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1、第二章系统的数学模型第二章系统的数学模型23图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。解：1、对图a所示系统，有牛顿定律有c1(xi-x0)-c2x0=mx0即mx0+(c1-c2)x0=c1xi2、对图b所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(xi-x)k1=c(x-x0)c(x-x0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)x0+k1k2x0=ck1xi3、对图c所示系统，有牛顿定律有c(xi-x0)+k1(xi-x)=k2x0即cx0+(k1+k2)x0=cxi+k1xi2.4求出图2.4所示电网络图的微分方程
2、。解：1对图a所示系统，设ix为流过1R的电流，i为总电流，则有?+=idtCiRuo22111iRuuoi=-dtiiCuuoi?-=-)(111消除中间变量，并化简有iiiooouRCuCCRRuRCuRCuCCRRuRC12211221122112211)(1)1(+=+2对图b所示系统，设i为电流，则有dtiCiRuuoi?+=111iRdtiCuo221+=?消除中间变量，并化简有iioouCuRuCCuRR2221211)11()(+=+2.5求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M即Mt，输出为即t，分别对圆盘和质块进行
3、动力学分析，列写动力学方程如下：图2.5M=JCmRk(Rx)(1)K(Rx)=mxcx(2)消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mJ4mCmcJ(R2kmCmCkJ)k(cR2Cm)=mMcMkM2.6已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)(a)y?+15y?+50y?+500y=r?+2r(b)5y?+25y?=0.5r?(c)y?+25y=0.5r(d)y?+3y?+6y+4ydt?=4r解:根据传递函数的定义,求系统的传递函数,只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换,然后求Y(s)/R(s).(a)3sY(s)+152sY(s)+50sY(s)+5
4、00Y(s)=2sR(s)+2R(s)Y(s)/R(s)=23221550500ssss+(b)52sY(s)+25sY(s)=0.5sR(s)Y(s)/R(s)=20.5525sss+(c)2sY(s)+25Y(s)=0.5R(s)Y(s)/R(s)=20.525s+(d)2sY(s)+3sY(s)+6Y(s)+41sY(s)=4R(s)Y(s)/R(s)=324364ssss+2.7若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=122ttee-+。试求系统的传递函数。解：由传递函数的定义有 ()iXs=1sY(s)=11221sss-+Y(s)/()iXs=2226232ssss
5、+2.8输出yt与输入xt的关系为yt=2xt+0.5x3ta求当工作点分别为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值。b在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。解：a将x0=0,x0=1,x0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中，即得当工作点为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值分别为y0=0,y0=2.5,y0=8(b)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点x0,y0附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得Y0+y=2x0+0.5x03+(2+1.5x2)x=x0xy=2+1.5x2x=x0x若令x=x
6、,y=y有y=2+1.5x02x当工作点为x0=0时,y=2+1.5x02x=2x当工作点为x0=1时,y=2+1.5x02x=3.5x当工作点为x0=2时,y=2+1.5x02x=8x2.9已知滑阀节流口流量方程式pcwxQv2=,，式中，Q为通过节流阀流口的流量；P为节流阀流口的前后油压差；vx为节流阀的位移量；c为流量系数；w为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与P为变量即将Q作为P的函数将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(pxFQv=在预定工作点),(pxFv处按泰勒级数展开为：),(pxFQv=),(pxFv+vvvxpxxF?)(00,)(+ppxpFv?
