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1、2.2.3 2.2.3 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可使运算简化。和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可使运算简化。1.叠加定理叠加定理拉氏变换拉氏变换也服从线性函数的也服从线性函数的齐次性齐次性和和叠加性叠加性。1）齐次性齐次性设设，则，则式中式中常数。常数。（2）叠加性叠加性设设，则，则两者结合起来，就有两者结合起来，就有这说明这说明拉氏变换拉氏变换是是线性变换线性变换。（2.18）（2.19）2.微分定理微分定理设设则则式中式中函
2、数函数在在时刻的值，即时刻的值，即初始值初始值。同样，可得同样，可得的各阶导数的的各阶导数的拉氏变换拉氏变换是是（2.20）式中式中，原函数各阶导数在原函数各阶导数在时刻的值。时刻的值。如果函数如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始零初始条件条件），则），则各阶导数的各阶导数的拉氏变换拉氏变换为为3.复微分定理复微分定理若若可以进行可以进行拉氏变换拉氏变换，则除了在，则除了在的的极点极点以外，以外，式中，式中，。同样有。同样有（2.21）（2.22）一般地，有一般地，有4.积分定理积分定理设设，则，则式中式中积分积分在在时刻的值时刻的值。当当初始条件为零
3、初始条件为零时，时，对对多重积分多重积分是是（2.23）（2.24）（2.25）（2.26）当当初始条件为零初始条件为零时，则时，则5.延迟定理延迟定理设设，且，且时，时，则，则函数函数为原函数为原函数沿沿时间轴延迟了时间轴延迟了，如图如图2.11所示。所示。（2.27）（2.28）6.位移定理位移定理在控制理论中，经常遇到在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的一类的函数，它的象函数象函数只需把只需把用用代替即可，这相当于在复数代替即可，这相当于在复数坐标中，坐标中，有一位移有一位移。设设，则，则例如例如的的象函数象函数，则，则的的象函数象函数为为7.初值定理初值定理它表明它表明原函数原函数在
4、在时的数值。时的数值。即即原函数原函数的初值等于的初值等于乘以乘以象函数象函数的终值。的终值。（2.29）（2.30）8.终值定理终值定理设设，并且，并且存在，则存在，则即即原函数原函数的终值等于的终值等于乘以乘以象函数象函数的初值。的初值。这一定理对于求这一定理对于求瞬态响应瞬态响应的稳态值是很有用的。的稳态值是很有用的。9.卷积定理卷积定理设设，则有，则有即两个即两个原函数原函数的的卷积分卷积分的的拉氏变换拉氏变换等于它们等于它们象函数象函数的乘积。的乘积。式（式（2.32）中，）中，为为卷积分卷积分的数学表示，定义为的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变时间比例尺的改变（2.31）（2
5、.32）式中式中比例系数比例系数例如，例如，的的象函数象函数，则，则的象函数为的象函数为11.拉氏变换的积分下限拉氏变换的积分下限在某些情况下，在某些情况下，在在处有一个处有一个脉冲函数脉冲函数。这时必须。这时必须明确明确拉普拉斯积分拉普拉斯积分的下限是的下限是还是还是，因为对于这两种下限，因为对于这两种下限，的的拉氏变换拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：（2.33）若在若在处处包含一个包含一个脉冲函数脉冲函数，则，则因为在这种情况下因为在这种情况下显然，如果显然，如果在在处处没有脉冲函数没有脉冲函数，则有，则有2.2.4 2.2.4 拉普
6、拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为拉普拉斯反变换的公式为式中式中表示拉普拉斯反变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数原函数。（2.362.36）1.部分分式展开法部分分式展开法在控制理论中，常遇到的在控制理论中，常遇到的象函数象函数是是的的有理分式有理分式为了将为了将写成部分分式，首先将写成部分分式，首先将的分母的分母因式分解因式分解，则有则有式中，式中，是是的根的负值
7、，称为的根的负值，称为的的极极点点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2.的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换，（2.37）式中，式中，是待定系数，它是是待定系数，它是处的留数，其求法如下处的留数，其求法如下再根据再根据拉氏变换拉氏变换的的叠加定理叠加定理，求得，求得原函数原函数例例2.1求求的原函数。的原函数。解解:首先将首先将的分母因式分解的分母因式分解，则有，则有（2.38）即得即得3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果如果有一对有一对共轭复数极点共轭复数极点，其余极
