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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数本初等函数 I2-9I2-9 函数模型及其应用教师用书函数模型及其应用教师用书1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x) b (k，b为常数且k0)k x二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)
2、2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有 logax0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减(2)当 x0 时，x时取最小值 2，当 x1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度( )(5)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻( )1(教材改
3、编)已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )A100 只 B200 只 C300 只 D400 只答案 B解析 由题意知 100alog3(21)，a100.y100log3(x1)，3 / 17当 x8 时，y100log39200.2若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为( )答案 B解析 根据题意得解析式为 h205t(0t4)，其图象为 B.3某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长
4、率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.p1q11 2C. D.1答案 D解析 设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.4(2016宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40QQ2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元答案 2 500解析 L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元.题型一 用函数图象刻画变化过程例 1 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，
5、途中因交通堵塞停留了4 / 17一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是( )(2)(2016临安中学模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除
6、B.故选 C.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从
7、出发到返回原地所经过的路程 y 和5 / 17其所用的时间 x 的函数图象为( )答案 D解析 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除 A，C；又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D.题型二 已知函数模型的实际问题例 2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.(2)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_
8、min，容器中的沙子只有开始时的八分之一答案 (1)19 (2)16解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为 y30x570，令30x5700，解得 x19.(2)当 t0 时，ya，当 t8 时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则 t24，再经过 16 min.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数6 / 17(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题(2015四川)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关
9、系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时答案 24解析 由题意得e22k，e11k，x 当33 时，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.题型三 构造函数模型的实际问题命题点 1 构造二次函数模型例 3 (2016富阳中学模拟)某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售 100 元征税 R 元)，若年销售量为(30R)万件，要使附加税不少于 128 万元，则 R 的取值范围是( )A4,8 B6,10C4%,8% D6
10、%,10%答案 A解析 根据题意得，要使附加税不少于 128 万元，需(30R)160R%128，整理得 R212R320，解得 4R8，即R4,8命题点 2 构造指数函数、对数函数模型7 / 17例 4 光线通过一块玻璃，强度要损失 10%.设光线原来的强度为 k，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y.(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解 (1)光线通过 1 块玻璃后，强度 y(110%)k0.9k；光线通过 2 块玻璃后，强度 y(110%)0.9k0.92k；光线
11、通过 3 块玻璃后，强度 y(110%)0.92k0.93k；光线通过 x 块玻璃后，强度 y0.9xk.故 y 关于 x 的函数解析式为 y0.9xk(xN*)(2)由题意，得 0.9xk.又13.14，且 xN*，所以 xmin14.故至少通过 14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下引申探究通过 20 块这样的玻璃后，光线强度约为多少？解 y0.9xk，当 x20 时，y0.920k0.12k，故通过 20 块这样的玻璃后，光线强度约为 0.12k.8 / 17命题点 3 构造分段函数模型例 5 某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起
12、步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_ km.答案 9解析 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，则 yError!由 y22.6，解得 x9.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液
13、中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到 1 小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 000 元，每天需要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x的关系是 R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是_9 / 17答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过 x 小时才能开车由题意得 0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750
14、.34.19.x 最小为 5.(2)由题意，总利润yError!当 0x400 时，y(x300)225 000，所以当 x300 时，ymax25 000，当 x400 时，y60 000100x40 时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以 W6 分(2)当 040 时，W16x7 360，由于16x2 1 600，当且仅当16x，即 x50(40，)时，取等号，所以 W 取最大值为 5 760.12 分综合知，当 x32 时，W 取得最大值 6 104 万美元14分解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数
15、学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性11 / 171在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对 x，y 最适合的拟合函数是( )Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案 D解析 根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数
16、ylog2x，可知满足题意2某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( )答案 A解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A.3某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A118 元 B105 元C106 元 D108 元答案 D解析 设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解12 / 1
17、7得 a108.4(2016宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过10 m3 的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A13 m3 B14 m3C18 m3 D26 m3答案 A解析 设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得yError!则 10m(x10)2m16m，解得 x13.5(2016北京区统考)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数)公司决定从原有员工中分流 x(00，则(150x)2 150x100 150x21020，当且仅当 150x，即 x140 时等号成立，此时，Pmax20120100.17 / 17所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为100 元