7、)(00,)(+消除高阶项，有：),(pxFQv=),(pxFv+vvvxpxxF?)(00,)(+ppxpFv?)(00,)(),(),(00pxFpxFQvv-=?=),(pxFv+vvvxpxxF?)(00,)(+ppxpFv?)(00,)(-),(pxFv=vvvxpxxF?)(00,)(+ppxpFv?)(00,)(若令=1K)(00,)(pxxFvv?，=2K)(00,)(pxpFv?，则有：pKxKQv?*+?*=?21若上式改写为增量方程的形式为：pKxKQv*+*=212.10试分析当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输
8、出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)=1KTs+，而闭环传递函数为G(s)=Ts，G(s)=Ks，而闭环函数为GBs=()1()()GsGsHs?，则1当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，GBs=()1()()GsGsHs?=111KTsKTs+=1KTsK+2当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时，GBs=()1()()GsGsHs?=1TsTs3当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，GBs=()1()()GsGsHs?=1KsKs=KsK2.11证实图题2.11与图题2.4a所
9、示系统是类似系统即证实两系统的传递函数具有一样的形式。解：对题2.4a系统，可列出相应的方程。()()()22110111121()3oioiuRiidtCuuRiuuiidtC?=+?-=?-=-?对以上三式分别做Laplace变换，并注意到初始条件为零，即(0)(0)0II?=11(0)(0)0II?=则 ()()()()()2()2()22()()11()()1()()()111()456oioSioIsUsRIsRIsCsCsUsUsRIIsIsUsUsCsCs?=+=+?-=?-=-?11(5)Cs?，得 ()1()()1()1117ioSRUsUsICsCs-=1(6)R?，得()
10、1()11()()1()118SioSRIRRUsUsICsCs-=-(7)(8)+，得11()()()111()ioSRRUsUsICsCs+-=即111()()()()1111111ioRCsRUsUsIsIsCsRCsRCs-=?=+则()1()()()1191ioRUsUsIsRCs=+将4式中的()oUs带入9式1()2()()21112()2111()11()1iRUsRIsIsCsRCsRRIsCsRCs=+=+再用4式与上式相比消去()Is，即得电系统的传递函数为2()()2()1()2()21122122111()1()1111oiRIsUsCsGsRUsRIsCsRCsRC
11、sRRCsRCs+=+=+而此题中，引入中间变量x，依动力学知识有22111()()()()ioioiooxxkxxcxxcxxckx?-+-=-?-=?对上二式分别进行拉氏变换有2()()2()()()()11()()11ioioookXsXsscXsXsXsXssccsXsXskcs-+-=-?=?+?消除()Xs有22()22()1121()22211111oikcXskcssGskcskcXskcscckcsssk+=+比拟两系统的传递函数有122kC?111kC?22cR?11cR?2.12求图所示两系统的传递函数。解：1由图a中系统，可得动力学方程为(xi(t)-xo(t)k=mx
12、o(t)+cox(t)作Laplace变换，得Xi(s)-Xo(t)k=ms2Xo(s)+csXo(s)则有Gs=Xo(s)/Xi(s)=k/(ms2+cs+k)(2)由图b中系统,设i为电网络的电流，可得方程为ui=Ri+Ldidt+1cidt?uo=1cidt?作Laplace变换，得Ui(s)=RI(s)+LsI(s)+1csI(s)Uo(s)=1csI(s)消除中间变量有Gs=Uo(s)/Ui(s)=211LCsRCs+2.13求图题2、13所示系统的传递函数。解：分别对m1,m2进行受力分析，列写其动力学方程有fC2C1(21)m22C1(21)ky1m11对上两式分别进行Lapla
13、ce变换有FsCsY2(s)C1sY2(s)Y1(s)m2S2Y2(s)sY2(s)Y1(s)kY1(s)m1S2Y1(s)C消除、两式中的Y1(s)得2.14若系统传递函数方框图如下图，求：1以Rs为输入，Ns=0时，分别以Cs，Ys，Bs，Es为输出的闭环传递函数。2以Ns为输入，Rs=0时，分别以Cs，Ys，Bs，Es为输出的闭环传递函数。3比拟以上各传递函数的分母，从中能够得出什么结论。解：1以Rs为输入，当Ns=0时：若以Cs为输出，有Gs=Cs=若以Ys为输出，有GY若以Bs为输出，有GBs=若以Es为输出，有GEs=(2)以Ns为输入，当Rs=0时：若以Cs为输出，有GCs=若以Ys为输出，有GYs=若以Bs为输出，有GBs=若以Es为输出，有GEs=(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反应回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是由于这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.15已知某系统的传递函数方框如下图，其中，(s)为输入，(s)为输出，N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统能够消除干扰的影响。解：根据线性系统的叠加原理。令(s)=0，N(s)为输入，系统输出为：(s)=N(s)G(s)(S)N(s)(S)其中，