8、点均为，其余极点均为各不相同的各不相同的实数极点实数极点。将。将展成展成式中，式中，和和可按下式求解可按下式求解即即因为因为（或（或）是复数，故式（）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得即得、两个常数。两个常数。例例2.2已知已知，试求其，试求其部分分式。部分分式。解解:因为因为（2.392.39）、（2.402.40）含有一对共轭复数极点含有一对共轭复数极点，和一个和一个极点极点，故可将故可将式（式（2.40）因式分解成）因式分解成以下求系数以下求系数、和
9、和。由式（由式（2.40）和式（）和式（2.41）相等，有）相等，有用用乘以上式两边，并令乘以上式两边，并令，得到得到（2.41）（2.422.42）上式可进一步写成上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得联立以上两式，可求得为了求出系数为了求出系数，用，用乘方程（乘方程（2.42）两边，并令）两边，并令，将将代入，得代入，得将所求得的将所求得的、值代入（值代入（2.41），并整理后得），并整理后得的的部分分式部分分式查拉氏变换表便得查拉氏变换表便得，结果见式（结果见式（3.16）。例例2.3已知已知求求。解解:将将的分母因式分解
10、的分母因式分解，得，得利用方程两边实部、虚部分别相等得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得解得，所以所以，这种形式再作适当变换这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得查拉氏变换表得 4.中含有重极点的拉氏反变换中含有重极点的拉氏反变换设设有有个个重根重根，则，则将上式展开成部分分式将上式展开成部分分式式中，式中，的求法与单实数极点情况下相同。的求法与单实数极点情况下相同。，的求法如下：的求法如下：（2.432.43）例例2.4设设，试求，试求的部分分式。的部分分式。解解:已知已知含有含有2个重极点，可将式（个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得）的分母因式分解得以下求系数以下求系数、和和。(
11、2.44）（2.452.45）（2.46）、将所求得的将所求得的、值代入式（值代入式（2.46），即得即得的部分的部分分式分式查拉氏变换表可得查拉氏变换表可得。例例2.5求求的拉氏反变换。的拉氏反变换。解解:将将展开为部分分式展开为部分分式上式中各项系数为上式中各项系数为于是于是查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得 应当指出，对于在应当指出，对于在分母中包含有较高阶次多项式的复杂函分母中包含有较高阶次多项式的复杂函数，用人工算法进数，用人工算法进行部分分式展开则相当费时费力。这种情况行部分分式展开则相当费时费力。这种情况下，采用下，采用MATLAB工具就方便多了。工具就方便多了。5.用用MATLA
12、B展开部分分式展开部分分式(1)概述概述MATLAB是美国是美国MathWorks公司的软件产品，是一个高级公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。机工具。SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而
13、是侧重于系统的建模、分析与它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。工程界所采用。(2)用用MATLAB进行部分分式展开进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。的部分分式展开式。设设s 的有理分式为的有理分式为式中式中（i=）和）和（j=）的某些值可能为零。）的某些值可能为零。在在MATLAB的行向量中，的行向量中，num和和den分别表示分别表示F(s)分子和分母的分子和分母的系数，即系数，即num
14、=den=1命令命令MATLAB将按下式给出将按下式给出F(s)部分分式展开式中的部分分式展开式中的留数留数、极点极点和和余余项项：r,p,k=residue(num,den)上式与式（上式与式（2.37）比较，显然有）比较，显然有p(1)=-，p(2)=-，p(n)=-；r(1)=,r(2)=，r(n)=；k（s）是余项。）是余项。例例2.6试求下列函数的部分分式展开式试求下列函数的部分分式展开式解：解：对此函数有对此函数有num=111395226den=110355024命令命令于是得到下列结果于是得到下列结果r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.
