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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数 I2-2I2-2 函数的单调性与最值教师用书函数的单调性与最值教师用书1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
2、间 D 叫做 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论2 / 16(1)对任意 x1，x2D(x1x2)，0f(x)在 D 上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 【
3、思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0)的单调增区间为_答案 (0，)解析 函数的对称轴为 x1，又 x0，所以函数 f(x)的单调增区间为(0，)4(教材改编)已知函数 f(x)，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_答案 2 2 5解析 可判断函数 f(x)在2,6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).题型一 确定函数的单调性(区间)命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性例 1 (1)函数 f(x)log(x24)的单调递增区间是( )1 2A(0，) B(，0)C(2，) D(
4、，2)(2)yx22|x|3 的单调增区间为_答案 (1)D (2)(，1，0,14 / 16解析 (1)因为 ylogt，t0 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)1 2(2)由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当x0)，用定义法判断函数 f(x)在(1,1)上的单调性解 设10，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1,1)上为减函数引申探究如何用导数法求解例 2?解 f(x)，a0，f(x)0，所以函数 y(3x2)ex 的单调递增区间是(3
5、,1)，故选 C.题型二 函数的最值例 3 (1)(2016诸暨质检)已知 f(x)其中 a0.若函数 f(x)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_答案 (0,26 / 16解析 设 tx22xa(x0)，则 ta，log2tlog2a，又 x0 时，f(x)1，又 f(x)的值域为 R，log2a1，00 恒成立，试求实数 a 的取值范围解 当 a时，f(x)x2，又 x1，)，所以 f(x)10，即 f(x)在1，)上是增函数，所以 f(x)minf(1)12.f(x)x2，x1，)()当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数最小值为 f(1)a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成
6、立，只需 a30，所以30，a3，所以 01)的最小值为_答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数 yx在1，)上为增函数，x1 时，ymin1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f(x)x28 x1x122x19 x1(x1)22 28，当且仅当 x1，即 x4 时，f(x)min8.方法二 (导数法)f(x)，令 f(x)0，得 x4 或 x2(舍去)当 14 时，f(x)0，f(x)在(4，)上是递增的，所以 f(x)在 x4 处取到极小值也是最小值，8 / 16即 f(x)minf(4)8.题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)的
7、图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，因为 af()f()，且 2ac.命题点 2 解函数不等式例 5 (2016温州模拟)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f()0，则满足 f(logx)0 的 x 的集合为_1 9答案 x|00，得 x，1 9log1 9log或 Ba1 4Ca0 成立，那么 a 的取值范9 / 16围是_答案 (1)D (2)，2)解析 (1)当 a0 时，f(x)2x
8、3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 ax2 Bx1x20Cx10 时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由 f(x1)0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0，当 x0 时，f(x)1，f(x2x1)1.2 分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4 分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)2 时，f(x)为增函数，当 x2 时，(，1是函数 f(x)的增区间；1,2是函数 f
9、(x)的减区间3已知函数 ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )A(0,1 B1,2C1，) D2，)答案 C解析 要使 ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则 a0 且a10，即 a1.4已知 f(x)是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案 B解析 由已知可得解得 4a8.5(2016宁波模拟)已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函13 / 16数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)g(x1)g(x2)2 恒成立，则( )AF(x)，G(x)都是增函数BF(x)，G(
10、x)都是减函数CF(x)是增函数，G(x)是减函数DF(x)是减函数，G(x)是增函数答案 A解析 由f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)20，得F(x1)F(x2)G(x1)G(x2)0，14 / 16所以 F(x)，G(x)的单调性相同，又因为 F(x)G(x)2f(x)为增函数，所以 F(x)，G(x)都是增函数，故选 A.8函数 f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_答案 3解析 由于 yx 在 R 上递减，ylog2(x2)在1，1上递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.9(2016杭州模拟)设函数 f(x)g(x)x
11、2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是_答案 0,1)解析 由题意知 g(x)Error!函数的图象如图所示，其递减区间为0,1)*10.(2016北京东区模拟)已知 f(x)不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 (，2)解析 二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到 xa0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在，2上的值域是，2，求 a 的值(1)证明 任取 x1x20，则 f(x1)f(x2
12、)1 x2，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解 由(1)可知，f(x)在，2上为增函数，f()2，f(2)2，解得 a.12(2017金华十校高三上学期调研)已知函数 f(x)|ax28x|(0f(1)|a8|，f()2，当 044 时，f(x)maxf(1)a8.综上，f(x)maxa8.13.已知函数 f(x)lg(x2)，其中 a 是大于 0 的常数(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围16 / 16解 (1)由 x20，得0，当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为(0，)；当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1；当 01(2)设 g(x)x2，当 a(1,4)，x2，)时，g(x)10 恒成立，所以 g(x)x2 在2，)上是增函数所以 f(x)lg 在2，)上是增函数所以 f(x)lg 在2，)上的最小值为 f(2)lg.(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 x21 对 x2，)恒成立所以 a3xx2，令 h(x)3xx2，而 h(x)3xx22在2，)上是减函数，所以 h(x)maxh(2)2，所以 a 的取值范围为(2，)