有如下关系（为延迟时间）：延时环节是线性环节：设延时作用相当于算子A A，即 通过算子A A的作用而变为 ，即：从而有：这表明算子A A符合叠加原理是线性的，即延时环节是线性环节。（）第38页/共76页延时环节传递函数：延时环节与惯性环节区别：惯性环节的输出需要延迟一

18、段时间才接近于所要求的输出量，但它从输入开始时刻起就已有了输出；延时环节在输入开始之后，延时时间内并无输出，延时时间之后，输出就完全等于输入；简言之，输出等于输入，只是在时间上延时了一段时间间隔。第39页/共76页2.4 2.4 系统的传递函数方框图及其简化 一.传递函数方框图 一个系统可由若干个环节组成，将这些环节以方框表示，其间用相应的变量联系起来，就构成系统的方框图。它是系统的一种图解表示方法。方框图表示有如下优点：（1 1）可以形象地表示系统的内部情况及各环节、各变量之间的关系；（2 2）提供关于系统动态性能的信息；（3 3）可以揭示和评价每个环节对系统的影响。第40页/共76页1.1

19、.方框图结构要素 (1)(1)函数方框 函数方框是传递函数的图解表示。方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。所以，方框的输出应是方框中的传递函数乘以其输入，即 第41页/共76页 (2)(2)相加点 相加点是信号之间代数求和运算的图解表示，如图2 23 32 2所示。1.1.相加点处，输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和；2 2.“.“十”号或“一”号表示该输入信号代数运算中的符号；3 3.在相加点处加减的信号必须是同种变量，且量纲相同；4 4.相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。(3)(3)分支点 分支点表示同一信号向不同方向的传递，如图2

20、 23 33 3所示，在分支点引出的信号：量纲相同，数值相等.第42页/共76页2.2.方框图的建立 建立系统方框图的步骤：(1)(1)建立系统(或元件)的原始微分方程；(2)(2)对微分方程进行LaplaceLaplace变换，并根据各LaplaceLaplace变换式中的因果关系，绘出相应的方框图；(3)(3)按照信号在系统中传递或变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起)，系统输入量置于左端，输出量置于右端。第43页/共76页一阶RC网络 解：由图，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得：例画出下列RC电路的方框图。第44页/共76页将

21、图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方框图。第45页/共76页例 画出液压伺服机构的系统方框图1.微分方程2.传递函数第46页/共76页第47页/共76页例第48页/共76页第49页/共76页二.传递函数方框图的等效变换 实际自动控制系统：通常用多回路的方框图表示，如大环回路套小环回路，其方框图甚为复杂。为便于分析和计算，可基于下述的等效原则对方框图加以简化。第50页/共76页1 1串联环节的等效变换规则串联：前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式称为环节的串联，如图2 23 38 8所示。串联后的传递函数为：故环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积

22、第51页/共76页 2.2.并联环节的等效变换规则 各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种联接方式称为环节的并联，如图所示。则有 环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和第52页/共76页3 3方框图的反馈联接及其等效规则 如下图所示称为反馈联接，它也是闭环系统传递函数方框图的最基本形式。单输入作用的闭环系统，其传递函数方框图总可以简化成图2 23 31010所示的基本形式。第53页/共76页 图2 23 31010中，称为前向通道传递函数，它是输出 与偏差 之比，即 称为反馈回路传递函数，即 前向通道传递函数 与反馈回路传递函数 之乘积定义为系统的开环传递函数 ,它也是反

23、馈信号 与偏差 之比，即（）（）（）第54页/共76页输出信号 与输入信号 之比，定义为系统的闭环传递函数 ，即 由 可以推出:当相加点的B B(s)(s)处为负号若反馈回路传递函数H(S)=1,H(S)=1,称为单位反馈。此时有 （）（）（）第55页/共76页4 4分支点移动规则 若分支点由方框之后移到该方框之前，为了保持移动后分支信号不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的方框，如图2 23 311(a)11(a)所示。若分支点由方框之前移到该方框之后，为了保持移动后分支信号X3X3不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的倒数的方框，如图2 23 31l(b)1l(b)所示。第56页/共7