15、0000r,p,k=residue(num,den)0.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1则得则得如果如果F(s)中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项式中，式中，p(j)为一个为一个q重极点重极点。例例2.7试将下列函数展开成部分分式试将下列函数展开成部分分式解：解：对于该函数有对于该函数有num=0146den=1331命令命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000p=-1.0000-1
16、.0000-1.0000k=所以可得所以可得注意，本例的余项注意，本例的余项k为零为零。2.2.5 2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：(1)对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为为的代数方程；的代数方程；(2)解代数方程，解代数方程，得到有关变量的拉氏得到有关变量的拉氏变换表达式；变换表达式；(3)用拉氏反变用拉氏反变换得到微分方程的时换得到微分方程的时域解。域解。整个求解过程如图整个求解过程如图2.12所示。所示。图
17、图2.12应用拉氏变换法求应用拉氏变换法求解线性微分方程的过程解线性微分方程的过程设系统微分方程为设系统微分方程为若若，初始条件分别为，初始条件分别为、，试求，试求。解解:对微分方程左边进行拉氏变换对微分方程左边进行拉氏变换利用迭加定理将上式逐项相加，即得方程左边的拉氏变换利用迭加定理将上式逐项相加，即得方程左边的拉氏变换对方程右边进行拉氏变换对方程右边进行拉氏变换例例2.8得得写成一般形式写成一般形式应该强调指出应该强调指出是微分方程的特征方程，也是微分方程的特征方程，也是该系统的特征方程。是该系统的特征方程。利用部分分式将利用部分分式将展开为展开为求待定系数求待定系数、:代入原式得代入原式
18、得 查拉氏变换表得查拉氏变换表得当初始条件为零时，得当初始条件为零时，得2.32.3 传传 递递 函函 数数在控制工程中，在控制工程中，直接求解系统微分方程直接求解系统微分方程是研究分析系统的基是研究分析系统的基本方法。系统方程的解就是系统的输出响应，通过方程的表达本方法。系统方程的解就是系统的输出响应，通过方程的表达式，可以分析系统的动态特性，可以绘出输出响应曲线，直观地式，可以分析系统的动态特性，可以绘出输出响应曲线，直观地反映系统的动态过程。但是，由于求解过程较为繁琐，计算复杂反映系统的动态过程。但是，由于求解过程较为繁琐，计算复杂费时，而且难以直接从微分方程本身研究和判断系统的动态性费
19、时，而且难以直接从微分方程本身研究和判断系统的动态性能，因此，这种方法能，因此，这种方法有很大的局限性有很大的局限性。显然，仅用微分方程这一。显然，仅用微分方程这一数学模型来进行系统分析设计，显得十分不便。数学模型来进行系统分析设计，显得十分不便。对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。用在拉氏变换的基础上建立的。用传递函数传递函数描述系统可以免去求解描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据系，并且可以
20、根据传递函数传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。因此，态性能，找出改善系统品质的方法。因此，传递函数传递函数是经典控制是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。理论的基础，是一个极其重要的基本概念。2.3.1 2.3.1 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与引起该变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比，称为系统的输出的输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递传递函数函数。图图2.1所示所示质量质量-弹簧弹簧-阻尼系
