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1、第二章控制系统的数学模型现在学习的是第1页，共27页（1 1）确定系统的确定系统的输入变量输入变量和和输出变量输出变量。一、建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤（2 2）建立初始微分方程组。建立初始微分方程组。（3 3）消除中间变量，将式子消除中间变量，将式子标准化标准化。第一节控制系统的微分方程第一节控制系统的微分方程微分方程微分方程标准形式：标准形式：左端：左端：与输出量有关的项；与输出量有关的项；右端：右端：与输入量有关的项；与输入量有关的项；各导数项均按降幂排列！各导数项均按降幂排列！现在学习的是第2页，共27页现在学习的是第3页，共27页电气系统三要素的微分方程电气系
2、统三要素的微分方程RCL+电阻电阻电容电容电感电感 设系统设系统输入量输入量为电流，为电流，输出量输出量为电压为电压微分方程微分方程 现在学习的是第4页，共27页ucur二、常见环节和系统微分方程的建立二、常见环节和系统微分方程的建立1RC电路电路+-uruc+-CiR输入量：输入量：输出量：输出量：（1）确定输入量确定输入量和输出量和输出量（2）建立初始微建立初始微分方程组分方程组RC电路是一阶常系数电路是一阶常系数线性微分方程。线性微分方程。（3）消除中间变量，）消除中间变量，使式子标准化使式子标准化微分方程微分方程 现在学习的是第5页，共27页 输出在左，输入在右输出在左，输入在右 按降
3、幂排列按降幂排列微分方程微分方程 2RLC电路的微分方程电路的微分方程+-uruc+-CLRi输出量：输出量：输入量：输入量：uruc根据基尔霍夫定律：根据基尔霍夫定律：现在学习的是第6页，共27页 输入量输入量为外力为外力:依据牛顿定律：依据牛顿定律：输出在左，输入在右输出在左，输入在右 按降幂排列按降幂排列 微分方程微分方程 3机械位移系统机械位移系统输出量输出量为位移为位移:现在学习的是第7页，共27页相似系统相似系统 具有具有相同结构相同结构的数学模型的数学模型微分方程微分方程结构结构一致一致二阶线性定常微分方程二阶线性定常微分方程微分方程微分方程 不同形式的物理环节和系统可以建立相同
4、形式的数学模型。不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。+-uruc+-CLRi现在学习的是第8页，共27页系系统统微微分分方方程程由由输输出出量量各各阶阶导导数数和和输输入入量量各阶导数各阶导数以及系统的一些以及系统的一些参数参数构成。构成。n阶线性定常系统的微分方程可描述为：阶线性定常系统的微分方程可描述为：微分方程微分方程 现在学习的是第9页，共27页微分方程微分方程 拉氏变换法求解微分方程：拉氏变换法求解微分方程：三、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解线性微分方程线性微分方程（时域（时域）代数方程代数方程（复数域（复数域）代数方程的解代数方程的解（复数域（复数域）微分
5、方程的解微分方程的解（时域（时域）拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换时间函数时间函数 的拉氏变换记作的拉氏变换记作现在学习的是第10页，共27页1 1、常用函数常用函数的拉氏变换的拉氏变换微分方程微分方程 123456789序号序号原函数原函数f(t)象函数象函数 F(s)复习复习现在学习的是第11页，共27页线性定理线性定理微分定理微分定理齐次性齐次性叠加性叠加性若若 及其各阶导数的初值都为及其各阶导数的初值都为0 0，则，则微分方程微分方程 2 2、拉氏变换的、拉氏变换的基本定理基本定理现在学习的是第12页，共27页初值定理初值定理终值定理终值定理位移定理位移定理利用利用直接求直接求函数
6、函数的初值的初值利用利用直接求直接求函数函数的终值的终值例：例：，求，求的初值、终值。的初值、终值。微分方程微分方程 现在学习的是第13页，共27页微分方程微分方程 3 3、拉氏、拉氏反变换反变换查表法：查表法：将将 部分分式展开，变换成能在表中直接查部分分式展开，变换成能在表中直接查 到原函数的形式。到原函数的形式。（1 1）无重极点无重极点（2 2）有重极点有重极点（3 3）有共轭极点有共轭极点现在学习的是第14页，共27页微分方程微分方程 练习练习例例1 1：已知已知，求，求例例2 2：已知已知，求，求例例3 3：已知已知，求，求例例4 4：已知已知，求，求例例5 5：已知已知，求，求例