24、6页5 5相加点移动规则 若相加点由方框之前移到该方框之后，为了保持总的输出信号X3X3不变，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的方框，如图2 23 31l(c)1l(c)所示。若相加点由方框之后移到该方框之前，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框，如图2 23 31l(d)1l(d)所示。第57页/共76页6 6分支点之间、相加点之间相互移动规则 分支点、相加点间的相互移动，均不改变原有的数学关系，因此，可以相互移动，如图2 23 312(a)12(a)、(b)(b)。但分支点相加点之间不能直接移动，因为它们并不等效。第58页/共76页7 7交换相加点和分支点 分支点与相加点间

25、的相互移动，为了保持总的输出信号不变，每条分支均要考虑相加点。第59页/共76页 化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。例：如图2313所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方框图，并求系统传递函数。图 第60页/共76页 化简过程可按如下步骤进行：(1)由(a)相加点前移得（b）;图 第61页/共76页(2)将（b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数,得（c）；图第62页/共76页 (3)再消去(c)中第二个闭环回路，使之成为单位反馈

26、的单环回路，得(d)；图第63页/共76页 (4)去掉（d）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，即原系统的闭环传递函数。图第64页/共76页方框图的等效变换及简化途径不是唯一的 除了简化求解系统传递函数，含有多个局部反馈的闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解：括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，反馈信号为“相加”时取负号；反馈信号为“相减”时取正号。第65页/共76页 依此可直接由(a)(a)作出（e e），要特别注意，在应用式（）时，必须要具备以下两个条件：（1 1）整个方框图只有一条前向通道；（2 2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。第66页/共76页2.5 2.5

27、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 控制系统一般会受到两类输人作用，一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想输入等；另一类则是扰动，或称干扰。给定输入通常加在控制装置的输人端，也就是系统的输入端；而干扰一般作用在被控对象上。为了消除干扰对系统输出的影响，一般采用反馈控制的方式，将系统设计成闭环系统。典型结构可用图所示的方框图表示。图反馈控制系统的典型框图 第67页/共76页应用叠加原理可分别求出在输入信号和由扰动作用时，反馈控制系统的传递函数，即闭环传递函数。输入信号作用下的闭环传递函数 此时令扰动为零，可把图简化为图，图输入作用下的系统框图根据有反馈连接时的方框图等效，可求得输出量与输入

28、量之间的闭环传递函数G(s)为第68页/共76页 扰动作用下的闭环传递函数此时令输入信号为零，可把图简化为图 图扰动作用下的系统框图根据有反馈连接时的方块图等效，可求得输出量与输入量之间的闭环传递函数G(s)为第69页/共76页 综合以上，可得在输入信号和扰动信号同时作用下，系统的总输出为 即第70页/共76页分析:若设计确保 和 ,可知 为极小值，可见上述条件下，扰动对系统的影响很小，或者说系统对扰动的抑制能力很强。进一步化简有：第71页/共76页 表明系统的输出只取决于反馈通道的传递函数和输入信号，而与前向通道传递函数几乎无关。特别是当 ，即单位反馈，从而系统几乎实现了对输入信号的完全复现

29、 。如果系统没有反馈回路，即 0 0，则系统成为一开环系统，此时干扰引起的输出 无法被消除，全部形成误差。第72页/共76页 2.6 2.6 相似原理形式相同的数学模型描述的物理系统称为相似系统;在微分方程或传递函数中占相同位置的物理量为相似量。“相似”，指数学形式而不是指物理实质.相似原理意义：1.可以用相同的数学方法对相似系统加以研究；2.2.可以通过一种物理系统去研究另一种相似的物理系统。在专用模拟机或通用模拟机上采用相似的电网络代替所要研究的系统，来进行电模拟的计算与研究；在数字计算机上，采用数字仿真技术进行研究。课本中列出了一些机、电相似系统。第73页/共76页第74页/共76页本章总结1.什么是线性系统，其最重要特性是什么？2.掌握简单机械系统，电路网络的微分方程的建立方法；3.传递函数的概念；4.已知系统的微分方程，会列写其传递函数；5.典型环节的传递函数表示，参数含义；6.掌握传递函数方框图的简化；7.理解相似原理。第75页/共76页感谢您的观看！第76页/共76页