21、统阻尼系统，由，由二阶微分方程式二阶微分方程式（2.1）来描述它的动态特性，即来描述它的动态特性，即在所有在所有初始条件均为零初始条件均为零的情况下，对上式进行拉氏变换，得的情况下，对上式进行拉氏变换，得按定义，按定义，传递函数传递函数为为系统输出量的拉氏变换系统输出量的拉氏变换为为同样，在同样，在零初始条件零初始条件下，对下，对式（式（2.3）进行拉氏变换，可得进行拉氏变换，可得图图2.4所示所示无源电路网络的传递函数无源电路网络的传递函数为为式（式（2.47）和式（）和式（2.49）表明，）表明，传递函数是复数传递函数是复数域中的域中的系统数学模型系统数学模型，它，它仅取决于系统本身的结构
22、及参数仅取决于系统本身的结构及参数，而，而与输入与输入、输出的形式无关输出的形式无关。由式（由式（2.48）可知，如果）可知，如果给定，则输出给定，则输出的特性的特性完全由完全由传递函数传递函数决定，因此，决定，因此，传递函数传递函数表征了系统表征了系统（2.47）（2.48）（2.49）本身的动态本质本身的动态本质。这是容易理解的，因为。这是容易理解的，因为是由微分方程式是由微分方程式经过拉氏变换得来的，而拉氏变换是一种线性变换，只是将变经过拉氏变换得来的，而拉氏变换是一种线性变换，只是将变量从时间域变换到复数域，将微分方程变换为量从时间域变换到复数域，将微分方程变换为域中的代数方域中的代数
23、方程来处理，所以不会改变所描述的系统的动态本质。程来处理，所以不会改变所描述的系统的动态本质。必须强调指出，根据必须强调指出，根据传递函数传递函数的定义，的定义，传递函数传递函数是通过系统是通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性，这就是的外部特性来揭示系统的内部特性，这就是传递函数传递函数的的基本思基本思想想。之所以能够用系统外部的输入。之所以能够用系统外部的输入-输出特性来描述系统内部特输出特性来描述系统内部特性，是因为性，是因为传递函数传递函数通过系统结构参数使线性定常系统的输出
24、和通过系统结构参数使线性定常系统的输出和输入建立了联系。输入建立了联系。传递函数传递函数的概念和基本思想在控制理论中具有的概念和基本思想在控制理论中具有特别重要的意义，当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄特别重要的意义，当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，借助从系统的输入来看系统的输出，也可清楚它的内部结构时，借助从系统的输入来看系统的输出，也可以研究系统的功能和固有特性。现在，对系统输入输出动态观测以研究系统的功能和固有特性。现在，对系统输入输出动态观测的方法，已发展成为控制理论研究方法的一个重要的分支，这就的方法，已发展成为控制理论研究方法的一个重要的分支，这就
25、是是系统辨识系统辨识，即通过外部观测所获得的数据，辨识系统的结构及，即通过外部观测所获得的数据，辨识系统的结构及参数，从而建立系统的数学模型。参数，从而建立系统的数学模型。设设线性定常系统线性定常系统的的微分方程微分方程的一般形式为的一般形式为式中式中系统输出量；系统输出量；系统输入量；系统输入量；，及及，均为系统结构均为系统结构参数所决定的实常数。参数所决定的实常数。设设初始条件为零初始条件为零，对，对式（式（2.50）进行拉氏变换，可得进行拉氏变换，可得系统传系统传递函数递函数的一般形式的一般形式（2.50）（2.51）令令式（式（2.51）可表示为）可表示为称为称为系统的特征方程系统的特
26、征方程，其根称为，其根称为系统特征根系统特征根。特征特征方程决定着系统的稳定性方程决定着系统的稳定性。传递函数的指导思想是通过系统输入量与输出量之间的关系传递函数的指导思想是通过系统输入量与输出量之间的关系描述系统固有特性。描述系统固有特性。2.3.2 2.3.2 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点根据多项式定理，系统根据多项式定理，系统传递函数传递函数的一般形式即式的一般形式即式（2.51），也可写成也可写成（2.52）（2.53）式中，式中，的根的根，称为，称为传递函数的传递函数的零点零点；的根的根称为称为传递函数的极传递函数的极点点。显然，系统。显然，系统传递函数的极点传递函数的极
27、点就是就是系统的特征根系统的特征根。零点和极点。零点和极点的数值完全取决于系统诸参数的数值完全取决于系统诸参数，和和，即即取决于系统的结构参数取决于系统的结构参数。一般地，零点和极点可为实数（包括。一般地，零点和极点可为实数（包括零）或复数。若为复数，零）或复数。若为复数，必共轭成对出现，这是必共轭成对出现，这是因为系统结构参数均为因为系统结构参数均为正实数的缘故。把传递正实数的缘故。把传递函数的零、极点表示在函数的零、极点表示在复平面上的图形，称为复平面上的图形，称为传递函数的零、极点分传递函数的零、极点分布图布图，如图，如图2.13所示。所示。图中零点用图中零点用“”表示，表示，极点用极点