7、例6 6：已知已知，求，求现在学习的是第15页，共27页拉氏变换的重要应用拉氏变换的重要应用解线性定常微分方程解线性定常微分方程 求微分方程的拉氏变换，求微分方程的拉氏变换，注意初值！注意初值！求出求出 的表达式的表达式 拉氏反变换，求得拉氏反变换，求得例例1 1：求解求解已知已知微分定理微分定理解：解：查表查表微分方程微分方程 现在学习的是第16页，共27页微分方程微分方程 练习练习例例2 2：求解求解已知已知解：解：查表查表现在学习的是第17页，共27页一、传递函数的一、传递函数的定义定义 线性定常系统线性定常系统的的传递函数传递函数，定义为，定义为零初始条件零初始条件下，系统下，系统输出
8、量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数传递函数 第三节传递函数第三节传递函数G(s)r(t)输入输入c(t)输出输出R(s)输入的拉氏变换输入的拉氏变换输出的拉氏变换输出的拉氏变换C(s)微分方程微分方程现在学习的是第18页，共27页RLC串联电路串联电路S S的代数方程的代数方程微分方程：微分方程：零初始条件零初始条件传递函数传递函数微分定理微分定理传递函数传递函数 信号量小写变大写，下标不变，信号量小写变大写，下标不变，t t变变s s+-uruc+-CLRi现在学习的是第19页，共27页机械位移系统机械位移系统微分方程：微分方程：零初始条件零
9、初始条件微分定理微分定理传递函数传递函数传递函数传递函数 现在学习的是第20页，共27页相似系统相似系统 具有具有相同结构相同结构的数学模型的数学模型传递函数传递函数结构结构一致一致传递函数传递函数+-uruc+-CLRi现在学习的是第21页，共27页设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性定常微分方程描述：阶线性定常微分方程描述：零初始条件零初始条件输入、输出及其各阶导数初值为零输入、输出及其各阶导数初值为零系统传递函数的一般表达式为：系统传递函数的一般表达式为：传递函数传递函数 现在学习的是第22页，共27页传递函数传递函数 将分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即将分
10、子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn)K0放大系数s=s1,s2 ,sn传递函数的极点s=p1,p2 ,pm传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的式，传递函数的极点极点就是微分方程的就是微分方程的特征根特征根。现在学习的是第23页，共27页二、传递函数的二、传递函数的性质性质性质性质1传递函数只适用于线性定常系统；传递函数只适用于线性定常系统；性质性质3传递函数是复变量传递函数是复变量s s的的有理真分式，有理真分式，且所有系
11、数为实数且所有系数为实数；性质性质2传递函数取决于系统或元件的结构和参数，传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，与输入量的形式（幅度与大小）无关，描述系描述系统的固有特性统的固有特性；传递函数传递函数 性质性质传递函数是在传递函数是在零初始条件下零初始条件下定义的，因而不定义的，因而不能反映非零初始条件下系统的运动过程。能反映非零初始条件下系统的运动过程。现在学习的是第24页，共27页三、三、典型环节典型环节的传递函数及其性能特点的传递函数及其性能特点任何一个复杂系统都是由有限个任何一个复杂系统都是由有限个典型环节典型环节组合而成的。组合而成的。传递函数传递函数 溶液浓度控制溶液浓度控制现在学习的是第25页，共27页1 比例环节比例环节 实例：实例：放大器、电阻、齿轮系等。放大器、电阻、齿轮系等。传递函数传递函数 现在学习的是第26页，共27页2 惯性环节惯性环节 实例：实例：RC网络网络时间常数时间常数传递函数传递函数+-uruc+-CiR现在学习的是第27页，共27页