28、用“”表示。表示。式中，的根的根，和，图图2.13的零、的零、极点分布图极点分布图2.3.3 2.3.3 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明(1)传递函数传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此积分运算，因此传递函数传递函数的概念的概念只适用于线性定常系统只适用于线性定常系统。(2)传递函数传递函数中各项系数值和相应微分方程中各项系数对应中各项系数值和相应微分方程中各项系数对应相等，完全决定于系统的结构参数。如前所述，相等，完全决定于系统的结构参数。如前所述，传递函数传递函数是系是系统在复数域中的动态数学模型。统在复数域中
29、的动态数学模型。传递函数传递函数本身是本身是的复变函数。的复变函数。(3)传递函数传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递传递函数函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。(4)一个一个传递函数传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只以只适合于单输入适合于单输入单输出系统单输出系统的描述，而且系统内部的中间变的描述，而且系统内部的中间变
30、量的变化情况，传递函数也无法反映。量的变化情况，传递函数也无法反映。(5)当电器元件串联时，若两者之间存在负载效应，必须将当电器元件串联时，若两者之间存在负载效应，必须将它们归并在一起求它们归并在一起求传递函数传递函数；如果能够做到它们彼此之间没有负；如果能够做到它们彼此之间没有负载效应载效应(如加入隔离放大器如加入隔离放大器)，则可分别求，则可分别求传递函数传递函数，然后相乘。，然后相乘。2.3.4 2.3.4 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数机电控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，这些元机电控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，这些元件的物理结构和工作原理可以是多种多样的
31、，但从控制理论来件的物理结构和工作原理可以是多种多样的，但从控制理论来看，看，物理本质物理本质和和工作原理工作原理不同的元件，可以有完全相同的不同的元件，可以有完全相同的数学模数学模型型，亦即具有相同的，亦即具有相同的动态性能动态性能。在控制工程中，常常将具有某种。在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环一个环节节，经常遇到的环节则称为，经常遇到的环节则称为典型环节典型环节。这样，任何复杂的系统总。这样，任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节组成，从而给建立数学模型、研究系统可归结为由一些典型环节组成，从
32、而给建立数学模型、研究系统特性带来方便，使问题简化。特性带来方便，使问题简化。1.环节的分类环节的分类如前所述，线性系统的如前所述，线性系统的传递函数传递函数可用式（可用式（2.53）所示的）所示的零零极点形式极点形式表示，即表示，即假设系统有假设系统有个实数零点，个实数零点，对复数零点，对复数零点，个实数极点，个实数极点，对复数极点和对复数极点和个零极点，则个零极点，则把对应于实数零点把对应于实数零点和实数极点和实数极点的因式变换成如下形式的因式变换成如下形式式中式中同时，把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成如下形式同时，把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成如下形式式中式中而而式中式中于
33、是系统传递函数的一般形式可以写成于是系统传递函数的一般形式可以写成式中式中系统放大系数，即系统放大系数，即,，（2.54）由于由于传递函数传递函数这种表达式含有六种不同的因子，因此，一般这种表达式含有六种不同的因子，因此，一般说来，任何系统都可以看作是由这六种因子表示的环节的串联组说来，任何系统都可以看作是由这六种因子表示的环节的串联组合，这六种因子就是前面提到的合，这六种因子就是前面提到的典型环节典型环节。与分子三种因子相对应的环节分别称为与分子三种因子相对应的环节分别称为比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节与分母三种因子相对应的环节分别称为与分母三种因子相对应的
34、环节分别称为积分环节积分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节实际上，在各类系统特别是机械、液压或气动系统中均会遇实际上，在各类系统特别是机械、液压或气动系统中均会遇到到纯时间延迟现象纯时间延迟现象，这种现象可用，这种现象可用延迟函数延迟函数描述，其描述，其时间起点在时间起点在时刻，因而有时刻，因而有所以所以典型环节典型环节还应增加一个还应增加一个延迟环节延迟环节。2典型环节示例典型环节示例为了方便地研究系统，熟悉和掌握典型环节的数学模型是十为了方便地研究系统，熟悉和掌握典型环节的数学模型是十分必要的。下面对各种环节分别进行研究。分必要的。下面对各种环节分别进行研究。(1)比例环节比例环节输出量
35、不失真输出量不失真、无惯性地跟随输入量无惯性地跟随输入量，且成比例关系的环且成比例关系的环节节。比例环节又称。比例环节又称无惯性环节无惯性环节，其，其运动方程式运动方程式为为式中式中、分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；环节的比例系数，等于输出量与输入量之比。环节的比例系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的比例环节的传递函数传递函数为为（2.55）、（2.56）图图2.14所示的齿轮传动副，若忽略齿侧间隙的影响，则所示的齿轮传动副，若忽略齿侧间隙的影响，则式中式中输入轴转速；输入轴转速；输出轴转速；输出轴转速；、齿轮齿数。齿轮齿数。上式经上式经拉氏变换拉氏变换后得后得则则图图
36、2.15所示数字运算放大器。所示数字运算放大器。图中图中为输入电压；为输入电压；为输出电压；为输出电压；，为电阻。为电阻。已知已知、（2.57）图图2.14齿轮传动副齿轮传动副将上式经将上式经拉氏变换拉氏变换后得后得故故图图2.15运算放大器运算放大器（2.58)(2)惯性环节惯性环节凡运动方程为一阶微分方程凡运动方程为一阶微分方程形式的方程形式的方程显然，其显然，其传递函数传递函数为为式中式中环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）；时间常数，表征了环节的惯性，它和环节结构参时间常数，表征了环节的惯性，它和环节结构参数有关。数有关。由于惯性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化由于惯
37、性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变，而是时，输出量不能跟着突变，而是按指数规律逐渐变化按指数规律逐渐变化，惯性环节，惯性环节的名称就由此而来。的名称就由此而来。图图2.16为弹簧为弹簧和阻尼器和阻尼器组成的一个环节，其方程为组成的一个环节，其方程为(2.59)（2.60）传递函数传递函数为为式中式中为惯性环节的时间常数，为惯性环节的时间常数，。图图2.16弹簧弹簧-阻尼器组成的环节阻尼器组成的环节图图2.17所示的液压缸驱动刚度系数为所示的液压缸驱动刚度系数为的弹性负载和阻尼的弹性负载和阻尼系数为系数为的阻尼负载。设流入油缸的油液压力的阻尼负载。设流入油缸的油
38、液压力为输入量，活为输入量，活塞的位移塞的位移为输出量。液压缸的作用力为为输出量。液压缸的作用力为该力用于克服阻尼和该力用于克服阻尼和弹性负载，即弹性负载，即合并以上两式，得其合并以上两式，得其运动方程式运动方程式传递函数传递函数式中式中惯性环节的时间常数，惯性环节的时间常数，。图图2.17液压缸与弹簧液压缸与弹簧和阻尼器组成的环节和阻尼器组成的环节(3)微分环节微分环节凡输出量正比于输入量的微分的环节凡输出量正比于输入量的微分的环节其其运动方程式运动方程式为为传递函数传递函数为为式中式中微分环节的时间常数。微分环节的时间常数。在工程中，测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电在工程中，测量转
39、速的测速发电机实质上是一台直流发电机，如图机，如图2.18所示。当以发电机转角所示。当以发电机转角为输入量，电枢电压为输入量，电枢电压为输出量时，则有为输出量时，则有式中式中发电机常数发电机常数（2.61）（2.62）传递函数传递函数为为微分环节的输出是微分环节的输出是输入的微分输入的微分，当输入为，当输入为单位阶跃函数时，输出单位阶跃函数时，输出就是脉冲函数，这在实就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此，际中是不可能的。因此，理想的微分环节难以实理想的微分环节难以实现，它总是与其它环节同时出现。现，它总是与其它环节同时出现。图图2.19所示为机械所示为机械-液压阻尼器的原理图。图中液压阻尼
40、器的原理图。图中为活塞面为活塞面积，积，为弹簧刚度，为弹簧刚度，为节流阀液阻，为节流阀液阻，、分别为液压缸左、分别为液压缸左、右腔油液的工作压力，右腔油液的工作压力，为活塞位移，是输入量，为活塞位移，是输入量，为液压缸位为液压缸位移，是输出量。移，是输出量。当活塞作位移当活塞作位移时，液压缸瞬时位移时，液压缸瞬时位移力图与力图与相等，但相等，但图图2.18测速发电机测速发电机由于弹簧被压缩，弹簧恢复力加大，液压缸右腔油压由于弹簧被压缩，弹簧恢复力加大，液压缸右腔油压增大，增大，迫使油液以流量迫使油液以流量通过节流阀反流到液压缸左腔，从而使液压通过节流阀反流到液压缸左腔，从而使液压缸左移，直到液
41、压缸受力平衡时为止。缸左移，直到液压缸受力平衡时为止。液压缸的液压缸的力平衡方程力平衡方程为为通过节流阀的流量为通过节流阀的流量为由上两式得由上两式得其其传递函数传递函数为为式中式中时间常数，时间常数，。图图2.19机械机械-液压阻尼器液压阻尼器由此可知，此阻尼器为包括有惯性环节和微分环节的系统，由此可知，此阻尼器为包括有惯性环节和微分环节的系统，此系统也称为此系统也称为惯性微分环节惯性微分环节。仅当。仅当时，时，才近，才近似成为微分环节。似成为微分环节。图图2.20所示为无源微分所示为无源微分网络。设电压网络。设电压为输入量，为输入量，电阻电阻两端电压两端电压为输为输出量。现研究输入电压出量
42、。现研究输入电压和输出电压和输出电压之间的关之间的关系。电路中的电流系。电路中的电流为中为中间变量。间变量。根据电压方程，可写出根据电压方程，可写出（2.63）图图2.20无源微分网络无源微分网络C电容电容 R电阻电阻将式（将式（2.63）进行拉氏变换，消去）进行拉氏变换，消去，整理后得，整理后得式中式中时间常数，时间常数，。显然，它也是一个显然，它也是一个惯性微分环节惯性微分环节。但当。但当，即即C很小时，可得很小时，可得。故工程技术中经常将。故工程技术中经常将CR串联电路作微分器用。串联电路作微分器用。此外，还有一种微分环节，称为此外，还有一种微分环节，称为一阶微分环节一阶微分环节，其，其
43、传递函传递函数数为为式中式中时间常数。时间常数。微分环节的输出是输入的导数微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变，即输出反映了输入信号的变化趋势，所以也等于给系统以有关输入变化趋势的预告。因而，化趋势，所以也等于给系统以有关输入变化趋势的预告。因而，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。微分环节常用来改善控制系统的动态性能。（2.64）(4)积分环节积分环节输出量与输入量对积分时间成正比的环节输出量与输入量对积分时间成正比的环节。即即其其传递函数传递函数为为式中式中积分环节的时间常数积分环节的时间常数积分环节的一个显著特点是积分环节的一个显著特点是输出量取决于输入量对时间的积输出
44、量取决于输入量对时间的积累过程累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量变为零，输出量仍。输入量作用一段时间后，即使输入量变为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故有记忆功能；另一个特点是有明显的将保持在已达到的数值，故有记忆功能；另一个特点是有明显的滞后作用，从图滞后作用，从图2.21可以看出，输入量为常值可以看出，输入量为常值 A 时，由于时，由于是一斜线，输出量需经过时间是一斜线，输出量需经过时间的滞后，才能达到输的滞后，才能达到输入量入量在在时的数值。因此，积分环节常被用来改善控时的数值。因此，积分环节常被用来改善控（2.65）（2.66）制系统的稳态性制系统的稳态性能。能。图图2.22a
45、所示所示为电枢控制式小为电枢控制式小功率电动机。略功率电动机。略去电枢绕组中的去电枢绕组中的电阻电阻和电感和电感的影响，在的影响，在无负载条件下，无负载条件下，近似有近似有式中式中电动机轴转角；电动机轴转角；电动机增益；电动机增益；作用在电枢两端的电压。作用在电枢两端的电压。图图2.21积分环节的性质积分环节的性质上式说明，若输一电压上式说明，若输一电压，则电动机轴将以角速度，则电动机轴将以角速度一一直转动下去。现以电动机轴转角直转动下去。现以电动机轴转角为输出，则有为输出，则有其其传递函数传递函数为为对于图对于图2.22b所示液压缸，所示液压缸，为活塞面积，以流量为活塞面积，以流量为输为输入
46、，活塞位移入，活塞位移为输出，则有为输出，则有其其传递函数传递函数为为式（式（2.67）和式（）和式（2.69）表明，图）表明，图2.22所示元件都可看作积所示元件都可看作积分环节。分环节。（2.67）（2.68）（2.69）（2.70）a)电枢电枢控制小控制小功率电功率电动机动机b)液压液压缸缸图图2.22积分环节举例积分环节举例(5)振荡环节振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能相互转换，从含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。而导致输出带有振荡的性质。这种环节的这种环节的微分方程微分方程式为式为其其传递函数传递函数为为式中式中振荡环节的时
47、间常数；振荡环节的时间常数；阻尼比；阻尼比；比例系数。比例系数。振荡环节传递函数的另一常用标准形式为振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（2.71）（2.72）（2.73）式中式中无阻尼固有频率。无阻尼固有频率。2.1中讨论过的质量中讨论过的质量弹簧弹簧阻尼系统（阻尼系统（见图见图2.1），其运动），其运动微分方程为微分方程为故得故得传递函数传递函数为为式中式中当当时，它是一个振荡环节。时，它是一个振荡环节。在在2.1中，中，图图2.3和和图图2.4所示系统，都可看作为振荡环节。但所示系统，都可看作为振荡环节。但必须指出，当必须指出，当时，二阶特征方程才有共轭复根。这时时，二阶特征方程才有共轭
48、复根。这时二阶系统才能称为振荡环节。当二阶系统才能称为振荡环节。当时，二阶系统有两个实数时，二阶系统有两个实数根，而为两个惯性环节的串联。根，而为两个惯性环节的串联。(6)二阶微分环节二阶微分环节输出量不仅取决于输入量本身输出量不仅取决于输入量本身，而且还决定于输入量的一阶而且还决定于输入量的一阶和二阶导数和二阶导数。这种环节的这种环节的微分方程微分方程式为式为式中式中比例系数；比例系数；二阶微分环节的时间常数；二阶微分环节的时间常数；阻尼比。阻尼比。其其传递函数传递函数为为同样必须指出，只有当式（同样必须指出，只有当式（2.75）中）中，具有一对共轭复根时，才能称为二阶微分环节。如果上式具有
49、二具有一对共轭复根时，才能称为二阶微分环节。如果上式具有二个实根，则可以认为这个环节是由两个一阶微分环节串联而成。个实根，则可以认为这个环节是由两个一阶微分环节串联而成。（2.74）（2.75）(7)延迟环节延迟环节输入量加上以后输入量加上以后，输出量要等待一段时间输出量要等待一段时间后后，才能不失真才能不失真地复现输入的环节地复现输入的环节。延迟环节不单独存在，一般与其它环节同时出现。延迟环节不单独存在，一般与其它环节同时出现。延迟环节的输入量延迟环节的输入量与输出量与输出量之间有如下关系：之间有如下关系：式中，式中，为纯延迟时间。为纯延迟时间。是是的的延迟函数延迟函数，或称，或称平平移函数
50、移函数。延迟环节是延迟环节是线性环节线性环节，故而其，故而其传递函数传递函数为为延迟环节与延迟环节与惯性环节惯性环节的的区别区别在于：惯性环节从输入开始时刻起就在于：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近于所要求的已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近于所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在输出值；延迟环节从输入开始之初，在0到到的区间内，并无输的区间内，并无输出，但出，但之后，输出就完全等于输入，如图之后，输出就完全等于输入，如图2.23所示。所示。（2.76）（2.77）延迟环节常见于延迟环节常见于液压、气动系统中，液压、气动系统中，施加输入后